نسخة الفيديو النصية
في هذا الفيديو، سنتعرف على التناسب والنسبة وكيفية إيجاد كمية مجهولة في التناسب. لنبدأ بالتفكير فيما يعنيه التناسب. تخيل أن لدينا وصفة لسلطة فواكه تتطلب تفاحتين وثلاث برتقالات لتكفي شخصين. افترض أننا أردنا إعداد سلطة الفواكه هذه لأربعة أشخاص بدلًا من شخصين. علينا في هذه الحالة مضاعفة الكميتين. فسنحتاج إلى أربع تفاحات وست برتقالات. يمكننا القول إذن إن التفاح والبرتقال متناسبان بعضهما مع بعض. ويمكن القول إن الكميتين ﺃ وﺏ متناسبتان طرديًا إذا كانت نسبتاهما متساويتين. قد نلاحظ في كثير من الأحيان أن التناسب يكتب دون كلمة «طرديًا». في هذه الحالة، يمكننا افتراض أنه تناسب طردي. ويمكننا أيضًا كتابة جملة «نسبتاهما متساويتان» بطريقة رياضية أكثر.
يمكننا القول إن الكميتين ﺃ وﺏ متناسبتان طرديًا إذا كانت كمية ﺃ، في حالة معينة، هي ﺃ واحد وكمية ﺏ هي ﺏ واحد. وفي حالة أخرى مختلفة، كمية ﺃ هي ﺃ اثنين وكمية ﺏ هي ﺏ اثنين. وبالتالي ﺃ واحد إلى ﺏ واحد يساوي ﺃ اثنين إلى ﺏ اثنين. وﺃ واحد على ﺏ واحد يساوي ﺃ اثنين على ﺏ اثنين. إذا أخذنا التفاح والبرتقال كمثال، نجد أنه يمكن التعبير عن العلاقة بين التفاحتين والثلاث برتقالات بالنسبة اثنين إلى ثلاثة. وهي تساوي النسبة أربعة إلى ستة، أي أربع تفاحات وست برتقالات. يمكننا القول إن النسبتين متساويتان لأننا إذا بسطنا النسبة أربعة إلى ستة إلى أبسط صورة، فسنحصل على النسبة اثنين إلى ثلاثة. وبالصورة الكسرية، يمكننا كتابة ذلك في صورة ثلثين يساوي أربعة أسداس. وهذا لأن الكسر أربعة أسداس يبسط إلى ثلثين.
لننظر الآن إلى كيفية تحديد علاقة التناسب. يمكن وصف النوع الأول من التناسب بأنه نسبة تقارن بين جزأين من كل. إذا نظرنا إلى نسبتي النموذجين أدناه، يمكننا ملاحظة أن نسبة اللون البرتقالي إلى اللون الوردي هي ثلاثة إلى خمسة في المجموعة الأولى. وفي النموذج الثاني، نسبة اللون البرتقالي إلى اللون الوردي هي ستة إلى ١٠. وبما أنه يمكننا تبسيط النسبة ستة إلى ١٠ لتصبح ثلاثة إلى خمسة، فلا بد أن تكون هاتان النسبتان متناسبتين. تكون النسبتان متناسبتين، إذا بسطنا النسبتين إلى أبسط صورة لهما وكانتا متكافئتين. النوع الثاني من التناسب الذي قد نراه هو عندما يكون لدينا نسبة تقارن بين جزء وكل.
