فيديو السؤال: إيجاد القيم المجهولة في دالة متعددة التعريف والتي تجعلها متصلة عند نقطة ثم التحقق من قابلية الدالة للاشتقاق عند هذه النقطة الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

لدينا الدالة المتعددة التعريف ﺩﺱ تساوي خمسة ﺃ زائد ﺏﺱ تربيع عند ﺱ أقل من سالب اثنين. وتساوي خمسة عند ﺱ يساوي سالب اثنين. وتساوي ﺃﺱ ناقص ثلاثة ﺏ عند ﺱ أكبر من سالب اثنين. أوجد قيمتي ﺃ وﺏ لتكون ﺩ متصلة عند ﺱ يساوي سالب اثنين. ماذا يمكن أن يقال عن قابلية اشتقاق ﺩ عند هذه النقطة؟

حسنًا، يطلب منا السؤال أولًا تحديد قيمتي ﺃ وﺏ اللتين تجعلان الدالة ﺩ متصلة عند النقطة ﺱ يساوي سالب اثنين. ثم يطلب منا التحقق مما إذا كانت الدالة ﺩ قابلة للاشتقاق عند النقطة ﺱ يساوي سالب اثنين. يمكننا البدء بالتفكير فيما يجعل الدالة متصلة عند نقطة ما.

لعلنا نتذكر أن الدالة ﺩ تكون متصلة عند النقطة ﺃ إذا كان بإمكاننا إيجاد قيمة نهاية الدالة عند اقتراب ﺱ من ﺃ باستخدام التعويض المباشر. في الحالة لدينا، يجب أن تكون نهاية ﺩﺱ عندما يقترب ﺱ من سالب اثنين مساوية لقيمة ﺩ عند سالب اثنين. نلاحظ من السؤال أن قيمة الدالة ﺩ عند سالب اثنين تساوي خمسة. إذن، لإثبات أن الدالة ﺩ المذكورة في السؤال متصلة، علينا أن نثبت أن نهاية ﺩﺱ عندما يقترب ﺱ من سالب اثنين تساوي خمسة.

إذن، يمكننا الآن أن نطرح السؤال الآتي؛ كيف نوجد قيمة النهاية لـ ﺩﺱ عندما يقترب ﺱ من سالب اثنين. إننا نعلم من تعريف النهاية أن نهاية دالة ما عندما يقترب ﺱ من ﺃ تساوي ﻝ، أي عندما تكون كل من النهاية من الجهة اليسرى والنهاية من الجهة اليمنى لتلك الدالة مساوية لـ ﻝ. وعليه، بمعلومية أن الدالة ﺩ متصلة، وأن نهاية ﺩﺱ عندما يقترب ﺱ من سالب اثنين تساوي خمسة، فلا بد أن نهاية ﺩﺱ عندما يقترب ﺱ من سالب اثنين من جهة اليسار تساوي خمسة أيضًا. وأن نهاية ﺩﺱ عندما يقترب ﺱ من سالب اثنين من جهة اليمين تساوي خمسة.

حسنًا، دعونا نبدأ إذن بالنهاية لـ ﺩﺱ عندما يقترب ﺱ من سالب اثنين من جهة اليسار، والتي نعلم أنها تساوي خمسة. إننا نعلم أن ﺱ يقترب من سالب اثنين من جهة اليسار. إذن، لا بد أن قيمة ﺱ أقل من سالب اثنين. نلاحظ من معطيات السؤال أن الدالة ﺩﺱ تساوي خمسة ﺃ زائد ﺏﺱ تربيع عند ﺱ أقل من سالب اثنين. وبما أن هاتين الدالتين متساويتان، فعند ﺱ أقل من سالب اثنين، يمكننا التعويض عن ﺩﺱ في النهاية اليسرى بكثيرة الحدود هذه.

