فيديو الدرس: مساحة سطح المخروط الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نحسب مساحة السطح الجانبية والكلية للمخروط. سنبدأ بإلقاء نظرة على تعريف المخروط، وقوانين حساب مساحة سطحه الجانبية والكلية. ثم سنتناول بعض الأمثلة على إيجاد مساحة سطح المخروط.

لنلق نظرة أولًا على تعريف المخروط. المخروط هو شكل هندسي ثلاثي الأبعاد، له قاعدة دائرية ووجه جانبي منحن ينتهي عند رأس أو قمة واحدة. المخروط القائم هو المخروط الذي تقع قمته مباشرة فوق مركز القاعدة. النقطة المركزية هي مركز الدائرة. ارتفاع المخروط هو المسافة بين القمة والقاعدة. ويعرف ذلك عادة باسم الارتفاع العمودي.

أما راسم المخروط فهو المسافة من القمة إلى أي نقطة على محيط القاعدة الدائرية. وهذا يعني أن نصف قطر الدائرة، والارتفاع العمودي، وراسم المخروط تشكل معًا مثلثًا قائم الزاوية. وستساعدنا هذه المعلومة فيما بعد، إذ يمكننا استخدام نظرية فيثاغورس لمساعدتنا في حل المسائل التي تتضمن حساب مساحة سطح المخروط. والآن سنطلع على القوانين التي يمكننا استخدامها لحساب مساحة السطح الجانبية للمخروط، ومساحة السطح الكلية له.

مساحة السطح الجانبية للمخروط هي مساحة سطحه المنحني. ويمكن حساب هذه المساحة باستخدام القانون 𝜋 نق ﻝ. وهو ما يعني ضرب 𝜋 في نصف القطر في طول راسم المخروط. أما مساحة السطح الكلية للمخروط فهي مجموع مساحات جميع الأسطح، بما في ذلك مساحة القاعدة. ولأن المخروط له وجهان فقط، فإن مساحة سطحه الكلية تساوي مساحة السطح المنحني زائد مساحة القاعدة. ولقد ذكرنا بالفعل أن مساحة السطح المنحني تساوي 𝜋 نق ﻝ. ولأن قاعدة المخروط عبارة عن دائرة، فإن مساحتها تساوي 𝜋 نق تربيع. وبهذا فإن مساحة السطح الكلية للمخروط تساوي 𝜋 نق ﻝ زائد 𝜋 نق تربيع. إذ إن مساحة السطح الجانبية للمخروط تساوي 𝜋 نق ﻝ فقط.

لنستعرض الآن هذا المثال؛ حيث نعلم أن نصف قطر قاعدة المخروط يساوي خمسة سنتيمترات، والارتفاع العمودي يساوي ١٢ سنتيمترًا، وطول راسم المخروط يساوي ١٣ سنتيمترًا. يمكننا حساب مساحة السطح الجانبية للمخروط عن طريق ضرب 𝜋 في خمسة في ١٣. خمسة مضروبًا في ١٣ يساوي ٦٥. إذن مساحة السطح الجانبية للمخروط تساوي ٦٥‏𝜋‏. وبضرب ٦٥ في 𝜋 نحصل على ٢٠٤٫٢٠٣٥، وهكذا مع توالي الأرقام. وبتقريب الناتج إلى أقرب منزلة عشرية، نحصل على ٢٠٤٫٢. وبذلك فإن مساحة السطح الجانبية للمخروط تساوي ٢٠٤٫٢ سنتيمترات مربعة.

لاحظ هنا أننا استخدمنا وحدات مربعة، وليست مكعبة، بالرغم من كون المخروط شكلًا ثلاثي الأبعاد. فوحدات قياس المساحة هي: السنتيمتر المربع، والمتر المربع، وهكذا؛ بينما يستخدم السنتيمتر المكعب والمتر المكعب مع الحجم. وعليه فإن مساحة السطح الكلية لهذا المخروط ستساوي ٦٥‏𝜋‏ زائد 𝜋 في خمسة تربيع. إذ نضيف مساحة السطح المنحني أو الجانبي إلى مساحة القاعدة. خمسة تربيع يساوي ٢٥. إذن يصبح لدينا ٦٥‏𝜋‏ زائد ٢٥‏𝜋‏. وهذا يساوي ٩٠‏𝜋‏. وباستخدام الآلة الحاسبة مرة أخرى، نحصل على الناتج ٢٨٢٫٧٤٣٣ وهكذا مع توالي الأرقام. وبتقريب هذا العدد إلى أقرب منزلة عشرية، نحصل على مساحة سطح كلية للمخروط تساوي ٢٨٢٫٧ سنتيمترًا مربعًا. سنستعرض الآن بعض المسائل التي تتضمن حساب مساحة السطح الجانبية، ومساحة السطح الكلية للمخروط.

