نسخة الفيديو النصية
في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نحدد الزاوية المركزية في دائرة ونوجد قياسها باستخدام خصائصها. لتوضيح ذلك، دعونا نفكر في شريف. يبلغ إجمالي طول المضمار الدائري الذي يركض فيه ٤٠٠ متر. لنفترض أن شريف قطع ربع المضمار ركضًا. إذا حددنا ربع المضمار، فسيكون هذه المسافة. إذا افترضنا بعد ذلك أن مدرب شريف يقف في منتصف المضمار، ويتابعه دون أن يتحرك من المركز، فسنرى أنه أكمل ربع دورة. ونعلم أن ربع الدورة يساوي ٩٠ درجة. إذا أردنا كتابة المسافة التي ركضها شريف، يمكننا القول إنه ركض ١٠٠ متر لأن ١٠٠ يساوي ربع ٤٠٠.
والآن، نضيف إلى هذا الموقف أن ثمة مضمارًا دائريًا أكبر يحيط بالمضمار الأصغر من الخارج. إجمالي طول المضمار الدائري الأكبر يساوي ٦٠٠ متر. وتركض ندى ربع هذا المضمار. إذا حددنا ربع هذا المضمار، فسنجده هذه المسافة. يجب أن نلاحظ أمرًا مثيرًا للاهتمام هنا. وهو أن المدرب الواقف في المنتصف سيدور ربع دورة أيضًا بينما يتابع ندى. أي إن المدرب يدور ربع دورة ليتابع كلًا من شريف وندى. لكن ندى لم تقطع مسافة ١٠٠ متر فقط. ولمعرفة المسافة التي قطعتها، علينا أن نحسب ربع ٦٠٠ متر، وهو ١٥٠.
نتوصل من ذلك إلى بعض الاستنتاجات. نلاحظ أن المسافة التي ركضها شريف على المسافة الكلية للمضمار تعادل واحدًا إلى أربعة. وينطبق الأمر نفسه على ندى. فنسبة المسافة التي قطعتها إلى المسافة الكلية للمضمار هي واحد على أربعة.
والآن نريد أن نرى ما إذا كان يمكننا كتابة نسبة تعبر عن هذه الدورة التي أتمها المدرب أثناء متابعتهما وهما يركضان. قلنا إنه دار ربع دورة، أي دورة مقدارها ٩٠ درجة. ٩٠ درجة تمثل القيمة التي ركضها شريف وندى. وفي هذه الحالة، كم تمثل المسافة الكلية للمضمار؟
إذا رسمنا دورة كاملة بدءًا من نقطة البداية، فسنجدها تساوي ٣٦٠ درجة. إذن، الدورة الكاملة تساوي ٣٦٠ درجة. دار المدرب بزاوية ٩٠ درجة من أصل ٣٦٠ درجة، وهي نفس القيمة بالنسبة إلى المسافة التي ركضها كل من شريف وندى. ما نلاحظه هنا هو أنه ثمة علاقة تناسب بين زاوية المركز والقوس المقابل لها.
لذا، دعونا نشرح ذلك بمزيد من التفصيل. بافتراض أن لدينا دائرة مركزها ﻡ، وأن النقطتين ﺃ وﺏ تقعان على الدائرة؛ إذن، ﻡﺃ وﺏﻡ هما نصفا قطرين للدائرة. يطلق على المنحنى الواصل بين النقطتين ﺃ وﺏ القوس ﺃﺏ. وأحيانًا، نكتب الحرفين مع رسم منحنى فوقهما، ونقرؤه: القوس ﺃﺏ. أما الزاوية التي كونتها النقاط ﺃ وﻡ وﺏ فهي الزاوية ﺏﻡﺃ، وهي زاوية مركزية في هذه الدائرة. الزاوية التي تقع عند مركز الدائرة وتقابل نقطتين معطاتين على الدائرة هي زاوية مركزية. هذا يعني أنه إذا كان لدينا نقطتان أخريان تقعان على المحيط الخارجي للدائرة، وهما ﺟ وﺩ، وينتج عنهما القوس ﺟﺩ، فإن الزاوية ﺩﻡﺟ ستكون زاوية مركزية أخرى لهذه الدائرة.
