نسخة الفيديو النصية
في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيفية إيجاد الجذور النونية للعدد واحد ونستكشف خواصها. سنبدأ بمعرفة ما المقصود بالجذور النونية للعدد واحد، ونوجد صورتها العامة. وبعد ذلك سنحسب مجموعها ونوجد خواص مقلوبها، ثم نتناول تطبيق هذه الجذور وخواصها الهندسية.
إذا كان ﻉ جذرًا نونيًا للعدد واحد، فهو يحقق العلاقة: ﻉ أس ﻥ يساوي واحدًا.
يمكننا استخدام نظرية ديموافر لمساعدتنا في حل هذه المعادلة، ومن ثم لإيجاد الصورة العامة للجذر النوني للعدد واحد. تنص نظرية ديموافر للجذور على أنه بالنسبة لأي عدد مركب مكتوب على الصورة القطبية، ﺭ جتا 𝜃 زائد ﺕ جا 𝜃، تعطى جذوره النونية على الصورة: ﺭ أس واحد على ﻥ في جتا 𝜃 زائد اثنين 𝜋ﻙ على ﻥ زائد ﺕ جا 𝜃 زائد اثنين 𝜋ﻙ على ﻥ. ويأخذ ﻙ جميع القيم الصحيحة من صفر حتى ﻥ ناقص واحد.
لحل المعادلة: ﻉ أس ﻥ يساوي واحدًا، سنبدأ بكتابة العدد واحد على الصورة القطبية. من السهل كتابة العدد واحد، الذي يساوي الجزء الحقيقي له واحدًا والجزء التخيلي صفرًا، على الصورة القطبية. وعند تمثيل العدد واحد على مخطط أرجاند، نجد أنه يمثل بالنقطة ذات الإحداثيين الكارتيزيين: واحد، وصفر. مقياس ذلك العدد، وهو ﺭ في الصورة العامة للعدد المركب، هو طول القطعة المستقيمة التي تصل بين هذه النقطة ونقطة الأصل. لذا، لا بد أن مقياس ذلك العدد يساوي وحدة واحدة. والسعة هي قياس الزاوية التي تصنعها هذه القطعة المستقيمة مع محور الأعداد الحقيقية الموجبة. وتقاس عكس اتجاه عقارب الساعة. فنلاحظ أن سعة ذلك العدد لا بد أن تساوي صفرًا.
وبذلك يمكننا القول إن الواحد يساوي واحدًا في جتا صفر زائد ﺕ جا صفر. ومن ثم تكتب الجذور النونية للعدد واحد، أو بعبارة أخرى الجذور النونية للوحدة، على الصورة: واحد في جتا صفر زائد اثنين 𝜋ﻙ على ﻥ زائد ﺕ جا صفر زائد اثنين 𝜋ﻙ على ﻥ، لقيم ﻙ من صفر حتى ﻥ ناقص واحد.
يمكننا تبسيط هذا التعبير قليلًا. فنلاحظ أن الجذور النونية للعدد واحد تعطى على الصورة: جتا اثنين 𝜋ﻙ على ﻥ زائد ﺕ جا اثنين 𝜋ﻙ على ﻥ، التي تكون صورتها الأسية هي: ﻫ أس اثنين 𝜋ﻙ على ﻥ ﺕ. وذلك لقيم ﻙ بين صفر وﻥ ناقص واحد. من المهم أن تعلم أن ذلك هو تعريف الجذور النونية للعدد واحد. ويجب أن تعرفه وتتذكره عند إيجاد الجذور النونية للعدد واحد. والآن بعد أن استنتجنا ذلك، ليس من الضروري أن نستخدم نظرية ديموافر في كل مرة. في المثالين الآتيين، سنتناول كيفية تطبيق هذه الصيغة لإيجاد الجذر النوني للعدد واحد.
أوجد الجذور التكعيبية للعدد واحد، ومثلها على مخطط أرجاند.