وبما أننا نحاول الآن إيجاد قيمة نهاية دالة تربيعية، فيمكننا استخدام التعويض المباشر. إذن، النهاية تساوي خمسة ﺃ زائد ﺏ مضروبًا في سالب اثنين تربيع، وهو ما يمكننا تبسيطه لنحصل على خمسة يساوي خمسة ﺃ زائد أربعة ﺏ. يمكننا الآن تطبيق طريقة مشابهة لإيجاد قيمة النهاية لـ ﺩﺱ عندما يقترب ﺱ من سالب اثنين من جهة اليمين. وهي القيمة التي نعلم أنها تساوي خمسة أيضًا؛ لأن السؤال يخبرنا أن الدالة ﺩ متصلة عند ﺱ يساوي سالب اثنين.

نلاحظ أنه بما أن ﺱ يقترب من سالب اثنين من جهة اليمين، أن قيمة ﺱ لا بد أن تكون أكبر من سالب اثنين. ومن السؤال، نلاحظ أن الدالة ﺩﺱ تساوي ﺃﺱ ناقص ثلاثة ﺏ عند ﺱ أكبر من سالب اثنين. وبما أن الدالة ﺩﺱ تساوي ﺃﺱ ناقص ثلاثة ﺏ عند ﺱ أكبر من سالب اثنين، فيمكننا التعويض عن ﺩﺱ في النهاية بـ ﺃﺱ ناقص ثلاثة ﺏ.

حسنًا، يمكننا إيجاد قيمة نهاية دالة خطية باستخدام التعويض. هذا يخبرنا أن النهاية تساوي ﺃ مضروبًا في سالب اثنين ناقص ثلاثة ﺏ، وهو ما يمكن تبسيطه إلى سالب اثنين ﺃ ناقص ثلاثة ﺏ. وبهذا نكون قد حصلنا على معادلتين لـ ﺃ وﺏ، اللتين نعلم أنهما صحيحتان بالتأكيد. والآن، يمكننا حل هاتين المعادلتين آنيًّا. يمكننا حذف حدي ﺃ لدينا بضرب المعادلة الأولى في اثنين والمعادلة الثانية في خمسة.

وبتبسيط المعادلة الأولى، نحصل على ١٠ يساوي ١٠ﺃ زائد ثمانية ﺏ. وبتبسيط المعادلة الثانية، نحصل على ٢٥ يساوي سالب ١٠ﺃ ناقص ١٥ﺏ. وسنجمع هاتين المعادلتين معًا، ونحصل بذلك على ١٠ زائد ٢٥ يساوي ١٠ﺃ زائد ثمانية ﺏ زائد سالب ١٠ﺃ ناقص ١٥ﺏ. يمكننا بعد ذلك تبسيط هذا لنحصل على ٣٥ يساوي سالب سبعة ﺏ. وهذا يمكننا حله بعد ذلك لنحصل على ﺏ يساوي سالب خمسة.

يمكننا بعد ذلك التعويض بقيمة ﺏ، التي تساوي سالب خمسة، في المعادلة الأولى. وهذا يعطينا خمسة يساوي خمسة ﺃ زائد أربعة مضروبًا في سالب خمسة. ويمكننا حل هذا لنحصل على ﺃ يساوي خمسة. يمكننا بعد ذلك التعويض عن ﺃ بخمسة وعن ﺏ بسالب خمسة في تعريف الدالة ﺩﺱ، ونجد بذلك أن ﺩﺱ تساوي خمسة مضروبًا في خمسة زائد سالب خمسة مضروبًا في ﺱ تربيع عند ﺱ أقل من سالب اثنين. وﺩﺱ تساوي خمسة عند ﺱ يساوي سالب اثنين. وﺩﺱ تساوي خمسة ﺱ ناقص ثلاثة مضروبًا في سالب خمسة عند ﺱ أكبر من سالب اثنين.