في المخطط الأول، يمكننا ملاحظة وجود ١٠ طلاب وأربع بنات. يمكننا كتابة ذلك في صورة أربعة أعشار. في المخطط الثاني، لدينا بنتان وخمسة طلاب، ويمكننا كتابة ذلك في صورة خمسين. يمكننا القول إن هذين الكسرين يكونان متناسبين إذا تساويا عند تبسيطهما. وهما هنا متناسبان لأننا نعلم أن أربعة أعشار تبسط إلى خمسين. عند مناقشة التناسب، قد يصادفنا مصطلح «معدل الوحدة». معدل الوحدة هو نسبة مكونة من حدين، وحدها الثاني يساوي واحدًا. على سبيل المثال، إذا أردنا إيجاد معدل الوحدة للنسبة ثلاثة إلى خمسة، فهذا يعني أننا نحتاج إلى نسبة مكافئة حدها الثاني يساوي واحدًا. لتصبح الخمسة واحدًا، نقسم على خمسة. ومن ثم، علينا أيضًا قسمة الحد الأول في النسبة على خمسة. يمكننا كتابة ثلاثة مقسومًا على خمسة في صورة ثلاثة أخماس أو ٠٫٦. وبالتالي، فإن معدل الوحدة في هذه الحالة هو ٠٫٦ إلى واحد. دعونا نلق نظرة الآن على بعض المسائل لإيجاد التناسب.
تريد سمر تكبير صورة أبعادها أربع بوصات في ست بوصات. أي مما يلي يتناسب مع الصورة الأصلية؟ الخيار (أ) ثماني بوصات في ١٠ بوصات. أم الخيار (ب) ١٨ بوصة في ٢٤ بوصة. أم الخيار (ج) ٢٠ بوصة في ٢٤ بوصة. أم الخيار (د) ١٦ بوصة في ٢٠ بوصة. أم الخيار (هـ) ٢٤ بوصة في ٣٦ بوصة.
يمكننا بدء حل هذه المسألة المتعلقة بالتناسب بتذكر أن أي كميتين تكونان متناسبتين إذا كانت نسبتاهما متكافئتين. لدينا هنا صورة أبعادها أربع بوصات في ست بوصات. يمكننا كتابة ذلك في صورة نسبة أربعة إلى ستة. يمكننا تكبير الصورة بضرب كل من الطول والعرض في اثنين، ما يعطينا إطارًا أبعاده ثماني بوصات في ١٢ بوصة. وتكون النسبة في هذه الحالة ثمانية إلى ١٢. يمكننا القول إن هاتين النسبتين متناسبتان لأن كلتيهما تبسطان إلى النسبة اثنين إلى ثلاثة. لنلق نظرة على الخيار (أ)، ثماني بوصات في ١٠ بوصات. يمكننا كتابة ذلك في صورة النسبة ثمانية إلى ١٠. لكن، يمكننا استبعاد هذا الخيار في الحال؛ لأننا عرفنا بالفعل أن النسبة تساوي ثمانية إلى ١٢ وليس ثمانية إلى ١٠.
بدلًا من ذلك، كان بإمكاننا أيضًا التفكير في تبسيط النسبة ثمانية إلى ١٠ بقسمة طرفي النسبة على اثنين، ما يعطينا أربعة إلى خمسة، وهي نسبة غير مكافئة للنسبة اثنين إلى ثلاثة. دعونا ننظر إلى الخيار (ب) الذي يتضمن النسبة ١٨ إلى ٢٤، ونحاول معرفة إذا ما كان يمكننا تبسيطها إلى النسبة اثنين إلى ثلاثة. بقسمة الطرفين على ستة، يكون لدينا ١٨ مقسومًا على ستة يساوي ثلاثة و٢٤ مقسومًا على ستة يساوي أربعة. وبما أن هذه النسبة لا تكافئ النسبة اثنين إلى ثلاثة، فيمكننا استبعاد الخيار (ب).
في الخيار (ج)، تبسط النسبة ٢٠ إلى ٢٤ لتصبح خمسة إلى ستة بقسمة الطرفين على أربعة. وبذلك يمكننا استبعاد هذا الخيار أيضًا. في الخيار (د)، تبسط النسبة ١٦ إلى ٢٠ لتصبح أربعة إلى خمسة، وبالتالي يمكننا استبعاد هذا الخيار. تبسط النسبة ٢٤ إلى ٣٦ في الخيار (هـ) لتصبح اثنين إلى ثلاثة. بما أن هذه النسبة هي نفسها التي نحصل عليها عند تبسيط الكمية أربع بوصات في ست بوصات، أي هي النسبة أربعة إلى ستة، فهذا يعني أن النسبتين متناسبتان. ومن ثم، فإن الصورة التي تتناسب أبعادها مع أربع بوصات في ست بوصات هي الممثلة بالخيار (هـ)، ٢٤ بوصة في ٣٦ بوصة.
