فيديو: متسلسلة ماكلورين وتايلور للدوال الشائعة

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيفية تمثيل الدوال الشائعة مثل الدوال الأسية والدوال المثلثية ومفكوك ذات الحدين باستخدام متسلسلة تايلور‪/‬‏ماكلورين.

١٦:٢٩

‏نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيفية تمثيل الدوال الشائعة مثل الدوال الأسية والدوال المثلثية ومفكوك ذات الحدين باستخدام متسلسلة ماكلورين. وسوف نتناول بعد ذلك بعض الاستخدامات المهمة لمفكوك ماكلورين، مثل استخدام مفكوك متسلسلة ماكلورين لتقدير قيم معينة للدوال، وإيجاد مفكوك ماكلورين لصور مختلفة من الدوال الشائعة، وأيضًا تقدير قيم التكاملات.

نعلم أن هذه هي متسلسلة تايلور للدالة ‪𝑓‬‏ عند ‪𝑎‬‏. ولكن عندما نوجد التقريب عند المركز ‪𝑎‬‏ يساوي صفرًا، فإننا نحصل على هذه المتسلسلة التي لها اسم خاص. فهي ما نسميه متسلسلة ماكلورين. نستخدم هذه المتسلسلة لتقريب الدوال من خلال إيجاد المشتقات الأولى والثانية والثالثة وهكذا لـ ‪𝑓‬‏ أولًا، ومن ثم إيجاد قيمة ذلك عند ‪𝑥‬‏ يساوي صفرًا. نعوض بهذه القيم في متسلسلة ماكلورين ثم نبسط. وأحد تطبيقات متسلسلة ماكلورين أنه يمكننا استخدام القيمة التقريبية لتقدير قيمة الدالة عند قيم مختلفة لـ ‪𝑥‬‏. لنر مثالًا.

افترض أن ‪𝑔‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ يساوي ‪𝑒‬‏ أس ‪𝑥‬‏. يوجد جزءان لهذه المسألة. نص الجزء الأول: أوجد متسلسلة ماكلورين لـ ‪𝑔‬‏ لـ ‪𝑥‬‏. ونص الجزء الثاني: استخدم أول ثلاثة حدود في هذه المتسلسلة لإيجاد قيمة تقريبية لـ ‪𝑒‬‏ أس ‪0.4‬‏ لأقرب منزلتين عشريتين.

لنبدأ بكتابة مفكوك متسلسلة ماكلورين للدالة العامة ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏. نبدأ بإيجاد بعض مشتقات الدالة ‪𝑔‬‏ لـ ‪𝑥‬‏. الدالة ‪𝑔‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ تساوي ‪𝑒‬‏ أس ‪𝑥‬‏؛ ومن ثم ‪𝑔‬‏ لصفر يساوي ‪𝑒‬‏ أس صفر، وهو ما يساوي واحدًا. نشتق ‪𝑒‬‏ أس ‪𝑥‬‏ لنحصل على المشتقة الأولى. نتذكر حقيقة أن مشتقة ‪𝑒‬‏ أس ‪𝑥‬‏ بالنسبة إلى ‪𝑥‬‏ هي ‪𝑒‬‏ أس ‪𝑥‬‏. إذن، ‪𝑔‬‏ شرطة لـ ‪𝑥‬‏ يساوي ‪𝑒‬‏ أس ‪𝑥‬‏. ومن ثم، ‪𝑔‬‏ شرطة لصفر يساوي واحدًا. ونلاحظ أن جميع مشتقات ‪𝑔‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ تساوي ‪𝑒‬‏ أس ‪𝑥‬‏.