أوجد بدلالة 𝜋 المساحة الجانبية للمخروط القائم الذي نصف قطر قاعدته تسعة سنتيمترات، وارتفاعه ١٣ سنتيمترًا.

لنبدأ الحل برسم المخروط. نعلم أن نصف قطر قاعدة المخروط يساوي تسعة سنتيمترات. وارتفاع المخروط، الممتد من القمة في الأعلى حتى المركز أو مركز القاعدة، يساوي ١٣ سنتيمترًا. ينتج عن هذا مثلث قائم الزاوية؛ حيث طول راسم المخروط ﻝ. المساحة الجانبية للمخروط هي مساحة سطحه المنحني. وهذا يساوي 𝜋 نق ﻝ. نضرب 𝜋 في نصف القطر في طول راسم المخروط. ونحن نعلم أن نصف قطر قاعدة المخروط يساوي تسعة سنتيمترات. إلا أننا حاليًا لا نعرف طول راسم المخروط. لكن يمكننا حساب هذا الطول باستخدام نظرية فيثاغورس. وهي تنص على أن ﺃ تربيع زائد ﺏ تربيع يساوي ﺟ تربيع؛ حيث ﺟ طول الوتر في المثلث القائم.

في هذه المسألة، ﻝ تربيع يساوي تسعة تربيع زائد ١٣ تربيع. تسعة تربيع يساوي ٨١. و١٣ تربيع يساوي ١٦٩. و٨١ زائد ١٦٩ يساوي ٢٥٠. إذن ﻝ تربيع يساوي ٢٥٠. وبأخذ الجذر التربيعي لكلا طرفي هذه المعادلة، نحصل على ﻝ يساوي جذر ٢٥٠. جذر ٢٥٠ يساوي جذر ٢٥ مضروبًا في جذر ١٠. ولأن جذر ٢٥ يساوي خمسة، فإن هذا يساوي خمسة جذر ١٠. وبهذا فإن طول راسم المخروط يساوي خمسة جذر ١٠ سنتيمتر.

يمكننا الآن التعويض بهذه القيمة لحساب المساحة الجانبية. المساحة الجانبية تساوي 𝜋 مضروبًا في تسعة مضروبًا في خمسة جذر ١٠. تسعة مضروبًا في خمسة جذر ١٠ يساوي ٤٥ جذر ١٠. وبما أن المطلوب هو إيجاد المساحة بدلالة 𝜋، فإن هذا يساوي ٤٥ جذر ١٠‏𝜋‏. إذن المساحة الجانبية لمخروط قائم نصف قطر قاعدته تسعة سنتيمترات، وارتفاعه ١٣ سنتيمترًا؛ تساوي ٤٥ جذر ١٠‏𝜋‏ سنتيمتر مربع. تذكر أن الوحدات المستخدمة لأي مساحة أو مساحة سطح هي السنتيمتر المربع، والمتر المربع، وهكذا.

لنتناول الآن مسألة أخرى تتضمن حساب مساحة السطح الكلية للمخروط.

أوجد المساحة الكلية للمخروط القائم بالتقريب لأقرب منزلتين عشريتين.

نعلم من الرسم أن ارتفاع المخروط ١٤٫٥ سنتيمترًا. وطول راسم المخروط ١٦٫٥ سنتيمترًا. لكن نصف قطر القاعدة غير معروف حاليًا. يمكننا حساب طول نصف قطر القاعدة باستخدام نظرية فيثاغورس. وهي تنص على أن ﺃ تربيع زائد ﺏ تربيع يساوي ﺟ تربيع؛ حيث ﺟ هو أطول ضلع في المثلث القائم الزاوية، ويعرف باسم «وتر المثلث القائم». بالتعويض بهذه القيم، نحصل على نق تربيع زائد ١٤٫٥ تربيع يساوي ١٦٫٥ تربيع. وبطرح ١٤٫٥ تربيع من كلا طرفي المعادلة نحصل على نق تربيع يساوي ١٦٫٥ تربيع ناقص ١٤٫٥ تربيع. وبأخذ الجذر التربيعي لطرفي هذه المعادلة، نحصل على نق يساوي جذر ١٦٫٥ تربيع ناقص ١٤٫٥ تربيع. وهذا يساوي الجذر التربيعي لـ ٦٢.