قبل المتابعة، علينا توضيح أمر ما. في هذه الدائرة، يمكننا القول إن الزاوية ﺩﻡﺟ زاوية مركزية. ولدينا علامة دائرية صغيرة تشير إلى هذه الزاوية. لكن، إذا لم تكن لدينا هذه العلامة وعلمنا فقط أن الزاوية ﺩﻡﺟ زاوية مركزية، فقد نتساءل أي من هاتين الزاويتين هو الزاوية المركزية. ولذلك نضيف أن الزاوية المركزية قياسها أصغر من أو يساوي ١٨٠ درجة. إذن، الزاوية الأصغر قياسًا من الزاويتين هي الزاوية المركزية. والزاوية الأكبر قياسًا ﺩﻡﺟ تسمى زاوية منعكسة. وهذا يعني أنه عند تحديد الزوايا المركزية، علينا اختيار الزاوية التي قياسها أقل من أو يساوي ١٨٠ درجة.
قبل أن نتناول بعض الأمثلة، نريد معرفة كيفية إيجاد قياس زاوية مركزية، بمعلومية معطيات أخرى عن الدائرة. لإيجاد قياس زاوية مركزية، علينا التفكير في علاقة التناسب هذه. الزاوية المركزية على ٣٦٠ درجة يساوي طول قوس الزاوية المركزية على محيط الدائرة. يعني هذا أنه بمعرفة طول القوس ومحيط الدائرة، يمكنك إيجاد قياس زاويته المركزية. ويعني ذلك أيضًا أنك إذا كنت تعرف قياس الزاوية المركزية ومحيط الدائرة، فإنه يمكنك إيجاد طول قوسها. أو إذا كنت تعرف قياس الزاوية المركزية وطول قوسها، فستتمكن من إيجاد محيط الدائرة.
وبالطبع، يكون ذلك عندما نحسب بالدرجات. لكن، إذا أردنا الحساب بالراديان، فعلينا استخدام هذه الصيغة: الزاوية المركزية على اثنين 𝜋 يساوي طول القوس على محيط الدائرة. وهذا لأن الدورة الكاملة بالراديان تساوي اثنين 𝜋.
دعونا نعد الآن إلى مثال شريف، والمضمار الذي يبلغ طوله ٤٠٠ متر، ولكنه هذه المرة يركض مسافة ١٢٠ مترًا. المسافة التي دارها المدرب لمتابعته هي الزاوية المركزية. يمكننا تسمية هذه الزاوية 𝜃. وإذا أردنا أن نعرف قياس هذه الزاوية بالدرجات، فيمكننا القول إن الزاوية المركزية 𝜃 على ٣٦٠ درجة يساوي طول القوس ١٢٠ مترًا على طول المحيط ٤٠٠. وهذه هي المسافة الكلية.
يمكننا حل هذه المسألة بعدة طرق مختلفة. إذا قسمنا ١٢٠ على ٤٠٠، فسنحصل على ثلاثة أعشار. إذن، 𝜃 على ٣٦٠ درجة يساوي حتمًا ثلاثة أعشار. نضرب طرفي المعادلة في ٣٦٠، فنحصل على 𝜃 تساوي ١٠٨ درجات. قياس الزاوية المركزية هنا، أو الدورة التي دارها المدرب، تساوي ١٠٨ درجات.
والآن، يمكننا تناول بعض الأمثلة.
دار شادي بمقدار ثلث دورة من دورة كاملة كما هو موضح. ما عدد درجات هذا الثلث؟
للإجابة عن هذا السؤال، دعونا نفكر في عبارة: «ثلث دورة من دورة كاملة». أولًا، نكتب ثلثًا، ونعرف رياضيًا أن كلمة «من» تعني الضرب، أي إنه إذا دار شادي ثلث دورة من دورة كاملة، فسيكون مفتاح الحل هنا هو معرفة مقدار دورة كاملة. سنتعامل هنا بالدرجات، وهو ما يعني أننا نريد أن نعرف عدد الدرجات في الدورة الكاملة. إذا فكرنا في دورة كاملة واحدة، فستكون ٣٦٠ درجة. إذا كان قياس دورة كاملة واحدة هو ٣٦٠ درجة، فإن ثلثها سيكون الدورة التي دارها شادي. ثلث في ٣٦٠ يساوي ١٢٠ درجة. إذا أردنا كتابة ذلك على الرسم، فإن قياس هذه الزاوية يساوي ١٢٠ درجة.
