فيديو السؤال: العلاقة بين معايير المتجهات المتكافئة الرياضيات

حدد جميع العبارات التي يجب أن تكون صحيحة إذا كان ﻡ وﻉ متجهين متكافئين. (أ) المتجهان ﻡ وﻉ لهما نفس نقطة البداية (ب) المتجهان ﻡ وﻉ لهما نفس نقطة النهاية (ج) |ﻡ| = |ﻉ| (د) نقطة البداية للمتجه ﻡ هي نقطة النهاية للمتجه ﻉ (هـ) نقطة البداية للمتجه ﻉ هي نقطة النهاية للمتجه ﻡ.

٠٦:١٦

‏نسخة الفيديو النصية

حدد جميع العبارات التي يجب أن تكون صحيحة إذا كان المتجه ﻡ والمتجه ﻉ متجهين متكافئين. (أ) المتجهان ﻡ وﻉ لهما نفس نقطة البداية. (ب) المتجهان ﻡ وﻉ لهما نفس نقطة النهاية. (ج) معيار المتجه ﻡ يساوي معيار المتجه ﻉ. (د) نقطة البداية للمتجه ﻡ هي نقطة النهاية للمتجه ﻉ. (هـ) نقطة البداية للمتجه ﻉ هي نقطة النهاية للمتجه ﻡ.

في هذا السؤال، لدينا المتجهان ﻡ وﻉ، ونعلم أنهما متجهان متكافئان. ولدينا خمس عبارات بشأن هذين المتجهين من المحتمل أن تكون صحيحة. علينا هنا اختيار جميع العبارات الصحيحة.

لنفعل ذلك، دعونا أولًا نتذكر معنى أن يكون المتجهان متكافئين. في الواقع، هناك طريقتان مختلفتان لتعريف المتجهات المتكافئة. وكلتاهما مفيدتان في مواقف مختلفة. في الحقيقة، يمكنك استخدام أي منهما للإجابة عن هذا السؤال. الطريقة الأولى التي يمكننا من خلالها القول إن متجهين متكافئان هي إذا كان لهما نفس المعيار والاتجاه. وأي متجهين متكافئين يجب أن يكون لهما نفس المعيار والاتجاه. وأي متجهين لهما نفس المعيار والاتجاه يجب أن يكونا متكافئين.

لكن ثمة طريقة أخرى لتعريف المتجهين المتكافئين، وهي مفيدة في مواقف مختلفة. نحن نعلم أنه إذا كانت جميع المركبات المتناظرة لمتجهين متساوية، وهذان المتجهان لهما البعد نفسه، فإنهما سيكونان متكافئين. وبالمثل، إذا كان المتجهان متكافئين، فإن جميع المركبات المتناظرة ستكون متساوية وسيكون للمتجهين البعد نفسه. القاعدة العامة، عادة ما يكون التعريف الأول أكثر فائدة عندما نفكر في الأمر بيانيًّا، أما التعريف الثاني فيكون أكثر فائدة عندما يكون لدينا المتجهات بدلالة المركبات. ولكن، يمكننا استخدام التعريفين في كلتا الحالتين إذا أردنا.

بناء على ذلك، يمكننا على الفور ملاحظة أمر مثير للاهتمام بشأن الخيار (ج). فالخيار (ج) يشير إلى أن معيار المتجه ﻡ يساوي معيار المتجه ﻉ. وهذا يمثل جزءًا من التعريف. لأنه لكي يكون المتجهان متساويين، يجب أن يكون معياراهما متساويين، كما يجب أن يكون لهما الاتجاه نفسه. إذن، الخيار (ج) يجب أن يكون صحيحًا. وبما أن المتجه ﻡ يساوي المتجه ﻉ، فلا بد أن يكون معياراهما متساويين.

لكننا لم ننته بعد من الإجابة؛ لأن السؤال يطلب منا أن نحدد كل العبارات التي يجب أن تكون صحيحة. وفي الواقع، سنلاحظ أنه ليس بالضرورة أن تكون جميع العبارات الأربعة المتبقية صحيحة. ويمكن توضيح ذلك بسهولة بيانيًّا. سنبدأ برسم المحورين ﺱ وﺹ. وسنبدأ بمتجه الوحدة في الاتجاه ﺱ، بدءًا من نقطة الأصل. وسنسمي هذا المتجه ﺱ.

نقطة البداية للمتجه ﺱ في الشكل هي نقطة الأصل، ونقطة النهاية سيكون لها الإحداثيات واحد، صفر. لكن الآن يمكننا أن نطرح سؤالًا مثيرًا للاهتمام. ماذا لو كان لدينا نفس المتجه بالضبط، ولكن نقطة البداية هي النقطة صفر، واحد؟ في هذه الحالة سيكون لهذين المتجهين نفس المعيار. فكلاهما متجها وحدة؛ وكلاهما لهما الطول واحد. ومن خلال الشكل، يمكننا ملاحظة أن هذين المتجهين لهما الاتجاه نفسه. حيث نعلم أنهما يشيران إلى الاتجاه الأفقي الموجب وليس الاتجاه الرأسي.

إذن، هذان المتجهان يمثلان المتجه نفسه. فكلاهما يمثل المتجه ﺱ. وسنحدد بضع نقاط على هذا الشكل. سوف نحدد نقطة الأصل. ونحدد أيضًا النقطة واحد على المحور ﺱ. يمكننا أن نرى الآن على وجه التحديد نقطة البداية ونقطة النهاية لكلا المتجهين. نلاحظ أولًا أن هذين المتجهين ليس لهما نقطة البداية نفسها. لكننا نعرف أنهما متساويان، إذن الخيار (أ) لا يمكن أن يكون صحيحًا.

نلاحظ أيضًا بعد ذلك أنه ليس لهما نقطة النهاية نفسها. لكننا نعرف أن هذين المتجهين متساويان، إذن الخيار (ب) لا يمكن أن يكون صحيحًا أيضًا. وبالمثل، نلاحظ أن نقطة بداية أحد المتجهين ليست نقطة نهاية الآخر. لذا، فإن الخيارين (د) و(هـ) غير صحيحين أيضًا. ولا يهم أيهما أسميناه المتجه ﻡ، وأيهما أسميناه المتجه ﻉ.

وهذا يقودنا إلى نقطة مثيرة للاهتمام عن المتجهات. قد يكون من المفيد جدًّا أن نفكر في المتجهات بدلالة نقطة بدايتها ونقطة نهايتها؛ لأن هذا يوضح لنا معيارها واتجاهها. ولكن إذا كنا لا نعرف سوى معيار المتجه واتجاهه، فهذا يعني أننا لا نعرف نقطة بدايته أو نهايته. وهذا تحديدًا هو السبب في أن الخيار (ج) فقط سيكون صحيحًا إذا كان ﻡ وﻉ متجهين متكافئين.

بهذا نكون قد تمكنا من توضيح أنه إذا كان ﻡ وﻉ متجهين متكافئين، فمن بين كل الخيارات الموضحة، الخيار (ج) فقط؛ وهو معيار المتجه ﻡ يساوي معيار المتجه ﻉ، يجب أن يكون صحيحًا.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.