ولنجر الآن عمليات التعويض. بما أن الدالة معرفة على أنها ‪𝑔‬‏ لـ ‪𝑥‬‏، يمكننا إحلال ‪𝑔‬‏ محل ‪𝑓‬‏ وبدء التعويض. نجد أن ‪𝑔‬‏ لصفر يساوي واحدًا. و‪𝑔‬‏ شرطة لصفر يساوي واحدًا. و‪𝑔‬‏ شرطتين لصفر يساوي واحدًا. و‪𝑔‬‏ ثلاث شرط لصفر يساوي واحدًا. وهكذا على نفس المنوال لجميع الحدود التالية. يمكننا وضع ‪𝑥‬‏ و‪𝑥‬‏ تربيع و‪𝑥‬‏ تكعيب وهكذا أعلى الكسر. ومن ثم، نلاحظ أنه يمكننا في الواقع كتابة ذلك على صورة المجموع من ‪𝑛‬‏ يساوي صفرًا إلى ‪∞‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ أس ‪𝑛‬‏ على مضروب ‪𝑛‬‏. وهذا يعطينا مفكوك متسلسلة ماكلورين لـ ‪𝑒‬‏ أس ‪𝑥‬‏.

في الجزء الثاني من هذه المسألة مطلوب منا استخدام أول ثلاثة حدود في هذه المتسلسلة لإيجاد القيمة التقريبية لـ ‪𝑒‬‏ أس ‪0.4‬‏ لأقرب منزلتين عشريتين. وهذه هي أول ثلاثة حدود في المتسلسلة. ونريد تقريب ‪𝑒‬‏ أس ‪𝑥‬‏ عندما ‪𝑥‬‏ تساوي ‪0.4‬‏. ومن ثم، نعوض عن ‪𝑥‬‏ بـ ‪0.4‬‏، ونجد أن هذا يساوي واحدًا زائد ‪0.4‬‏ على مضروب واحد. ولكننا نعلم أن مضروب واحد يساوي واحدًا. إذن، هذا يساوي ‪0.4‬‏. و‪0.4‬‏ تربيع يساوي ‪0.16‬‏. لدينا ‪0.16‬‏ على مضروب اثنين، ما يساوي اثنين مضروبًا في واحد، وهو ما يعطينا اثنين. ولكن، ‪0.16‬‏ على اثنين يساوي ‪0.08‬‏. وبجمع ذلك، نجد أن القيمة التقريبية هي ‪1.48‬‏. ويمكننا بعد ذلك استخدام الآلة الحاسبة لنتحقق من دقة القيمة التقريبية التي توصلنا إليها. باستخدام الآلة الحاسبة، نجد أن ‪𝑒‬‏ أس ‪0.4‬‏ يساوي ‪1.4918‬‏ لأقرب أربع منازل عشرية. ومن ثم، نلاحظ أنه على الرغم من أننا استخدمنا أول ثلاثة حدود فقط في المتسلسلة، فالقيمة التقريبية في الواقع دقيقة إلى حد كبير.

من المفيد حقًا أن تكون قادرًا على إيجاد مفكوك متسلسلة ماكلورين للدوال الشائعة؛ لأنها تتيح إيجاد متسلسلة ماكلورين لصيغ من الدوال الشائعة أكثر صعوبة. فمثلًا، في المثال السابق، لاحظنا أن متسلسلة ماكلورين لـ ‪𝑒‬‏ أس ‪𝑥‬‏ هي المجموع من ‪𝑛‬‏ يساوي صفرًا إلى ‪∞‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ أس ‪𝑛‬‏ على مضروب ‪𝑛‬‏. ولذا، إذا أردنا إيجاد مفكوك ماكلورين لـ ‪𝑒‬‏ أس اثنين ‪𝑥‬‏، فبدلًا من أن نبدأ من البداية تمامًا بإيجاد هذا المفكوك، يمكننا التعويض عن ‪𝑥‬‏ في المتسلسلة باثنين ‪𝑥‬‏. يجب أن ننتبه هنا لأنه يتعين علينا — كما تذكر — رفع كل من العنصرين بين القوسين إلى القوة. ونلاحظ بعد ذلك أنه يمكننا كتابة المتسلسلة على صورة المجموع من ‪𝑛‬‏ يساوي صفرًا إلى ‪∞‬‏ لاثنين أس ‪𝑛‬‏ مضروبًا في ‪𝑥‬‏ أس ‪𝑛‬‏ على مضروب ‪𝑛‬‏. والآن لنر مثالًا آخر.

