فيديو: المتطابقات المثلثية: متطابقات فيثاغورس

يوضح الفيديو متطابقات فيثاغورس للدوال المثلثية، واستخدامها في إيجاد قيم الدوال المثلثية.

٠٧:٤٤

‏نسخة الفيديو النصية

هنتكلّم عن المتطابقات المثلثية، وبالأخص هنتكلّم على متطابقات فيثاغورس. هدفنا من الفيديو ده إن إحنا نعرف متطابقات فيثاغورس بتاعة الدوال المثلثية. بالنسبة للدوال المثلثية فإحنا بنقدر نعّرفها من على دايرة الوحدة زي ما هيظهر لنا في الشكل. الشكل اللي عندنا عبارة عن دايرة الوحدة وهي دايرة بيكون مركزها نقطة الأصل، وطول نصف قطرها الوحدة. ولأي زاوية 𝜃 الدالتين جا وَ جتا بيكونوا عبارة عن الأطوال بتاعة ضلعَي القائمة في مثلث قائم الزاوية طول الوتر بتاعة واحد.

فبالنسبة لِـ جتا 𝜃 فهي هتمثّل طول ضلع القايمة الموجود على محور السينات. وبالنسبة لِـ جا 𝜃 فهي هتمثّل طول ضلع القايمة الموازي لمحور الصادات. وبالتالي بالنسبة للنقطة دي واللي هنسميها النقطة أ. الإحداثي السيني ليها هيساوي جتا 𝜃. والإحداثي الصادي ليها هيساوي جا 𝜃.

كده بالنسبة للمثلث اللي عندنا في الشكل، معانا طول ضلعَي القائمة، وكمان معانا طول الوتر وهو واحد. يبقى نقدر نطبّق نظرية فيثاغورس، واللي من خلالها هنقدر نوصل لمتطابقة مثلثية أساسية. فلمّا هنطبق نظرية فيثاغورس، هيبقى عندنا جا 𝜃 الكل تربيع، زائد جتا 𝜃 الكل تربيع، يساوي واحد تربيع.

بالنسبة لِـ جا 𝜃 الكل تربيع، نقدر نكتبها في شكل تاني، واللي هو الشكل ده. واللي بنقراه جا تربيع 𝜃، ومعناه مربع جا 𝜃. وبنفس الطريقة جتا 𝜃 الكل تربيع، بتساوي جتا تربيع 𝜃. وبالتالي لمّا هنبسّط المعادلة اللي عندنا، هيبقى جا تربيع 𝜃 زائد جتا تربيع 𝜃، يساوي واحد.

بالنسبة للإشارة بتاعة طول ضلعَي القايمة، فممكن تتغير حسب الربع اللي بيقع فيه المثلث القائم. لكن هنلاحظ إن المتطابقة فيها المربع بتاع طول كل ضلع. وبالتالي المعادلة اللي عندنا صحيحة لأي قيمة للزاوية 𝜃. وبالنسبة للمعادلة جا تربيع 𝜃 زائد جتا تربيع 𝜃 تساوي واحد. فهي تعتبر المتطابقة الأولى من متطابقات فيثاغورس التلاتة.

بالنسبة لمتطابقات فيثاغورس بتاعة الدوال المثلثية. أول متطابقة هي جا تربيع 𝜃 زائد جتا تربيع 𝜃 يساوي واحد. وبالنسبة للمتطابقة دي، لو قسمنا الطرفين بتوعها على جتا تربيع 𝜃، هينتج لنا المتطابقة التانية، وهي ظا تربيع 𝜃 زائد واحد يساوي قا تربيع 𝜃. وهي دي المتطابقة التانية.

أما لو قسمنا المتطابقة الأولى جا تربيع 𝜃 زائد جتا تربيع 𝜃 تساوي واحد، على جا تربيع 𝜃. فهيبقى عندنا المتطابقة التالتة، وهي واحد زائد ظتا تربيع 𝜃 يساوي قتا تربيع 𝜃. وهي دي المتطابقة التالتة.

هنبدأ بعد كده نشوف مثال على استخدام متطابقات فيثاغورس، بس في الصفحة اللي جايّة، هنقلب الصفحة. هيظهر لنا المثال.