إن إيجاد الجذور التكعيبية للعدد واحد يعني محاولة معرفة حلول المعادلة: ﻉ تكعيب يساوي واحدًا. لإيجاد هذه الحلول، يمكننا استخدام الصيغة العامة للجذور النونية للعدد واحد. وهي: جتا اثنين 𝜋ﻙ على ﻥ زائد ﺕ جا اثنين 𝜋ﻙ على ﻥ، لجميع قيم ﻙ الصحيحة بين صفر وﻥ ناقص صفر. وبما أننا نريد إيجاد الجذور التكعيبية للعدد واحد، فإن قيمة ﻥ في هذا المثال تساوي ثلاثة، ما يعني أن ﻙ يأخذ القيم: صفر، وواحد، واثنين.
لنبدأ بالتعويض عندما يكون ﻙ يساوي صفرًا. هذا الجذر يساوي جتا صفر زائد ﺕ جا صفر. جتا صفر يساوي واحدًا. وجا صفر يساوي صفرًا. إذن الجذر الأول هو واحد. وهذا منطقي تمامًا إذا فكرنا في أن حل المعادلة ﻉ تكعيب يساوي واحدًا.
بعد ذلك، نعوض عن ﻙ بواحد. يساوي هذا الجذر جتا اثنين 𝜋 على ثلاثة زائد ﺕ جا اثنين 𝜋 على ثلاثة. ويكتب على الصورة الأسية: ﻫ أس اثنين 𝜋 على ثلاثة ﺕ. وأخيرًا، نعوض عن ﻙ باثنين. فنجد أن الجذر يساوي جتا أربعة 𝜋 على ثلاثة زائد ﺕ جا أربعة 𝜋 على ثلاثة. لكن نلاحظ هنا أن سعة هذا الجذر تقع خارج مدى السعة الأساسية. لذلك، سنطرح اثنين 𝜋 من أربعة 𝜋 على ثلاثة لنحصل على سالب اثنين 𝜋 على ثلاثة. وبالتالي، الجذر الثالث والأخير هو جتا سالب اثنين 𝜋 على ثلاثة زائد ﺕ جا سالب اثنين 𝜋 على ثلاثة. وعلى الصورة الأسية، يكون ﻫ أس سالب اثنين 𝜋 على ثلاثة ﺕ.
والآن بعد أن حصلنا على الجذور التكعيبية للعدد واحد، علينا تمثيلها على مخطط أرجاند. ثمة طريقتان لحل هذه المسألة. فيمكننا أن نحول كل عدد من هذه الأعداد إلى الصورة الجبرية. فتكون: واحدًا، وسالب نصف زائد جذر ثلاثة على اثنين ﺕ، وسالب نصف ناقص جذر ثلاثة على اثنين ﺕ. وتمثل على مخطط أرجاند كما هو موضح. كان بإمكاننا، بدلًا من ذلك، استخدام مقياس كل جذر وسعته.
في كلتا الحالتين، نلاحظ أن النقاط التي تمثل هذه الأعداد المركبة تشكل رءوس مثلث متساوي الأضلاع. هذا المثلث مرسوم داخل دائرة وحدة مركزها نقطة الأصل. في الواقع، تتمثل إحدى الخواص الهندسية المثيرة للاهتمام للجذور النونية للعدد واحد في أنه على مخطط أرجاند تقع جميع هذه الجذور على مسافات متساوية على دائرة الوحدة التي مركزها نقطة الأصل. فتشكل مضلعًا منتظمًا عدد أضلاعه ﻥ. ويقع أحد رءوسه عند النقطة ذات الإحداثيين الكارتيزيين: واحد، وصفر.
سنتناول هذه الخاصية بمزيد من التفصيل على مدار هذا الفيديو.
أوجد الجذور السداسية للعدد واحد.