أوجد متسلسلة ماكلورين لـ ‪sin ℎ‬‏ لثلاثة ‪𝑥‬‏ يساوي ‪𝑒‬‏ أس ثلاثة ‪𝑥‬‏ ناقص ‪𝑒‬‏ أس سالب ثلاثة ‪𝑥‬‏ على اثنين.

لنبدأ بكتابة الصورة العامة لمفكوك متسلسلة ماكلورين للدالة ‪𝑓‬‏. تيسيرًا للأمور، دعونا نبدأ بإيجاد مفكوك متسلسلة ماكلورين لـ ‪sin ℎ‬‏ لـ ‪𝑥‬‏. سنتمكن بعد ذلك من التعويض عن ‪𝑥‬‏ بثلاثة ‪𝑥‬‏ لنحصل على متسلسلة ماكلورين لـ ‪sin ℎ‬‏ لثلاثة ‪𝑥‬‏. ومن ثم، علينا جعل الدالة ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ دالة الجيب الزائدية لـ ‪𝑥‬‏ وإيجاد قيمتها عند صفر ومشتقتها عند صفر. ولذا، علينا أيضًا أن نتذكر أن المشتقة بالنسبة إلى ‪𝑥‬‏ لـ ‪sin ℎ‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ تساوي ‪cos ℎ‬‏ لـ ‪𝑥‬‏. ومشتقة ‪cos ℎ‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ بالنسبة إلى ‪𝑥‬‏ هي ‪sin ℎ‬‏ لـ ‪𝑥‬‏.

لنعد جدولًا لمشتقات ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ يساوي ‪sin ℎ‬‏ لـ ‪𝑥‬‏. عند ‪𝑛‬‏ يساوي صفرًا، يكون لدينا ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ وهو ‪sin ℎ‬‏ لـ ‪𝑥‬‏. ولإيجاد قيمة ذلك عند ‪𝑥‬‏ يساوي صفرًا، نستخدم حقيقة أن ‪sin ℎ‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ تساوي ‪𝑒‬‏ أس ‪𝑥‬‏ ناقص ‪𝑒‬‏ أس سالب ‪𝑥‬‏ على اثنين. إذن، ‪sin ℎ‬‏ لصفر تساوي ‪𝑒‬‏ أس صفر ناقص ‪𝑒‬‏ أس سالب صفر على اثنين. ولكن بما أن ‪𝑒‬‏ أس صفر يساوي واحدًا، فهذا يساوي واحدًا ناقص واحد على اثنين، ما يساوي صفرًا. إذا كانت ‪𝑛‬‏ تساوي واحدًا، فإن المشتقة الأولى لـ ‪𝑓‬‏ هي ‪cos ℎ‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ كما عرفنا بالفعل.

لإيجاد قيمة ذلك عند صفر، نتذكر أن ‪cos ℎ‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ تساوي ‪𝑒‬‏ أس ‪𝑥‬‏ زائد ‪𝑒‬‏ أس سالب ‪𝑥‬‏ على اثنين. ومن ثم، ‪cos ℎ‬‏ لصفر تساوي ‪𝑒‬‏ أس صفر زائد ‪𝑒‬‏ أس سالب صفر على اثنين. ولكننا نعلم أن ‪𝑒‬‏ أس صفر يساوي واحدًا. وعليه، فإن واحدًا زائد واحد على اثنين يساوي واحدًا. عندما ‪𝑛‬‏ تساوي اثنين، نريد إيجاد المشتقة الثانية لـ ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏. يمكننا الحصول على ذلك من خلال اشتقاق المشتقة الأولى وهي ‪cos ℎ‬‏ لـ ‪𝑥‬‏. ولأنه يتم اشتقاق ‪cos ℎ‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ لنحصل على ‪sin ℎ‬‏ لـ ‪𝑥‬‏؛ فهذا يساوي ‪sin ℎ‬‏ لـ ‪𝑥‬‏. نعلم أن هذا يساوي صفرًا فحسب عند إيجاد قيمته عند صفر.

