فيديو السؤال: اشتقاق الدوال المثلثية باستخدام قاعدة الضرب الرياضيات

إذا كان ﺹ = ٨ﺱ جتا ٦ﺱ، فأوجد ﺩﺹ‏/‏ﺩﺱ.

٠٣:٤١

‏نسخة الفيديو النصية

إذا كان ﺹ يساوي ثمانية ﺱ في جتا ستة ﺱ، فأوجد مشتقة ﺹ بالنسبة إلى ﺱ.

علينا إيجاد تعبير لمشتقة ﺹ بالنسبة إلى ﺱ، ويمكننا أن نلاحظ أن ﺹ معطى لنا على صورة حاصل ضرب دالتين. إنه حاصل ضرب ثمانية ﺱ وجتا ستة ﺱ، لذا يمكننا محاولة إيجاد ﺩﺹ على ﺩﺱ باستخدام قاعدة الضرب. إننا نذكر أن قاعدة الضرب تخبرنا أنه إذا كان ﺹ هو حاصل ضرب دالتين قابلتين للاشتقاق، هما ﻉﺱ في ﻕﺱ، فإن مشتقة ﺹ بالنسبة إلى ﺱ تساوي ﻉﺱ في مشتقة ﻕ بالنسبة إلى ﺱ زائد ﻕﺱ في مشتقة ﻉ بالنسبة إلى ﺱ.

في هذه الحالة، ﺹ يساوي ثمانية ﺱ مضروبًا في جتا ستة ﺱ، لذا، سنجعل ﻉﺱ مساويًا لثمانية ﺱ، وﻕﺱ مساويًا لـ جتا ستة ﺱ. ونحن نعرف كيف نشتق هذين التعبيرين، لذا يمكننا فعل ذلك باستخدام قاعدة الضرب. ولاستخدام قاعدة الضرب، علينا إيجاد تعبيرين لـ ﺩﻉ على ﺩﺱ وﺩﻕ على ﺩﺱ، لذا هيا نحسبهما أولًا. لنبدأ بـ ﺩﻉ على ﺩﺱ. وهو مشتقة ثمانية ﺱ بالنسبة إلى ﺱ. يمكننا فعل ذلك باستخدام قوة الاشتقاق. إذن، سنعيد كتابة ثمانية ﺱ على صورة ثمانية ﺱ مرفوعًا للقوة واحد، ثم نضرب في الأس الخاص بـ ﺱ، ثم نطرح واحدًا من هذا الأس.

لكن، يمكننا إجراء ذلك أيضًا بملاحظة أن ثمانية ﺱ دالة خطية. ونحن نعلم أن ميل الدالة الخطية هو ببساطة معامل ﺱ، وهو في هذه الحالة ثمانية. وعليه يصبح لدينا ﺩﻉ على ﺩﺱ يساوي ثمانية. علينا أيضًا إيجاد تعبير لـ ﺩﻕ على ﺩﺱ. وهو مشتقة جتا ستة ﺱ بالنسبة إلى ﺱ. ولاشتقاق هذا التعبير، علينا تذكر إحدى القواعد القياسية لاشتقاق الدوال المثلثية. إننا نعلم أنه لأي ثابت حقيقي ﺃ، تكون مشتقة جتا ﺃﺱ بالنسبة إلى ﺱ تساوي سالب ﺃ في جا ﺃﺱ. في هذه الحالة، قيمة ﺃ تساوي ستة، ومن ثم نحصل على مشتقة جتا ستة ﺱ بالنسبة إلى ﺱ تساوي سالب ستة في جا ستة ﺱ.

الآن وبعد أن وجدنا تعبيرين لـ ﺩﻉ على ﺩﺱ وﺩﻕ على ﺩﺱ، يمكننا استخدام قاعدة الضرب لتساعدنا في إيجاد ﺩﺹ على ﺩﺱ. إنه يساوي ﻉﺱ في ﺩﻕ على ﺩﺱ زائد ﻕﺱ في ﺩﻉ على ﺩﺱ. وبالتعويض في التعبيرين عن ﻉﺱ، وﻕﺱ، وﺩﻕ على ﺩﺱ، وﺩﻉ على ﺩﺱ، نحصل على ﺩﺹ على ﺩﺱ يساوي ثمانية في سالب ستة جا ستة ﺱ زائد جتا ستة ﺱ الكل مضروب في ثمانية. وإذا حسبنا هذه المعادلة وأعدنا ترتيبها، فسنحصل على سالب ٤٨ﺱ في جا ستة ﺱ زائد ثمانية في جتا ستة ﺱ. وهذه هي إجابتنا النهائية.

وبذلك، نكون قد تمكنا من أن نوضح أنه إذا كان ﺹ يساوي ثمانية ﺱ في جتا ستة ﺱ، فإن مشتقة ﺹ بالنسبة إلى ﺱ تساوي سالب ٤٨ﺱ في جا ستة ﺱ زائد ثمانية مضروبًا في جتا ستة ﺱ.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.