فيديو: تحويل الإحداثيات إلى إحداثيات قطبية

حول ‪(−2, 5)‬‏ إلى إحداثيات قطبية. أوجد قياس الزاوية بالراديان، مقربًا الإجابة لأقرب ثلاثة أرقام معنوية.

٠٤:٥٠

‏نسخة الفيديو النصية

حول سالب اثنين، خمسة إلى إحداثيات قطبية. أوجد قياس الزاوية بالراديان، مقربًا الإجابة لأقرب ثلاثة أرقام معنوية.

ستناول كيف نحول إحداثيات كارتيزية إلى إحداثيات قطبية. لدينا صيغتان عامتان لمساعدتنا. إذا كنا نحول من الإحداثيات الكارتيزية ‪𝑥‬‏، ‪𝑦‬‏ إلى الإحداثيات القطبية ‪𝑟‬‏، ‪𝜃‬‏، فإن ‪𝑟‬‏ يساوي الجذر التربيعي لـ ‪𝑥‬‏ تربيع زائد ‪𝑦‬‏ تربيع. و‪𝜃‬‏ تساوي الدالة العكسية لـ ‪tan‬‏، أي الدالة العكسية للظل، لـ ‪𝑦‬‏ مقسومًا على ‪𝑥‬‏.

حسنًا، ما السبب وراء هاتين الصيغتين؟ لنلق نظرة على الشكل الذي رسمته. لدينا الإحداثيان ‪𝑥‬‏ و‪𝑦‬‏. وهما سالب اثنين وخمسة. إذا أردنا إيجاد قيمة ‪𝑟‬‏ و‪𝜃‬‏، فإن ‪𝑟‬‏ و‪𝜃‬‏ هما الإحداثيان القطبيان. والإحداثيات القطبية توضح لنا المسافة وقياس زاوية ما.

نلاحظ أن لدينا مثلثًا قائم الزاوية، ويمكننا استخدام نظرية فيثاغورس لإيجاد قيمة ‪𝑟‬‏. وهي تنص على أن ‪𝑟‬‏ تربيع يساوي ‪𝑥‬‏ تربيع زائد ‪𝑦‬‏ تربيع لأن ‪𝑐‬‏ تربيع يساوي ‪𝑎‬‏ تربيع زائد ‪𝑏‬‏ تربيع، حيث ‪𝑐‬‏ تربيع هو الوتر، أي الضلع الأطول المقابل للزاوية القائمة.

إذن، بما أننا نريد إيجاد قيمة ‪𝑟‬‏، يمكننا حساب جذر كل من طرفي المعادلة. وإذا فعلنا ذلك، فسيصبح لدينا ‪𝑟‬‏ يساوي جذر ‪𝑥‬‏ تربيع زائد ‪𝑦‬‏ تربيع، وهي النتيجة نفسها التي حصلنا عليها في الصيغة العامة. وبالمثل، بما أن لدينا مثلثًا قائم الزاوية ونريد إيجاد ‪𝜃‬‏، أي قياس الزاوية، فسنستخدم النسب المثلثية.

إذا أسمينا أضلاع المثلث، فسيكون الوتر هو ‪𝑟‬‏، والضلع المقابل هو ‪𝑦‬‏، والضلع المجاور هو ‪𝑥‬‏. وإذا استخدمنا الاختصار ‪SOH CAH TOA‬‏، وهو وسيلة تذكرنا بالنسب المثلثية، فسنلاحظ أننا سنستخدم نسبة ظل الزاوية لأن لدينا الضلع المقابل والضلع المجاور؛ وذلك لأننا نعرف الإحداثيين ‪𝑥‬‏ و‪𝑦‬‏. إذن، يصبح لدينا ‪tan 𝜃‬‏ يساوي الضلع المقابل على الضلع المجاور، أي ‪𝑦‬‏ مقسومًا على ‪𝑥‬‏.

إذا أخذنا الدالة العكسية لـ ‪tan‬‏ لكل من طرفي المعادلة، حيث نريد إيجاد قياس ‪𝜃‬‏، فسنحصل على ‪𝜃‬‏ تساوي الدالة العكسية لـ ‪tan‬‏ لـ ‪𝑦‬‏ مقسومًا على ‪𝑥‬‏، وهو ما حصلنا عليه في الصيغة العامة. بذلك نكون قد أوضحنا السبب وراء هاتين الصيغتين. والآن، دعونا نستخدمهما للتحويل من الإحداثيات الكارتيزية إلى الإحداثيات القطبية.

سنبدأ أولًا بالإحداثي ‪𝑟‬‏، حيث ‪𝑟‬‏ يساوي جذر سالب اثنين تربيع زائد خمسة تربيع، ما يعطينا جذر ‪29‬‏، وهذا يساوي ‪5.38516‬‏ وهكذا مع توالي الأرقام. ولكن إذا نظرنا إلى السؤال، فسنجد أنه مطلوب منا التقريب لأقرب ثلاثة أرقام معنوية. والرقم المعنوي الثالث هو ثمانية. إذن، ننظر إلى العدد أو الرقم الذي يليه، وهو الرقم المحدد. ولأنه يساوي خمسة أو أكبر، فسنقرب الرقم ثمانية إلى تسعة. إذن، الإحداثي ‪𝑟‬‏ يساوي ‪5.39‬‏ مقربًا لأقرب ثلاثة أرقام معنوية.

والآن، دعونا نوجد قياس ‪𝜃‬‏. لدينا ‪𝜃‬‏ تساوي الدالة العكسية لـ ‪tan‬‏ لخمسة مقسومًا على سالب اثنين. وذلك لأنه يساوي ‪𝑦‬‏ مقسومًا على ‪𝑥‬‏. تجدر الإشارة هنا أنه قبل استخدام الآلة الحاسبة، يجب التأكد أنها تعطينا النتيجة بالراديان. هذا لأن السؤال يطلب منا إيجاد قياس الزاوية بالراديان.

وعندئذ، نحصل على سالب ‪1.19028‬‏ وهكذا مع توالي الأرقام. مرة أخرى، نقرب الإجابة لأقرب ثلاثة أرقام معنوية. إذا نظرنا إلى الرقم المعنوي الثالث، فسنجد أنه تسعة. والعدد الذي يليه أو الرقم المحدد هو صفر. ولأنه أقل من خمسة، يبقى الرقم تسعة كما هو. بذلك نكون قد حصلنا على قياس الزاوية ‪𝜃‬‏، وهو يساوي سالب ‪1.19‬‏ راديان لأقرب ثلاثة أرقام معنوية.

ولكن هذا ليس منطقيًا على الإطلاق، لأنه عند إيجاد قياس زاوية ما، يجب أن تكون القيمة موجبة. ومن ثم، للحصول على القيمة الموجبة لقياس الزاوية ‪𝜃‬‏، علينا إضافة ‪𝜋‬‏. ذلك لأن ‪𝜋‬‏ هو فترة تعريف منحنى دالة الظل. وهذا يساوي ‪1.95‬‏ راديان مقربًا لأقرب ثلاثة أرقام معنوية. يرجع ذلك إلى أننا أضفنا قيمة ‪𝜋‬‏ التي تساوي ‪3.14‬‏، وهي مقربة لأقرب ثلاثة أرقام معنوية، لأن السؤال يطلب منا تقريب الإجابة لأقرب ثلاثة أرقام معنوية. إذن، الإحداثيان سالب اثنين، خمسة عند تحويلهما إلى إحداثيين قطبيين يساويان ‪5.39‬‏، ‪1.95‬‏. وهذا بتقريب الإجابة لأقرب ثلاثة أرقام معنوية.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.