نسخة الفيديو النصية
افترض أن ﺱ متغير عشوائي متصل، دالة كثافة الاحتمال له ﺩﺱ تساوي سدس ﺱ ناقص خمسة، عندما تكون قيمة ﺱ بين سبعة وتسعة، متضمنة هذين العددين، وتساوي صفرًا فيما عدا ذلك. أوجد احتمال أن يكون ﺱ أصغر من أو يساوي ثمانية.
حسنًا، تتسم المتغيرات العشوائية المتصلة بأن لها دالة كثافة احتمال، وهي دالة غير سالبة يمكن تمثيلها بيانيًّا، وتكون المساحة أسفل المنحنى تساوي واحدًا. ودالة كثافة الاحتمال هذه هي ﺩﺱ تساوي سدسًا مضروبًا في ﺱ ناقص خمسة عندما تكون قيمة ﺱ بين سبعة وتسعة، متضمنة هذين العددين، أو تساوي صفرًا عندما تكون قيمة ﺱ خارج نطاق القيم المحدد. المطلوب منا هنا هو حساب احتمال أن تكون قيمة ﺱ أصغر من أو تساوي ثمانية.
لعلنا نتذكر أنه مع المتغيرات العشوائية المتصلة يمكن استخدام أي من العلامتين أصغر من أو يساوي، أو أصغر من فقط. ولإيجاد هذا الاحتمال، نحسب المساحة أسفل المنحنى المعرف بهذه الدالة بين صفر وثمانية. لكننا نعلم أن هذه الدالة تساوي صفرًا عندما تكون قيمة ﺱ من صفر إلى سبعة. لذا، فإننا لا نحتاج إلا إلى حساب المساحة عندما تكون قيمة ﺱ بين سبعة وثمانية. وهذا هو التكامل بين سبعة وثمانية لـ ﺩﺱ بالنسبة إلى ﺱ.
لبدء حساب هذا التكامل، دعونا نفك القوسين بالتوزيع. هذا يعطينا التكامل بين سبعة وثمانية لواحد على ستة ﺱ ناقص خمسة على ستة بالنسبة إلى ﺱ. إننا نعلم أنه للتكامل، علينا أن نضيف واحدًا إلى الأس ونقسم على الأس الجديد. حسنًا، سنبدأ بتكامل واحد على ستة ﺱ؛ حيث يصبح لدينا واحد على ستة ﺱ تربيع مقسومًا على اثنين. ونظرًا لأن خمسة على ستة ثابت، فإنه يتكامل بحيث يصبح خمسة على ستة ﺱ. بإمكاننا فعليًّا تبسيط ما حصلنا عليه لأننا نعلم أن واحدًا على ستة مقسومًا على اثنين يساوي واحدًا على ١٢.
حسنًا، علينا الآن تطبيق حدود التكامل. تذكر أننا نفعل هذا بالتعويض بالحد العلوي في التكامل، ثم طرح التكامل بعد التعويض عن ﺱ بالحد السفلي. ولكي نحسب هذا، بإمكاننا أن نستخدم الآلة الحاسبة، أو بإمكاننا أن نكتب كل كسر من هذه الكسور بمقام مشترك؛ وهو ١٢. سيبدو المقدار هكذا. بتبسيط ما بداخل كل قوسين، نحصل على سالب ١٦ على ١٢ ناقص سالب ٢١ على ١٢، وهذا يكافئ سالب ١٦ على ١٢ زائد ٢١ على ١٢. وناتج هذا يساوي خمسة على ١٢.