إن إيجاد الجذور السداسية للعدد واحد يماثل حل المعادلة: ﻉ أس ستة يساوي واحدًا. مرة أخرى سنستخدم الصيغة العامة للجذور النونية للعدد واحد. وهي: جتا اثنين 𝜋ﻙ على ﻥ زائد ﺕ جا اثنين 𝜋ﻙ على ﻥ، عندما يأخذ ﻙ القيم الصحيحة من صفر إلى ﻥ ناقص واحد. في هذا المثال، نريد إيجاد الجذور السداسية للعدد واحد. إذن، ﻥ يساوي ستة. وﻙ يأخذ القيم الصحيحة من صفر إلى خمسة. نوجد الجذر الأول عند ﻙ يساوي صفرًا. وهو جتا صفر زائد ﺕ جا صفر، وهو ما يساوي واحدًا.
لقد رأينا أنه على مخطط أرجاند، النقاط التي تمثل الجذور النونية للعدد واحد تكون مضلعًا منتظمًا عدد أضلاعه ﻥ، ويقع أحد رؤوسه عند النقطة: واحد، صفر. هذه النقطة هي هذا الجذر. فيما يتعلق بالجذر الثاني، سنعوض عن ﻙ بواحد. فنحصل على جتا اثنين 𝜋 على ستة زائد ﺕ جا اثنين 𝜋 على ستة. ونبسط السعة هنا لتصبح 𝜋 على ثلاثة. يمكن أن نكتب ذلك على الصورة الأسية أيضًا، وهي: ﻫ أس 𝜋 على ثلاثة ﺕ. وعند ﻙ يساوي اثنين، يكون الجذر هو جتا أربعة 𝜋 على ستة زائد ﺕ جا أربعة 𝜋 على ستة. وتبسط هذه السعة لتصبح اثنين 𝜋 على ثلاثة.
بعد ذلك، عند ﻙ يساوي ثلاثة، يكون الجذر جتا ستة 𝜋 على ستة زائد ﺕ جا ستة 𝜋 على ستة، وهو ما يساوي سالب واحد. وعند ﻙ يساوي أربعة، يكون الجذر جتا ثمانية 𝜋 على ستة زائد ﺕ جا ثمانية 𝜋 على ستة. وتبسط السعة هنا إلى أربعة 𝜋 على ثلاثة. لكن هذه السعة تقع خارج مدى السعة الأساسية. لذلك، سنطرح اثنين 𝜋 من أربعة 𝜋 على ثلاثة لنحصل على سالب اثنين 𝜋 على ثلاثة. وعلى الصورة الأسية، يساوي الجذر الخامس ﻫ أس سالب اثنين 𝜋 على ثلاثة ﺕ. وأخيرًا، عند ﻙ يساوي خمسة، نحصل على جتا ١٠𝜋 على ستة زائد ﺕ جا ١٠𝜋 على ستة. وهذه المرة تبسط السعة إلى خمسة 𝜋 على ثلاثة، وهي تقع خارج مدى السعة الأساسية أيضًا. خمسة 𝜋 على ثلاثة ناقص اثنين 𝜋 يساوي سالب 𝜋 على ثلاثة. ونلاحظ أن الجذر الأخير، على الصورة الأسية، يكون: ﻫ أس سالب 𝜋 على ثلاثة ﺕ.
بذلك نكون قد أوجدنا الجذور السداسية للعدد واحد. وهي على الصورة الأسية: واحد، وﻫ أس 𝜋 على ثلاثة ﺕ، وﻫ أس اثنين 𝜋 على ثلاثة ﺕ، وسالب واحد، وﻫ أس سالب اثنين 𝜋 على ثلاثة ﺕ، وﻫ أس سالب 𝜋 على ثلاثة ﺕ. ويمكن أن نمثل الجذور السداسية للعدد واحد على مخطط أرجاند. وسنلاحظ أن النقاط التي تمثل هذه الجذور تكون رءوس سداسي أضلاع منتظم مرسوم داخل دائرة وحدة كما هو موضح.