وللحفاظ على دقة الإجابة، سنترك الإجابة بهذا الشكل في الوقت الحاضر. المطلوب منا هو حساب مساحة السطح الكلية للمخروط. وللمخروط سطحان؛ هما: السطح المنحني، والقاعدة. ولهذا فإن مساحة السطح الكلية للمخروط تساوي مساحة السطح المنحني زائد مساحة القاعدة. مساحة السطح المنحني أو الجانبي تساوي 𝜋 نق ﻝ. نضرب 𝜋 في نصف القطر في طول راسم المخروط. ولأن قاعدة المخروط عبارة عن دائرة، نحسب مساحتها بضرب 𝜋 في نصف القطر تربيع. وبالتعويض بهاتين القيمتين عن نصف القطر وطول راسم المخروط، نحصل على 𝜋 مضروبًا في الجذر التربيعي لـ ٦٢ مضروبًا في ١٦٫٥ زائد 𝜋 مضروبًا في الجذر التربيعي لـ ٦٢ تربيع.

الجذر التربيعي لـ ٦٢ تربيع يساوي ٦٢. ولأن الإجابة مطلوبة بالتقريب إلى أقرب منزلتين عشريتين، وليست بدلالة 𝜋، فيمكننا حساب هذه القيمة على الآلة الحاسبة. وهذا يعطينا الناتج ٦٠٢٫٩٣٨٠١ وهكذا مع توالي الأرقام. الرقم ثمانية، في خانة الجزء من الألف، هو الرقم المحدد للتقريب. عندما يكون هذا الرقم أكبر من أو يساوي خمسة، نقرب الناتج لأعلى. وعليه تصبح مساحة السطح الكلية للمخروط مقربة إلى أقرب منزلتين عشريتين ٦٠٢٫٩٤ سنتيمتر مربع. تقاس أي مساحة سطح بوحدة مربعة.

سنستعرض الآن مسألة تتضمن مساحة السطح.

غطاء مصباح مخروطي ارتفاعه ٣١ سنتيمترًا، وله قاعدة محيطها ١٤٥٫٢ سنتيمترًا. أوجد مساحة السطح المنحني الخارجي لغطاء المصباح. قرب إجابتك إلى أقرب سنتيمتر مربع.

غطاء المصباح على شكل مخروط ارتفاعه ٣١ سنتيمترًا كما هو موضح. ومحيط قاعدته ١٤٥٫٢ سنتيمترًا. المطلوب منا هو حساب مساحة السطح المنحني لغطاء المصباح. مساحة السطح المنحني أو الجانبي للمخروط تساوي 𝜋 نق ﻝ. نضرب 𝜋 في نصف القطر في طول راسم المخروط ﻝ. لكننا الآن لا نعرف أيًا من هاتين القيمتين. فنحن لا نعرف طول راسم المخروط ولا نصف القطر. يمكننا حساب محيط الدائرة باستخدام القانون اثنين 𝜋 نق. يمكننا استخدام هذا القانون لحساب نصف القطر في هذه المسألة.

‏‏١٤٥٫٢ يساوي اثنين 𝜋 نق. وبقسمة طرفي المعادلة على اثنين 𝜋، نحصل على نق يساوي ١٤٥٫٢ مقسومًا على اثنين 𝜋. وهذا يعني أن نق يساوي ٢٣٫١٠٩٢ وهكذا مع توالي الأرقام. وللحفاظ على دقة الإجابة، لن نقربها في هذه المرحلة. وبما أننا نعلم أن نصف قطر قاعدة المخروط يساوي ٢٣٫١٠ سنتيمترًا وهكذا مع توالي الأرقام، وأن ارتفاعه يساوي ٣١ سنتيمترًا، فيمكننا الآن حساب طول راسم المخروط. وسنقوم بذلك باستخدام نظرية فيثاغورس، التي تنص على أن ﺃ تربيع زائد ﺏ تربيع يساوي ﺟ تربيع؛ حيث ﺟ هو أطول ضلع في المثلث القائم، ويعرف باسم «وتر المثلث القائم».