إذا كانت ‪𝑛‬‏ تساوي ثلاثة، فإننا نريد إيجاد المشتقة الثالثة لـ ‪𝑓‬‏، وهي مشتقة المشتقة الثانية التي تساوي ‪sin ℎ‬‏. وهذا يساوي ‪cos ℎ‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ التي نعلم أنها تساوي واحدًا عند ‪𝑥‬‏ يساوي صفرًا. بدأنا نلاحظ نمطًا معينًا هنا. تتناوب كل مشتقة لـ ‪𝑓‬‏ عند صفر بين صفر وواحد. سنستخدم هذا الجدول لكتابة متسلسلة ماكلورين لـ ‪sin ℎ‬‏ لـ ‪𝑥‬‏. عند التعويض بالقيم التي لدينا، نجد أن بين كل حد وآخر يوجد حد يساوي صفرًا. وبذلك، يتبقى لدينا فقط القوى الفردية لـ ‪𝑥‬‏. نريد كتابة ذلك على صورة متسلسلة، ولكن علينا التأكد من الحصول على هذه القوى الفردية لـ ‪𝑥‬‏.

إذن، المتسلسلة التي نحن بصددها هي المجموع من ‪𝑛‬‏ يساوي صفرًا إلى ‪∞‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ أس اثنين ‪𝑛‬‏ زائد واحد على مضروب اثنين ‪𝑛‬‏ زائد واحد. يمكننا استخدام ذلك الآن لإيجاد متسلسلة ماكلورين لـ ‪sin ℎ‬‏ لـ ثلاثة ‪𝑥‬‏. نفعل ذلك بالتعويض عن ‪𝑥‬‏ بثلاثة ‪𝑥‬‏. نلاحظ أن هذا يعطينا ثلاثة ‪𝑥‬‏ على مضروب واحد زائد ثلاثة ‪𝑥‬‏ تكعيب على مضروب ثلاثة زائد ثلاثة ‪𝑥‬‏ أس خمسة على مضروب خمسة، وهكذا. وكما نرى، يمكننا كتابة هذا على صورة المجموع من ‪𝑛‬‏ يساوي صفرًا إلى ‪∞‬‏ لثلاثة ‪𝑥‬‏ أس اثنين ‪𝑛‬‏ زائد واحد على مضروب اثنين ‪𝑛‬‏ زائد واحد.

أحد استخدامات متسلسلة ماكلورين أنه يمكننا إيجاد تكامل الدوال التي يصعب عادة تكاملها بطريقة أسهل إذا تمكنا من إيجاد مفكوك متسلسلة ماكلورين للدالة. يمكننا حساب كل من التكاملات المحددة وغير المحددة. وإذا كان لدينا حدود التكامل، فيمكننا استخدام مفكوك متسلسلة ماكلورين لإيجاد قيمة التكامل. هيا نر مثالًا.

قرب التكامل بين صفر وواحد ‪sin 𝑥‬‏ تربيع بالنسبة إلى ‪𝑥‬‏ باستخدام أول حدين في متسلسلة مناسبة.