في هذه المرحلة، من المهم أن نذكر تعريفًا آخر. إن الجذر البدائي للعدد واحد ليس جذرًا من الجذور ﻙ للعدد واحد؛ حيث ﻙ أصغر من ﻥ. وبالتالي في هذا المثال، الجذور البدائية تكون عند ﻙ يساوي واحدًا، وعند ﻙ يساوي خمسة؛ حيث إن الجذور عند ﻙ يساوي اثنين وﻙ يساوي أربعة هي جذور تكعيبية للعدد واحد أيضًا. وعند ﻙ يساوي صفرًا وﻙ يساوي ثلاثة، تكون هذه الجذور التربيعية للعدد واحد. بعبارة أخرى، ستكون هي الجذور التربيعية للوحدة.
سنتناول العلاقة بين الجذور المختلفة للعدد واحد بمزيد من التفصيل لاحقًا في هذا الفيديو. من المفيد أن نعرف أننا نستخدم عادة الرمز 𝜔 للتعبير عن الجذر البدائي للعدد واحد الذي له أصغر قيمة سعة موجبة. في حالة الجذور السداسية للعدد واحد، يكون الجذر البدائي هو ﻫ أس 𝜋 على ثلاثة ﺕ. ومن المثير للاهتمام أن كل جذوره الأخرى قوى لـ 𝜔. لن نتعمق في هذه الخاصية أكثر من ذلك؛ لأن ذلك خارج نطاق هذا الفيديو. لكنها خاصية مثيرة للاهتمام قد ترغب في معرفة المزيد عنها. الآن وبعد أن تعرفنا على بعض التعريفات والعملية التي سنتبعها لإيجاد الجذور النونية للعدد واحد، فلنلق نظرة على خواص مجموع الجذور النونية للعدد واحد.
أوجد مجموع الجذور السداسية للعدد واحد.
لقد حسبنا بالفعل الجذور السداسية للعدد واحد. وتكون على الصورة القطبية كما هو موضح. سنغير هذه الجذور لتصبح على الصورة الجبرية. الجذر الثاني هو نصف زائد جذر ثلاثة على اثنين ﺕ. الجذر الثالث هو سالب نصف زائد جذر ثلاثة على اثنين ﺕ. الجذر الخامس هو سالب نصف ناقص جذر ثلاثة على اثنين ﺕ. والجذر الأخير هو نصف ناقص جذر ثلاثة على اثنين ﺕ. وبالتالي، يكون مجموعها كما هو موضح أمامنا.
ويمكن إيجاد مجموع الأعداد المركبة المكتوبة على الصورة الجبرية عن طريق جمع أجزائها الحقيقية ثم جمع أجزائها التخيلية بشكل منفصل. سنبدأ بالأجزاء الحقيقية. واحد زائد سالب واحد يساوي صفرًا. نصف زائد سالب نصف يساوي صفرًا. وسالب نصف زائد نصف يساوي صفرًا أيضًا. وماذا عن الأجزاء التخيلية؟ جذر ثلاثة على اثنين ناقص جذر ثلاثة على اثنين يساوي صفرًا. وكذلك جذر ثلاثة على اثنين ناقص جذر ثلاثة على اثنين يساوي صفرًا. إذن، مجموع الجذور السداسية يساوي صفرًا.
في الواقع، ليس عليك القيام بهذه العملية في كل مرة. فهي وسيلة لتحقيق غاية معينة؛ إذ يمكننا في الواقع تعميمها. بوجه عام، مجموع الجذور النونية للعدد واحد، عندما يكون ﻥ أكبر من واحد، يساوي صفرًا دائمًا. وهذه نتيجة أخرى علينا أن نعرفها ونطبقها عند الحاجة.
في المثال الآتي، سنتناول كيف نوجد مقلوب الجذور النونية للعدد واحد.
إذا كان ﻉ جذرًا نونيًا للعدد واحد وﻙ عددًا صحيحًا موجبًا. أي من العلاقات التالية تمثل العلاقة الصحيحة بين مقلوب ﻉ وﻉ؟ هل هي (أ) مقلوب ﻉ يساوي ﻉ. أم (ب) مقلوب ﻉ يساوي سالب ﻉ. أم (ج) مقلوب ﻉ يساوي سالب مرافق ﻉ. أم (د) مقلوب ﻉ يساوي مرافق ﻉ.