في المثال التالي، سيكون لدينا المحيط وطول القوس، وسيتعين علينا استخدامهما لإيجاد قياس زاوية مركزية.
في الشكل، إذا كان محيط الدائرة ٩٦، وطول القوس ﺃﺏ يساوي ١٢، فأوجد 𝜃.
عند النظر إلى الشكل، نلاحظ أن 𝜃 زاوية مركزية يقابلها القوس ﺃﺏ. ولعلنا نذكر أن قياس الزاوية المركزية على ٣٦٠ درجة متناسب مع طول القوس على المحيط. نعلم أن 𝜃 هي الزاوية المركزية، وأن الدورة الكاملة في الدائرة تساوي ٣٦٠ درجة. إذا كان طول القوس يساوي ١٢، ومحيط الدائرة ٩٦، فسنحصل على علاقة تناسب يمكن حلها لإيجاد قيمة 𝜃. ١٢ مقسومًا على ٩٦ يساوي ٠٫١٢٥.
للحل لإيجاد قيمة 𝜃، يجب جعل 𝜃 في طرف بمفرده. وذلك بضرب طرفي المعادلة في ٣٦٠ درجة، فيتبقى لنا 𝜃 على اليمين. و٠٫١٢٥ في ٣٦٠ يساوي ٤٥ درجة.
هناك طريقة أخرى للحل، وهي تبسيط ١٢ على ٩٦ أولًا. أعرف أن العدد ١٢ يتكرر في العدد ٩٦ ثماني مرات. وهذا يعني أن 𝜃 على ٣٦٠ درجة يساوي واحدًا على ثمانية. ومن ثم، علينا أيضًا ضرب طرفي المعادلة في ٣٦٠ درجة. وهكذا يصبح لدينا ٣٦٠ على ثمانية. ٣٦٠ على ثمانية يساوي ٤٥ درجة. توضح كلتا الطريقتين أن قياس الزاوية المركزية التي يقابلها القوس ﺃﺏ يساوي ٤٥ درجة.
في المثال التالي، سنتناول زاوية قياسها ٤٥ درجة وعلاقتها بالدورة الكاملة.
كم زاوية قياسها ٤٥ درجة تلزم لصنع دورة كاملة؟
أولًا، علينا التفكير في قياس الدورة الكاملة. قياس الدورة الكاملة يساوي ٣٦٠ درجة. إحدى طرق حل هذه المسألة هي إيجاد نسبة الجزء إلى الكل. لدينا زاوية قياسها ٤٥ درجة، والدورة الكاملة قياسها ٣٦٠ درجة. إذا قمنا ببعض التبسيط، وقسمنا البسط على ٤٥، فإننا نحصل على واحد. وإذا قسمنا المقام على ٤٥، فإننا نحصل على ثمانية. ويعني هذا أننا نقول إن الزاوية البالغ قياسها ٤٥ درجة تساوي ثمن دورة كاملة.
إذا أردنا التعبير عن ذلك بالرسم، فإنه يمكننا رسم دائرة تمثل الدورة الكاملة ونقسمها إلى نصفين ثم إلى نصفين آخرين. أصبح لدينا الآن أربعة أرباع. لدينا أرباع من الدورة. وإذا قسمنا الدائرة إلى نصفين آخرين، فسيكون لدينا أثمان. والدوران ٤٥ درجة يساوي ثمن دورة. السؤال لدينا: كم زاوية قياسها ٤٥ درجة تلزم لصنع دورة كاملة؟ يجب عليك الدوران ٤٥ درجة ثماني مرات للعودة إلى النقطة التي بدأت منها. إذن، يمكننا القول إنه للدوران دورة كاملة، نحتاج إلى ثماني زوايا قياس كل منها ٤٥ درجة.
في المثال التالي، لن يكون لدينا رسم، ولكن سيكون لدينا طول قوس ومحيط دائرة. وعلينا إيجاد قياس الزاوية المركزية.
دائرة محيطها ١٦𝜋 وحدة. أوجد بالدرجات قياس الزاوية المركزية لقوس طوله ثلاثة 𝜋 وحدة.