لنبدأ بكتابة مفكوك متسلسلة ماكلورين لدالة ‪𝑓‬‏. مطلوب منا في المسألة استخدام متسلسلة مناسبة. لكن ما المتسلسلة المناسبة؟ حسنًا، إذا تمكنا من إيجاد مفكوك متسلسلة ماكلورين لـ ‪sin 𝑥‬‏ تربيع، فسنتمكن إذن من إيجاد التكامل من هنا. ولإيجاد مفكوك متسلسلة ماكلورين لدالة ما، علينا إيجاد قيمة ‪𝑓‬‏ وبعض مشتقاتها. قد يصعب بعض الشيء إيجاد مشتقات ‪𝑆𝑖𝑛 𝑥‬‏ تربيع. ولذا، دعونا نبدأ بإيجاد مفكوك متسلسلة ماكلورين لـ ‪sin 𝑥‬‏. سنجعل ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ يساوي ‪sin 𝑥‬‏. سنوجد المشتقات الخمس الأولى لـ ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏. لفعل ذلك، نتذكر أن المشتقة بالنسبة إلى ‪𝑥‬‏ لـ ‪sin 𝑥‬‏ هي ‪cos 𝑥‬‏. والمشتقة بالنسبة لـ ‪𝑥‬‏ لـ ‪cos 𝑥‬‏ هي سالب ‪sin 𝑥‬‏.

إذن، نشتق ‪sin 𝑥‬‏ لنحصل على المشتقة الأولى، وهي ‪cos 𝑥‬‏. نشتق المشتقة الأولى لنحصل على المشتقة الثانية، وهي سالب ‪sin 𝑥‬‏. ونشتق مرة أخرى لنحصل على المشتقة الثالثة، وهكذا. لكن ما علينا فعله في واقع الأمر هو إيجاد قيمة ذلك كله عند صفر. حسنًا، ‪sin‬‏ صفر يساوي صفرًا و‪cos‬‏ صفر يساوي واحدًا. إذن سالب ‪cos‬‏ صفر يساوي سالب واحد. وهكذا، يمكننا كتابة بعض الحدود الأولى من مفكوك متسلسلة ماكلورين لـ ‪sin 𝑥‬‏. نستخدم الصورة العامة لمفكوك متسلسلة ماكلورين ونعوض عن الدالة ‪𝑓‬‏ ومشتقاتها بالمشتقات التي أوجدناها. ونجد أن بين كل حد وآخر يوجد حد يساوي صفرًا. وفي الواقع، تختفي جميع الحدود ذات القوى الزوجية لـ ‪𝑥‬‏. ومن ثم، يتبقى لدينا فقط القوى الفردية لـ ‪𝑥‬‏. ولاحظ أيضًا كيف تتناوب الحدود بين الموجب والسالب.

إذن، هذا هو مفكوك ماكلورين لـ ‪sin 𝑥‬‏. سنتركه كما هو على هذه الصورة مؤقتًا ونستخدمه لإيجاد متسلسلة ماكلورين لـ ‪sin 𝑥‬‏ تربيع. لنفرغ بعض المساحة لنفعل ذلك. نستخدم مفكوك المتسلسلة الذي أوجدناه لـ ‪sin 𝑥‬‏ لإيجاد مفكوك متسلسلة ماكلورين لـ ‪sin 𝑥‬‏ تربيع. كل ما علينا فعله هو التعويض عن ‪𝑥‬‏ بـ ‪𝑥‬‏ تربيع. نتذكر قانون الأسس الذي ينص على أن ‪𝑥‬‏ أس ‪𝑛‬‏ أس ‪𝑚‬‏ يساوي ‪𝑥‬‏ أس ‪𝑛‬‏ مضروبًا في ‪𝑚‬‏. إذن، ‪𝑥‬‏ تربيع أس ثلاثة يساوي ‪𝑥‬‏ أس ستة. ‏‏‪𝑥‬‏ تربيع أس خمسة يساوي ‪𝑥‬‏ أس ‪10‬‏.