عندنا في المثال إذا كانت ظا 𝜃 تساوي سالب تمنية، وَ جا 𝜃 أكبر من صفر، فإحنا عايزين نوجد جا 𝜃 وَ جتا 𝜃. علشان نوجد جا 𝜃 وَ جتا 𝜃، فإحنا هنستخدم متطابقة فيثاغورس اللي بتحتوي على ظا 𝜃. فالمتطابقة هي ظا تربيع 𝜃 زائد واحد يساوي قا تربيع 𝜃. وإحنا عندنا ظا 𝜃 بتساوي سالب تمنية. فهنعّوض عن ظا 𝜃 في المتطابقة اللي عندنا بسالب تمنية. بالنسبة لِـ ظا تربيع 𝜃 فهي عبارة عن ظا 𝜃 الكل تربيع. يعني لمّا هنعّوض هيبقى عندنا سالب تمنية الكل تربيع زائد واحد يساوي قا تربيع 𝜃. فلمّا هنبسط الطرف الأيمن هنلاقي خمسة وستين تساوي قا تربيع 𝜃.

بالنسبة لِـ قا تربيع 𝜃 فهي عبارة عن قا 𝜃 الكل تربيع. فهناخد الجذر التربيعي للطرفين. معنى كده إن هيبقى موجب أو سالب الجذر التربيعي لخمسة وستين، بيساوي قا 𝜃. ومن خلال متطابقات المقلوب، قا 𝜃 بتساوي واحد على جتا 𝜃. معنى كده هيبقى موجب أو سالب الجذر التربيعي لخمسة وستين، يساوي واحد على جتا 𝜃.

معنى كده إن جتا 𝜃 تساوي موجب أو سالب الجذر التربيعي لخمسة وستين على خمسة وستين.

ومن خلال المتطابقات النسبية بتاعة الدوال المثلثية. الدالة ظا بتساوي الدالة جا على الدالة جتا. يعني ظا 𝜃 تساوي جا 𝜃 على جتا 𝜃. ومن خلال المعطيات اللي عندنا ظا 𝜃 سالبة، و جا 𝜃 أكبر من صفر. يعني جا 𝜃 موجبة. بالتالي جتا 𝜃 لازم تكون سالبة. معنى كده إن جتا 𝜃 هتساوي سالب الجذر التربيعي لخمسة وستين على خمسة وستين. بكده يبقى إحنا جبنا جتا 𝜃.

بعد كده هنجيب جا 𝜃. فهنرجع للمتطابقة النسبية ظا 𝜃 تساوي جا 𝜃 على جتا 𝜃. بالنسبة للمتطابقة دي فَـ ظا 𝜃 بتساوي سالب تمنية، وَ جتا 𝜃 بتساوي سالب الجذر التربيعي لخمسة وستين على خمسة وستين. فهنعوّض عن ظا 𝜃 و جتا 𝜃 في المتطابقة اللي عندنا. فهيبقى عندنا سالب تمنية يساوي جا 𝜃 على سالب الجذر التربيعي لخمسة وستين على خمسة وستين. بعد كده هنضرب الطرفين في سالب الجذر التربيعي لخمسة وستين على خمسة وستين. فهنلاقي جا 𝜃 تساوي تمنية الجذر التربيعي لخمسة وستين على خمسة وستين. وهي دي جا 𝜃.

كده إحنا جبنا جا 𝜃 و جتا 𝜃. هنتأكد من الحل اللي عندنا، بس في الصفحة اللي جايّة، فهنقلب الصفحة.

كنا وصلنا إن جتا 𝜃 بتساوي سالب الجذر التربيعي لخمسة وستين على خمسة وستين. وإن جا 𝜃 بتساوي تمنية الجذر التربيعي لخمسة وستين على خمسة وستين. وعلشان نتأكد من الحل بتاعنا، فإحنا هنستخدم المتطابقة الأولى من متطابقات فيثاغورس، واللي هي جا تربيع 𝜃 زائد جتا تربيع 𝜃 يساوي واحد. بعد كده هنعوّض في المتطابقة اللي عندنا عن جا 𝜃 بتمنية الجذر التربيعي لخمسة وستين على خمسة وستين. وعن جتا 𝜃 بسالب الجذر التربيعي لخمسة وستين على خمسة وستين. فلمّا هنعوّض هنلاقي الطرف الأيمن بيساوي أربعة وستين على خمسة وستين، زائد واحد على خمسة وستين. يعني هيساوي واحد، واللي هو الطرف الأيسر. يعني المتطابقة اتحققت. وبالتالي الحل بتاعنا صحيح.

في المثال ده هنلاحظ إن المتطابقة الأولى اللي إحنا استخدمناها في الحل، غير المتطابقة اللي إحنا اتأكدنا من خلالها من صحة الحل. وده مفيد في إن إحنا نتأكد إن الإجابة بتاعتنا صحيحة، وإن إحنا ما غلطناش نفس الغلط مرتين. بكده يبقى إحنا في الفيديو ده عرفنا متطابقات فيثاغورس بتاعة الدوال المثلثية.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.