لحل هذه المسألة، علينا التفكير في العلاقة بين طول القوس والمحيط وقياس الزاوية المركزية لهذا القوس. إذا أخذنا نسبة طول القوس على محيط الدائرة، فإنها ستساوي العلاقة بين الزاوية المركزية ودورة كاملة. الدورة الكاملة تساوي ٣٦٠ درجة أو اثنين 𝜋، بحسب ما إذا كنا نحسب بالدرجات أم بالراديان.
في هذه الحالة، نريد إيجاد قياس الزاوية بالدرجات. إذن، سنعوض بالقياس ٣٦٠ درجة عن الدورة الكاملة. طول القوس يساوي ثلاثة 𝜋 من الوحدات، والمحيط يساوي ١٦𝜋 من الوحدات. لنفترض أن الزاوية المركزية 𝜃، سيكون لدينا 𝜃 على ٣٦٠ يساوي ثلاثة 𝜋 على ١٦𝜋.
يمكننا التبسيط قليلًا. يمكننا حذف 𝜋 من البسط والمقام معًا. لكن، لا يمكننا تبسيط ثلاثة على ١٦ أكثر من ذلك. إذن، نضرب طرفي المعادلة في ٣٦٠ درجة. وسيصبح لدينا 𝜃 يساوي ثلاثة في ٣٦٠ درجة مقسومًا على ١٦. بقسمة ذلك، سنحصل على ٦٧٫٥ درجة.
في المثال الأخير، سنوجد قياس زاوية مركزية دون أن يكون لدينا طول القوس أو المحيط.
أوجد قياس الزاوية ﺃﻡﺏ.
بالنظر إلى الزاوية ﺃﻡﺏ، نرى أنها زاوية مركزية في الدائرة. لكن ليس لدينا أي معلومات عن القوس ﺃﺏ. وهذا يعني أن علينا التفكير في بعض الخصائص الأخرى للدوائر والمثلثات لمساعدتنا على إيجاد قياس هذه الزاوية المجهولة. أول ما يمكننا قوله هو أن القطعة المستقيمة ﺃﻡ والقطعة المستقيمة ﺏﻡ نصفا قطرين في الدائرة ﻡ. معنى ذلك أنه يمكننا القول إن القطعة المستقيمة ﺃﻡ والقطعة المستقيمة ﺏﻡ متساويتان في الطول. وهذا يعني أنه يمكننا قول شيء ما عن المثلث ﺃﻡﺏ. هذا المثلث له ضلعان متساويان في الطول، ما يجعله مثلثًا متساوي الساقين.
وفي المثلث المتساوي الساقين، تكون الزاويتان المقابلتان للضلعين المتساويين في الطول متساويتين في القياس. إذن، يمكننا القول إن قياس الزاوية ﻡﺏﺃ يساوي قياس الزاوية ﻡﺃﺏ. قياس الزاوية ﻡﺃﺏ هو ٢٧ درجة. إذن يمكننا القول إن قياس ﻡﺏﺃ يساوي ٢٧ درجة أيضًا. ونظرًا لأن المثلث ﺃﻡﺏ متساوي الساقين ولأن مجموع قياسات جميع الزوايا الداخلية في مثلث يساوي ١٨٠ درجة، يمكننا القول إن ٢٧ زائد ٢٧ زائد قياس الزاوية ﺃﻡﺏ يساوي ١٨٠ درجة. إذا جمعنا ٢٧ زائد ٢٧، نحصل على ٥٤. وعند طرح ٥٤ درجة من كلا طرفي المعادلة، نجد أن قياس الزاوية ﺃﻡﺏ يساوي ١٢٦ درجة. إذن، قياس الزاوية المركزية ﺃﻡﺏ يساوي ١٢٦ درجة.
يمكننا الآن تلخيص بعض النقاط الأساسية. عندما يكون لدينا زاوية مركزية يقابلها قوس معين، فإن قياس الزاوية المركزية إلى الدورة الكاملة يساوي طول القوس على محيط الدائرة. تنتج الزاوية المركزية من نقطتين تقعان على المحيط الخارجي للدائرة ومركز الدائرة. طول القوس هو المسافة المنحنية بين هاتين النقطتين. ومحيط الدائرة هو المسافة على طول الإطار الخارجي للدائرة.