تستطيع سمر كتابة ٧٥ كلمة في ثلاث دقائق. أوجد عدد الكلمات التي تستطيع كتابتها في أربع دقائق.
يمكننا حل هذه المسألة باستخدام طريقتين مختلفتين. تتضمن الطريقة الأولى معدل الوحدة. معدل الوحدة هو نسبة مكونة من حدين، وحدها الثاني يساوي واحدًا. لنبدأ بكتابة القيمتين ٧٥ كلمة وثلاث دقائق في صورة نسبة الكلمات إلى الدقائق. بما أننا نعلم أن ٧٥ كلمة تكتب في ثلاث دقائق فقط، يمكننا كتابة ذلك في صورة النسبة ٧٥ إلى ثلاثة. لإيجاد معدل الوحدة، علينا كتابة ذلك في صورة نسبة حدها الثاني يساوي واحدًا. وبما أنه يمكننا فعل ذلك بالقسمة على ثلاثة، فعلينا أيضًا قسمة ٧٥ على ثلاثة، وهو ما يعطينا ٢٥. في هذه المرحلة، نعرف أن سمر تكتب ٢٥ كلمة في دقيقة واحدة. علينا الآن إيجاد عدد الكلمات التي تستطيع كتابتها في أربع دقائق. بالنظر إلى النسبة، نتساءل كيف ننتقل من واحد إلى أربعة؟ نضرب في أربعة. وبالتالي علينا ضرب ٢٥ في أربعة أيضًا، وهو ما يعطينا ١٠٠. يعني ذلك ١٠٠ كلمة في أربع دقائق.
لنتناول الآن طريقة بديلة. يمكننا القول إن ﺃ وﺏ متناسبان طرديًا، إذا كان ﺃ واحد إلى ﺏ واحد يساوي ﺃ اثنين إلى ﺏ اثنين. وﺃ واحد على ﺏ واحد يساوي ﺃ اثنين على ﺏ اثنين. يشير العددان السفليان واحد واثنان إلى قيمتي ﺃ وﺏ في حالتين مختلفتين. إذا أردنا كتابة ٧٥ كلمة في ثلاث دقائق في صورة كسر، فيمكننا كتابة ذلك ببساطة في صورة ٧٥ على ثلاثة. ويمكننا أن نساوي هذا الكسر بـ ﺱ على أربعة، حيث يشير ﺱ إلى عدد الكلمات. يمكننا بعد ذلك إيجاد قيمة ﺱ عن طريق الضرب التبادلي. فنحسب حاصل ضرب الطرفين في الوسطين. يمكننا البدء بكتابة ٧٥ في أربعة يساوي ثلاثة في ﺱ٧٥. في أربعة يساوي ٣٠٠. ويمكن كتابة ثلاثة في ﺱ في صورة ثلاثة ﺱ. لإيجاد قيمة ﺱ، يجب قسمة طرفي المعادلة على ثلاثة، وهو ما يعطينا ١٠٠ يساوي ﺱ. بذلك أصبحنا نعلم أن المجهول ﺱ، الذي يمثل عدد الكلمات، يساوي ١٠٠ كلمة. باستخدام أي من هاتين الطريقتين، عرفنا أن سمر يمكنها كتابة ١٠٠ كلمة في أربع دقائق.
لنلق نظرة على مثال آخر يمكننا فيه استخدام كسر لمساعدتنا على حل مسألة التناسب.
