فيديو: إيجاد المعاملات المجهولة في تعبير لدالة بمعلومية قيمة المشتقتين الثانية والثالثة للدالة

إذا كانت ‪𝑦 = 𝑎𝑥³ + 𝑏𝑥²‬‏، ‪𝑦‴ = −18‬‏، ‪[d²𝑦/d𝑥²]_(𝑥 = 2) = −14‬‏، فأوجد ‪𝑎‬‏، ‪𝑏‬‏.

٠٤:٠٣

‏نسخة الفيديو النصية

إذا كانت 𝑦 تساوي 𝑎𝑥 تكعيب زائد 𝑏𝑥 تربيع، والمشتقة الثالثة لـ 𝑦 تساوي سالب 18، وd اثنين 𝑦 على d𝑥 تربيع عندما 𝑥 تساوي اثنين تساوي سالب 14، فأوجد 𝑎 و𝑏.

أول ما علينا فعله في هذه المسألة هو إيجاد المشتقات الأولى والثانية والثالثة. لذا، سنبدأ بإيجاد المشتقة الأولى. وللتذكير فقط بكيفية الاشتقاق إذا كانت لدينا دالة في المتغير 𝑥 وكانت بالشكل 𝑎𝑥 أس 𝑏، فستكون المشتقة الأولى تساوي 𝑎𝑏𝑥 أس 𝑏 ناقص واحد. وهكذا، سنضرب المعامل في الأس وننقص واحدًا من الأس.

حسنًا، دعونا نستخدم هذا ونوجد المشتقة الأولى للدالة. إذن، فالحد الأول سيكون ثلاثة 𝑎𝑥 تربيع. وهذا لأننا ضربنا المعامل ثلاثة في الأس 𝑎. ولذا، حصلنا على ثلاثة 𝑎 وبعد ذلك أنقصنا واحدًا من الأس. لذا، حصلنا على 𝑥 تربيع. وسيكون الحد الثاني موجب اثنين 𝑏𝑥. مرة أخرى، لقد اشتققنا هذا الحد. وهكذا، نكون قد أوجدنا المشتقة الأولى.

الخطوة التالية هي الاشتقاق مرة أخرى لإيجاد المشتقة الثانية. والمشتقة الثانية هي التي أشرنا إليها هنا بـ 𝑦 شرطة شرطة. وحسب المعطيات في المسألة، فإن d اثنين 𝑦 على d𝑥 تربيع سيصبح ستة 𝑎𝑥 زائد اثنين 𝑏. لذا مرة أخرى، لقد اشتققنا بالطريقة المعتادة. إذن، فلدينا ثلاثة 𝑎 في اثنين — أي، المعامل مضروبًا في الأس — ثم 𝑥 أس اثنين ناقص واحد، وهو ما يعطينا 𝑥 — إذ إنه 𝑥 أس واحد. حسنًا، عظيم، لقد أوجدنا المشتقة الثانية.

عظيم، يمكننا الآن الانتقال إلى إيجاد المشتقة الثالثة. وكل ما سنفعله هو في الحقيقة الاشتقاق مرة أخرى، والذي سينتج عنه ستة 𝑎، لأننا إذا اشتققنا ستة 𝑎𝑥، يتبقى لدينا ستة 𝑎. وإذا اشتققنا موجب اثنين 𝑏، فتكون النتيجة صفرًا لأننا إذا اشتققنا أي عدد ليس به الحد 𝑥 فستكون النتيجة صفرًا. حسنًا، والآن بعد أن قمنا بذلك — فقد أصبحت لدينا المشتقات الأولى والثانية والثالثة — لنر ما سنفعله بعد ذلك.

حسنًا، فلنبدأ بالنظر إلى هذه المعلومة. نحن نعلم أن المشتقة الثالثة تساوي سالب 18. يمكننا الآن إنشاء معادلة. يمكننا في الحقيقة إنشاء معادلة جديدة؛ وذلك لأن بإمكاننا القول إن المشتقة الثالثة تساوي سالب 18. ويمكننا التعويض هنا. إذن، يصبح لدينا سالب 18 يساوي ستة 𝑎. حسنًا، إذن يمكننا القول إن 𝑎 تساوي سالب ثلاثة. وتوصلنا لذلك بقسمة الطرفين على ستة. وأيضًا، عكسنا الطرفين بحيث يكون 𝑎 في الطرف الأيسر.

رائع جدًا، لقد أوجدنا الآن 𝑎. لذا الآن، كل ما نريده هو الانتقال للخطوة التالية وإيجاد 𝑏. وللقيام بذلك، سنستخدم هذه المعلومة التي لدينا. فلو ألقينا نظرة على هذه المعلومة، فنجد أن لدينا d اثنين 𝑦 على d𝑥 تربيع — أي، المشتقة الثانية — تساوي سالب 14 عند 𝑥 تساوي اثنين. ومن ثم، لإيجاد 𝑏، ما يمكننا أن نفعله هو التعويض عن 𝑥 باثنين و𝑦 شرطة شرطة بسالب 14. وسيعطينا هذا سالب 14 يساوي ستة 𝑎 في اثنين زائد اثنين 𝑏.

ولكن الآن لدينا شيء آخر. سنقوم بالتعويض، لأننا نعرف قيمة 𝑎. حسنًا، يمكننا التعويض عن 𝑎 بسالب ثلاثة. ومن ثم، لدينا سالب 14 يساوي ستة في سالب ثلاثة في اثنين زائد اثنين 𝑏. لدينا إذن سالب 14 يساوي سالب 36 زائد اثنين 𝑏. ثم ما نفعله هو إضافة 36 لكل من الطرفين. لدينا الآن 22 يساوي اثنين 𝑏. ولو قسمنا الطرفين على اثنين، فسيكون لدينا 𝑏 تساوي 11.

وهذا يعني أننا يمكننا القول إنه إذا كانت 𝑦 تساوي 𝑎𝑥 تكعيب زائد 𝑏𝑥 تربيع، حيث المشتقة الثالثة لـ 𝑦 تساوي سالب 18، وd اثنين 𝑦 على d𝑥 تربيع عندما 𝑥 تساوي اثنين تساوي سالب 14، إذن، 𝑎 تساوي سالب ثلاثة و𝑏 تساوي 11.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.