لنعرف أي من هذه العلاقات تمثل العلاقة الصحيحة، علينا أولًا حساب قيمة ﻉ أس سالب واحد أو مقلوب ﻉ. بما أن ﻉ جذر نوني للعدد واحد، يمكن أن نكتب ﻉ على الصورة: ﻫ أس ﺕ𝜃؛ حيث 𝜃 تساوي اثنين 𝜋ﻙ على ﻥ، وﻙ تأخذ جميع القيم الصحيحة من صفر إلى ﻥ ناقص واحد. معنى ذلك أن ﻉ أس سالب واحد يساوي ﻫ أس ﺕ𝜃 الكل أس سالب واحد، وهو ما يساوي ﻫ أس سالب ﺕ𝜃.
بعد ذلك، نتذكر خاصية مرافق العدد المركب المكتوب على الصورة الأسية. نعلم أن مرافق ﺭﻫ أس ﺕ𝜃 هو ﺭﻫ أس سالب ﺕ𝜃. وذلك يعني أن ﻉ أس سالب واحد يساوي مرافق ﻉ؛ لأننا عرفنا ﻉ بأنه ﻫ أس ﺕ𝜃. وبذلك نجد أن مقلوب ﻉ أو ﻉ أس سالب واحد يساوي مرافق ﻉ. الإجابة الصحيحة إذن هي (د).
ويمكن التوسع في هذا التعريف بعض الشيء. فيمكننا القول إن مقلوب الجذر النوني للعدد واحد يساوي المرافق المركب لذلك الجذر. لكن ذلك المرافق هو أيضًا جذر نوني للعدد واحد.
سنلقي نظرة الآن على تعريف آخر. وبعد ذلك، سنتناول مثالًا على ذلك التعريف للخواص الهندسية للجذور النونية للعدد واحد. سنبدأ بمعرفة كيف ترتبط الجذور النونية للعدد واحد بعضها ببعض لقيم ﻥ المختلفة.
ما علاقة الجذور التكعيبية للعدد واحد بالجذور السداسية للعدد واحد؟
لقد تناولنا هذه الفكرة بإيجاز. ورأينا أن الجذور التكعيبية هي: واحد، وﻫ أس اثنين 𝜋 على ثلاثة ﺕ، وﻫ أس سالب اثنين 𝜋 على ثلاثة ﺕ. ورأينا أيضًا أن الجذور السداسية للعدد واحد هي: واحد، وﻫ أس 𝜋 على ثلاثة ﺕ، وﻫ أس اثنين 𝜋 على ثلاثة ﺕ، وسالب واحد، وﻫ أس سالب اثنين 𝜋 على ثلاثة ﺕ، وﻫ أس سالب 𝜋 على ثلاثة ﺕ. نلاحظ هنا أن كل الجذور التكعيبية للعدد واحد هي أيضًا جذور سداسية للعدد واحد. وقد تناولنا ذلك أثناء شرحنا مفهوم الجذور البدائية للعدد واحد.
لنوسع نطاق هذه الفكرة ونحولها إلى تعريف. يمكننا القول إنه إذا كان ﻥ يساوي حاصل ضرب العددين ﻡ وﺏ، فإن الجذور ﻡ للعدد واحد هي نفسها الجذور النونية للعدد واحد. وبالمثل، الجذور ﺏ للعدد واحد هي نفسها الجذور النونية للعدد واحد. ويمكننا القول إن الجذور المشتركة لـ ﻉ أس ﻥ ناقص واحد يساوي صفرًا، وﻉ أس ﻡ ناقص واحد يساوي صفرًا؛ هي بالتأكيد جذور ﻉ أس ﺩ ناقص واحد يساوي صفرًا؛ حيث ﺩ هو القاسم المشترك الأكبر لـ ﻡ وﻥ.