يتشارك شخصان في قطعة أرض بنسبة ١٣ إلى ١٠. تزيد حصة الشخص الأول عن حصة الشخص الثاني بمقدار ٨١ مترًا مربعًا. ما إجمالي مساحة قطعة الأرض؟
في هذه المسألة، لدينا علاقة تناسب بين حصة الشخص الأول وحصة الشخص الثاني. عندما يكون لدينا علاقة تناسب بين قيمتين، ﺃ وﺏ، يمكننا القول إن ﺃ واحد إلى ﺏ واحد يساوي ﺃ اثنين إلى ﺏ اثنين. وﺃ واحد على ﺏ واحد يساوي ﺃ اثنين على ﺏ اثنين. تشير قيمتا ﺃ واحد وﺏ واحد إلى كميتي ﺃ وﺏ في الحالة الأولى. وتشير قيمتا ﺃ اثنين وﺏ اثنين إلى قيمتي الكمية في حالة ثانية. لنبدأ بكتابة النسبة ١٣ إلى ١٠ في صورة كسر كما نرى في التعريف، والذي سيكون ١٣ على ١٠.
فيما يتعلق بالكسر المكافئ الثاني، نحتاج إلى طريقة للإشارة إلى أن حصة الشخص الأول تزيد بمقدار ٨١ مترًا مربعًا عن حصة الشخص الثاني. لنستخدم إذن قيمة ﺱ لتمثيل حجم حصة الشخص الثاني في الأرض. عندما يكون نصيب الشخص الأول أكبر بمقدار ٨١ مترًا مربعًا، يمكننا كتابة ذلك في صورة ﺱ زائد ٨١. علينا الآن حل هذه المعادلة لإيجاد قيمة ﺱ. يمكننا البدء بحساب حاصل الضرب التبادلي، وهو ما يعطينا ١٠ في ﺱ زائد ٨١ يساوي ١٣ في ﺱ.
بعد ذلك نضرب ١٠ في كل حد في القوس؛ ١٠ في ﺱ يساوي ١٠ﺱ، ثم ١٠ في ٨١ يساوي ٨١٠. يمكننا كتابة ١٣ في ﺱ في صورة ١٣ﺱ. نتابع الحل بعد ذلك بطرح ١٠ﺱ من طرفي المعادلة، وهو ما يعطينا ٨١٠ يساوي ثلاثة ﺱ، حيث إن ١٣ﺱ ناقص ١٠ﺱ يساوي ثلاثة ﺱ. ولإيجاد قيمة ﺱ، نقسم طرفي المعادلة على ثلاثة. إذن ﺱ يساوي ٢٧٠ مترًا مربعًا. وبذلك نعرف أن حصة الشخص الثاني، أي قيمة ﺱ تبلغ ٢٧٠ مترًا مربعًا. لإيجاد حصة الشخص الأول، يمكننا حساب ناتج ٢٧٠ زائد ٨١، وهو ما يساوي ٣٥١ مترًا مربعًا. علينا الآن إيجاد إجمالي مساحة قطعة الأرض. إذن، نجمع ٣٥١ و٢٧٠، وهو ما يعطينا ٦٢١ مترًا مربعًا.
في المسألة التالية، سنرى مثالًا لنوع مختلف من المسائل المتعلقة بالتناسب. يجب أن نحرص جيدًا في هذا المثال على إعمال التفكير المنطقي السليم وتطبيق المهارات الرياضية الجيدة.
استغرق ثلاثة أشخاص ساعتين وثلثًا في طلاء غرفة كبيرة. ما الزمن الذي يستغرقه ستة أشخاص في طلاء الغرفة نفسها بافتراض أنهم يعملون بالمعدل نفسه؟
نبدأ باعتبار أن النسبة في هذه المسألة هي نسبة الأشخاص إلى الزمن المستغرق. يمكننا التعبير عن استغراق ثلاثة أشخاص ساعتين وثلثًا في طلاء غرفة بكتابته في صورة النسبة ثلاثة إلى اثنين وثلث. علينا إيجاد الزمن الذي يستغرقه ستة أشخاص في طلاء الغرفة نفسها. من السهل للغاية الاعتقاد أن كل ما علينا فعله هو الضرب في اثنين. لكن، علينا التفكير مليًا في المسألة المعطاة. إذا كنا نطلي غرفة وطلبنا من شخص ما مساعدتنا، فهل نتوقع أن يستغرق الأمر زمنًا أطول أم أقصر؟ نتوقع أن وجود عدد أكبر من الأشخاص يعني أن الزمن المستغرق سيكون أقل. لدينا هنا مثال للتناسب العكسي. في التناسب العكسي، عندما يزيد أحد المتغيرين، يقل المتغير الآخر. وفي هذه المسألة، مع زيادة عدد الأشخاص، يقل في الواقع الزمن المستغرق.