ومن ثم، يمكننا إعادة كتابة التكامل بين صفر وواحد ‪sin 𝑥‬‏ تربيع بالنسبة إلى ‪𝑥‬‏ على صورة التكامل بين صفر وواحد ‪𝑥‬‏ تربيع ناقص ‪𝑥‬‏ أس ستة على مضروب ثلاثة زائد ‪𝑥‬‏ أس ‪10‬‏ على مضروب خمسة وهكذا بالنسبة إلى ‪𝑥‬‏. يوجد بعض الأمور التي ينبغي ملاحظتها هنا، وهي أنني أعدت كتابة ‪𝑥‬‏ تربيع على مضروب واحد على الصورة ‪𝑥‬‏ تربيع؛ لأن مضروب واحد يساوي واحدًا، والقسمة على واحد تعطينا العدد نفسه. لاحظ أيضًا أنه لا توجد مشكلة في كتابة ثلاثة حدود فقط هنا. تذكر أن المطلوب في المسألة هو تقريب هذا التكامل باستخدام أول حدين فقط. ولذا، نحتاج في الواقع إلى أول حدين فقط.

وبداية من هنا، يتعلق الأمر فحسب بإيجاد التكامل باستخدام قواعد التكامل التي نعرفها. نستخدم قاعدة القوى للتكامل، والتي تنص على إضافة واحد إلى الأس ثم القسمة على الأس الجديد. إذن، تكامل ‪𝑥‬‏ تربيع هو ‪𝑥‬‏ تكعيب على ثلاثة. وتكامل ‪𝑥‬‏ أس ستة على مضروب ثلاثة هو ‪𝑥‬‏ أس سبعة على سبعة مضروبًا في مضروب ثلاثة. وتكامل ‪𝑥‬‏ أس ‪10‬‏ على مضروب خمسة هو ‪𝑥‬‏ أس ‪11‬‏ على ‪11‬‏ مضروبًا في مضروب خمسة، وهكذا. وعلينا إيجاد قيمة ذلك للحدود التي لدينا. أولًا نعوض بقيمة الحد الأعلى، وهو واحد. ونطرح بعد ذلك الدالة التي تم التعويض فيها بصفر.

ولكن لاحظ أننا إذا عوضنا بصفر، فهذه الحدود كلها ستساوي صفرًا. إذن سنطرح صفرًا فحسب. وبدءًا من هذه الخطوة، دعونا نبسط ما حصلنا عليه فحسب. واحد أس أي عدد يساوي واحدًا. إذن، هذه البسوط كلها تساوي واحدًا. يمكننا أيضًا حساب المقامات التي لدينا بتذكر أن مضروب أي عدد هو حاصل ضرب هذا العدد وجميع الأعداد الصحيحة الأصغر منه حتى واحد. وتذكر أنه مطلوب منا إيجاد القيمة التقريبية لهذا التكامل باستخدام أول حدين فقط. إذن، القيمة التقريبية لهذا التكامل هي واحد على ثلاثة ناقص واحد على ‪42‬‏، وهو ما يساوي ‪13‬‏ على ‪42‬‏.

ثمة نتيجة أخرى مهمة حقًا نحصل عليها من مفكوك متسلسلة ماكلورين، ومصدرها نظرية ذات الحدين. نعلم أن نظرية ذات الحدين تعطينا طريقة لفك المقدار ‪𝑎‬‏ زائد ‪𝑏‬‏ أس ‪𝑘‬‏، حيث ‪𝑎‬‏ و‪𝑏‬‏ عددان حقيقيان و‪𝑘‬‏ عدد صحيح موجب، ويسمى ذلك بمعاملات ذات الحدين. على سبيل المثال، ‪𝑎‬‏ زائد ‪𝑏‬‏ أس اثنين يساوي ‪𝑎‬‏ تربيع زائد اثنين ‪𝑎𝑏‬‏ زائد ‪𝑏‬‏ تربيع. أو، ‪𝑎‬‏ زائد ‪𝑏‬‏ أس ثلاثة يساوي ‪𝑎‬‏ تكعيب زائد ثلاثة ‪𝑎‬‏ تربيع ‪𝑏‬‏ زائد ثلاثة ‪𝑎𝑏‬‏ تربيع زائد ‪𝑏‬‏ تكعيب. وهذا يفك ليصبح كثيرة حدود إذا كان ‪𝑘‬‏ عددًا صحيحًا بمجموع منته.