لنتناول مثالًا على استخدام تطبيقات خواص الجذور النونية للعدد واحد.
مضلعان منتظمان مرسومان داخل نفس الدائرة. عدد أضلاع الأول ١٧٣١ ضلعًا. وعدد أضلاع الثاني ٤٠٣٩ ضلعًا. إذا كان المضلعان يشتركان في رأس واحد على الأقل، فما إجمالي عدد الرءوس التي ستتطابق بينهما؟
تذكر أن التفسير الهندسي للجذور النونية للعدد واحد على مخطط أرجاند يتمثل في رءوس مضلع منتظم عدد أضلاعه ﻥ، مرسوم داخل دائرة وحدة مركزها نقطة الأصل. معنى ذلك أنه لحل هذه المسألة علينا إيجاد عدد الجذور المشتركة لـ ﻉ أس ١٧٣١ ناقص واحد يساوي صفرًا، وﻉ أس ٤٠٣٩ ناقص واحد يساوي صفرًا. تذكر أن الجذور المشتركة لـ ﻉ أس ﻡ ناقص واحد يساوي صفرًا، وﻉ أس ﻥ ناقص واحد يساوي صفرًا، هي جذور ﻉ أس ﺩ ناقص واحد يساوي صفرًا؛ حيث ﺩ هو القاسم المشترك الأكبر لـ ﻡ وﻥ.
وبالتالي، نعرف أن الجذور المشتركة للمعادلتين هي جذور ﻉ أس ﺩ ناقص واحد يساوي صفرًا؛ حيث ﺩ هو القاسم المشترك الأكبر للعددين ١٧٣١ و٤٠٣٩. وهذا يعني أنه إذا تمكنا من إيجاد قيمة ﺩ، وهو القاسم المشترك الأكبر للعددين ١٧٣١ و٤٠٣٩، فسنعرف عدد الجذور المشتركة. بما أن العددين هما حاصل ضرب عواملهما الأولية، يمكن أن نكتبهما على صورة ثلاثة في ٥٧٧، وسبعة في ٥٧٧، على الترتيب. وبذلك يكون القاسم المشترك الأكبر لهما وقيمة ﺩ هو ٥٧٧. معنى ذلك أنه بما أن المضلعين لهما رأس مشترك واحد، فسيكون لهما ٥٧٧ رأسًا متطابقًا.
في هذا الفيديو، تعلمنا أنه يمكننا إيجاد الجذور النونية للعدد واحد، وأن نعبر عنها على الصورة القطبية أو الصورة الأسية. على الصورة الأسية، تكون هذه الجذور هي: ﻫ أس اثنين 𝜋ﻙ على ﻥ ﺕ؛ حيث يأخذ ﻙ جميع القيم الصحيحة من صفر إلى ﻥ ناقص واحد. ورأينا أننا إذا مثلنا هذه الجذور على مخطط أرجاند، فستكون النقاط التي تمثلها رءوس مضلع منتظم عدد أضلاعه ﻥ مرسوم داخل دائرة وحدة مركزها نقطة الأصل.
تعلمنا كذلك أن مجموع الجذور النونية للعدد واحد هو صفر لقيم ﻥ الأكبر من واحد. وعرفنا أيضًا أن مقلوب أي جذر نوني للعدد واحد يساوي المرافق المركب لهذا الجذر. وهذا المرافق في حد ذاته هو جذر نوني للعدد واحد. وأخيرًا، رأينا أنه يمكننا إيجاد الجذور المشتركة لـ ﻉ أس ﻡ ناقص واحد يساوي صفرًا، وﻉ أس ﻥ ناقص واحد يساوي صفرًا عن طريق إيجاد جذور ﻉ أس ﺩ ناقص واحد يساوي صفرًا؛ حيث ﺩ هو القاسم المشترك الأكبر لـ ﻡ وﻥ. وتناولنا باختصار التطبيق الهندسي لهذه الحقيقة.