يمكننا بعد ذلك تبسيط أجزاء الدالة المتعددة التعريف، ﺩﺱ؛ لنحصل على تعريف جديد للدالة ﺩﺱ. دعونا إذن نفرغ بعض المساحة ونناقش قابلية الدالة ﺩ للاشتقاق عند النقطة ﺱ يساوي سالب اثنين. يمكننا اشتقاق كل جزء من الدالة المتعددة التعريف على حدة، وسنتجاهل الجزء ﺩﺱ يساوي خمسة؛ لأن هذا الجزء معرف عند نقطة واحدة فقط.

هذا يعطينا دالة مشتقة متعددة التعريف، وهي ﺩ شرطة ﺱ. يمكننا استخدام قاعدة القوة لإيجاد قيمة كل من هذين الجزأين، ونحصل بذلك على الدالة المشتقة ﺩ شرطة ﺱ تساوي سالب ١٠ﺱ عند ﺱ أقل من سالب اثنين، وخمسة عند ﺱ أكبر من سالب اثنين. وأخيرًا، علينا التحقق من تطابق النهايتين اليسرى واليمنى عندما يقترب ﺱ من سالب اثنين لـ ﺩ شرطة ﺱ. إذا تطابقت النهايتان اليسرى واليمنى، يمكننا قول إن الدالة قابلة للاشتقاق عند النقطة ﺱ يساوي سالب اثنين. وإذا لم تتطابقا يمكننا عندئذ استنتاج أن الدالة غير قابلة للاشتقاق عند النقطة ﺱ يساوي سالب اثنين.

بالنسبة إلى النهاية اليمنى؛ حيث يقترب ﺱ من سالب اثنين من جهة اليمين، لا بد أن تكون قيمة ﺱ أكبر من سالب اثنين. إذن، ﺩ شرطة ﺱ لا بد أن تساوي سالب ١٠ﺱ، ما يعطينا النهاية لسالب ١٠ﺱ عندما يقترب ﺱ من سالب اثنين من جهة اليمين. وبما أن سالب ١٠ﺱ دالة خطية، فيمكننا إيجاد قيمتها باستخدام التعويض المباشر، ما يعطينا سالب ١٠ مضروبًا في سالب اثنين. وهذا يمكننا حسابه لنحصل على ٢٠.

وبالمثل، بالنسبة إلى النهاية عندما يقترب ﺱ من سالب اثنين من جهة اليسار، لا بد أن تكون قيمة ﺱ أقل من سالب اثنين. إذن، الدالة ﺩ شرطة ﺱ تساوي خمسة، ما يعطينا النهاية لخمسة عندما يقترب ﺱ من سالب اثنين من اليسار. إننا نعلم أنه لأي ثابت ﻙ، تكون النهاية لـ ﻙ عندما يقترب ﺱ من ﺃ تساوي ﻙ. ومن ثم، نجد أن قيمة النهاية لخمسة تساوي خمسة. ويمكننا تمثيل الدالة بيانيًّا عند هذه النقطة لنحصل على فكرة أفضل لما أوضحناه.

لدينا تمثيلان بيانيان للدالة المتعددة التعريف ﺩﺱ يلتقيان عند ﺱ يساوي سالب اثنين. والسبب في وجود انعطاف عند هذه النقطة هو أن التمثيل البياني لـ ﺹ يساوي خمسة ﺱ زائد ١٥ له ميل ثابت يساوي خمسة. لكن التمثيل البياني لـ ﺹ يساوي ٢٥ ناقص خمسة ﺱ تربيع له ميل يقترب من ٢٠ عند سالب اثنين. والفرق بين هاتين القيمتين يوضح أن الدالة ﺩ غير قابلة للاشتقاق عند النقطة ﺱ يساوي سالب اثنين.

إذن، تلخيصًا لما توصلنا إليه، إننا الآن نعلم أن ﺃ يساوي خمسة، وﺏ يساوي سالب خمسة، والدالة ﺩﺱ غير قابلة للاشتقاق عند النقطة ﺱ يساوي سالب اثنين.