لحل هذه المسألة، نجعل المتغير ﻥ يمثل الزمن المستغرق. يمكننا كتابة أن ثلاثة في اثنين وثلث يساوي ستة في ﻥ. يمثل الطرف الأيمن من المعادلة إجمالي الزمن الذي يستغرقه ثلاثة أشخاص حيث يستغرق كل منهم ساعتين وثلثًا في طلاء الغرفة. يمكننا تبسيط المعادلة بكتابة ثلاثة في سبعة على ثلاثة يساوي ستة ﻥ، حيث إن العدد الكسري اثنين وثلث يصبح سبعة على ثلاثة عند تحويله إلى كسر غير فعلي. بما أن العددين ثلاثة في الطرف الأيمن سيلغي أحدهما الآخر، فسيصبح لدينا سبعة يساوي ستة ﻥ. ولإيجاد قيمة ﻥ، يمكننا قسمة طرفي المعادلة على ستة، ما يعطينا سبعة على ستة. يمكننا كتابة ذلك في صورة واحد وسدس. بذلك تكون إجابتنا النهائية هي أن الأشخاص الستة يستغرقون ساعة وسدسًا في طلاء الغرفة.
فلنتحقق من إجابتنا بالنظر في هذا التناسب العكسي. نعلم أن الأمر يتطلب ثلاثة أشخاص وساعتين وثلثًا لطلاء الغرفة. ونعلم كذلك أننا نأخذ في الاعتبار وجود ستة أشخاص وأنه علينا ضرب ثلاثة في اثنين للحصول على ستة. والوقت الذي يستغرقه ثلاثة أشخاص هو ساعتان وثلث. وعرفنا أنه لا يمكننا ضرب هذه القيمة في اثنين. لكن بما أن هناك تناسبًا عكسيًا، فما زالت هذه القيم متناسبة بطريقة ما. معكوس الضرب في اثنين هو القسمة على اثنين، وهو ما يكافئ الضرب في نصف. وعندما نقسم اثنين وثلثًا على اثنين، نحصل على ساعة وسدس، وهو ما يؤكد صحة الإجابة الأصلية وهي ساعة وسدس.
لنلخص الآن النقاط الأساسية التي تعرفنا عليها في هذا الفيديو. تكون الكميتان ﺃ وﺏ متناسبتين طرديًا إذا كانت كمية ﺃ هي ﺃ واحد وكمية ﺏ هي ﺏ واحد، وذلك في حالة معينة. وفي حالة أخرى مختلفة، كمية ﺃ هي ﺃ اثنين وكمية ﺏ هي ﺏ اثنين. وبالتالي، فإن ﺃ واحد إلى ﺏ واحد يساوي ﺃ اثنين إلى ﺏ اثنين. وﺃ واحد على ﺏ واحد يساوي ﺃ اثنين على ﺏ اثنين. يمكننا تلخيص ذلك بقولنا إن الكميتين متناسبتان طرديًا إذا كانت نسبتاهما متكافئتين.
تعرفنا أيضًا على معدل الوحدة، وهو نسبة مكونة من حدين، حيث الحد الثاني يساوي واحدًا. تناولنا كذلك مثالًا لمسألة تتضمن تناسبًا عكسيًا، والذي يعني أنه عندما يزيد أحد المتغيرين، يقل المتغير الآخر. ومن ثم، عند حل مسألة متعلقة بالتناسب، علينا أن نحرص على استخدام مهارات الاستدلال والمنطق. ففي حالة المسائل التي تتضمن علاقة تناسب عكسي، فإن قواعد التناسب الطردي لا تنطبق عليها.