ولكن توجد حالة خاصة لنظرية ذات الحدين عندما ‪𝑎‬‏ يساوي واحدًا و‪𝑏‬‏ يساوي ‪𝑥‬‏. إذن، هذا يساوي واحدًا زائد ‪𝑥‬‏ أس ‪𝑘‬‏. في عام ‪1665‬‏، عمم إسحاق نيوتن هذه النظرية على الأسس الكسرية أو السالبة أو كليهما معًا. ولكن عندما تكون قيمة ‪𝑘‬‏ غير موجبة، فإن المقدار واحد زائد ‪𝑥‬‏ أس ‪𝑘‬‏ لا يصبح كثيرة حدود؛ ومن ثم، لا يمكننا إيجاد المجموع المنتهي للحدود التي تساوي ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏. ولذلك، عندما تكون قيمة ‪𝑘‬‏ كسرية أو سالبة، فإن المجموع لا يكون منتهيًا بعد الآن. فهذه متسلسلة لا نهائية. لإيجاد المتسلسلة، نحسب متسلسلة ماكلورين لواحد زائد ‪𝑥‬‏ أس ‪𝑘‬‏. ولفعل ذلك، علينا إيجاد ‪𝑓‬‏ ومشتقاتها عند صفر. ‏‏‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ يساوي واحدًا زائد ‪𝑥‬‏ أس ‪𝑘‬‏. نشتق هذا لنحصل على المشتقة الأولى.

باستخدام قاعدة السلسلة، هذا يساوي ‪𝑘‬‏ مضروبًا في واحد زائد ‪𝑥‬‏ أس ‪𝑘‬‏ ناقص واحد. ونتابع بهذه الطريقة لإيجاد المشتقة الثانية والثالثة وهكذا. ولكن، علينا إيجاد قيمة ذلك عند صفر، وهو ما نفعله بالتعويض عن ‪𝑥‬‏ بصفر. وبعد ذلك، نعوض بهذه القيم في الصورة العامة لمفكوك متسلسلة ماكلورين، ما يعطينا مفكوك متسلسلة ماكلورين واحد زائد ‪𝑥‬‏ أس ‪𝑘‬‏. هذا يعطينا المتسلسلة المهمة المعروفة بمتسلسلة ذات الحدين. وقد يتضح أنها تكون متقاربة إذا كانت القيمة المطلقة لـ ‪𝑥‬‏ أصغر من واحد وتكون متباعدة إذا كانت القيمة المطلقة لـ ‪𝑥‬‏ أكبر من واحد. ومن ثم، لا يكون مفكوك ذات الحدين صحيحًا إلا عندما تكون القيمة المطلقة لـ ‪𝑥‬‏ أصغر من واحد.

دعونا الآن نلخص النقاط الرئيسية في هذا الدرس. هذا هو مفكوك متسلسلة ماكلورين للدالة ‪𝑓‬‏ في المتغير ‪𝑥‬‏. يمكننا استخدام مفكوك متسلسلة ماكلورين للدوال الشائعة مثل الدوال الأسية والدوال المثلثية لإيجاد القيم التقريبية لهذه الدوال لقيم ‪𝑥‬‏ المختلفة. ويمكننا استخدام مفكوك متسلسلة ماكلورين للدوال الشائعة لإيجاد مفكوك متسلسلة ماكلورين للصور المختلفة للدالة باستخدام التعويض وبعض العمليات البسيطة. ويتيح لنا مفكوك متسلسلة ماكلورين تقريب التكاملات التي يصعب عادة حسابها. وأخيرًا، يعطينا مفكوك متسلسلة ماكلورين متسلسلة ذات الحدين المستنبطة من نظرية ذات الحدين التي فيها ‪𝑎‬‏ يساوي واحدًا و‪𝑏‬‏ يساوي ‪𝑥‬‏ عندما يكون ‪𝑘‬‏ قيمة سالبة أو كسرية أو كليهما معًا.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.