وبالتعويض عن هذه القيم في معادلتنا، نحصل على ﻝ تربيع يساوي ٣١ تربيع زائد ٢٣٫١٠٩٢، وهكذا مع توالي الأرقام، تربيع. بكتابة ذلك على الآلة الحاسبة يصبح لدينا ﻝ تربيع يساوي ١٤٩٥٫٠٣٩٦ وهكذا مع توالي الأرقام. بأخذ الجذر التربيعي لكلا طرفي المعادلة، يصبح لدينا ﻝ يساوي ٣٨٫٦٦٥٧ وهكذا مع توالي الأرقام. الآن يمكننا استبدال قيمتي نصف القطر وطول راسم المخروط في المعادلة لحساب مساحة السطح المنحني. نضرب 𝜋 في نصف القطر في طول راسم المخروط. وبكتابة هذا على الآلة الحاسبة، نجد أن مساحة السطح المنحني تساوي ٢٨٠٧٫١٣٢. علينا أن نقرب هذه القيمة إلى أقرب سنتيمتر مربع، أي إن علينا تقريب الناتج إلى أقرب عدد صحيح. إذن مساحة السطح المنحني لغطاء المصباح تساوي ٢٨٠٧ سنتيمترات مربعة.

سنستعرض الآن مثالًا أخيرًا يتضمن مساحة سطح المخروط.

مخروط قائم طول راسمه ٣٥ سنتيمترًا، ومساحة سطحه ٤٥٠‏𝜋‏ سنتيمتر مربع. ما نصف قطر قاعدته؟

نتذكر هنا أن مساحة سطح المخروط تساوي 𝜋 نق ﻝ زائد 𝜋 نق تربيع. ‏‏𝜋 نق ﻝ يساوي مساحة السطح المنحني أو الجانبي للمخروط. و𝜋 نق تربيع يساوي مساحة القاعدة؛ لأن قاعدة المخروط عبارة عن دائرة. وهنا قيمة نق هي نصف قطر قاعدة المخروط، وﻝ هو طول راسم المخروط. نعلم من المسألة أن مساحة السطح الكلية للمخروط تساوي ٤٥٠‏𝜋‏. وطول راسم المخروط ٣٥ سنتيمترًا. إذن مساحة السطح المنحني تساوي ٣٥‏𝜋‏ نق. ومساحة القاعدة تساوي 𝜋 نق تربيع. وبما أن 𝜋 عامل مشترك في الحدود الثلاثة جميعها، يمكننا قسمة طرفي المعادلة على 𝜋. وهذا يعطينا ٤٥٠ يساوي ٣٥ نق زائد نق تربيع.

بطرح ٤٥٠ من كلا طرفي هذه المعادلة، نحصل على معادلة تربيعية. ‏‏نق تربيع زائد ٣٥ نق ناقص ٤٥٠ يساوي صفرًا. يمكننا حل هذه المعادلة عن طريق التحليل. علينا أن نجد عددين حاصل ضربهما يساوي سالب ٤٥٠، ومجموعهما ٣٥. ‏‏٤٥ مضروبًا في سالب ١٠ يساوي سالب ٤٥٠. و٤٥ زائد سالب ١٠ يساوي ٣٥. هذا يعني أن القوسين لدينا هنا سيكونان: نق زائد ٤٥، ونق ناقص ١٠.

ولكي نحل هذه المعادلة، يجب أن يكون أحد القوسين مساويًا لصفر. إما نق زائد ٤٥ يساوي صفرًا، أو نق ناقص ١٠ يساوي صفرًا. وبحل هاتين المعادلتين نحصل على نق يساوي سالب ٤٥، أو نق يساوي ١٠. ولأن نصف القطر طول، فإنه لا يمكن أن يكون قيمة سالبة. إذن يمكننا أن نستنتج أن المخروط القائم، الذي طول راسمه ٣٥ سنتيمترًا، ومساحة سطحه المنحني ٤٥٠‏𝜋‏ سنتيمتر، طول نصف قطر قاعدته ١٠ سنتيمترات.

سنلخص الآن بعض النقاط الأساسية التي تناولناها في هذا الفيديو. المخروط شكل ثلاثي الأبعاد له سطحان. لدينا ما يسمى بالسطح المنحني أو الجانبي. ويمكننا حساب مساحة هذا السطح باستخدام القانون 𝜋 نق ﻝ. نضرب 𝜋 في نصف القطر في طول راسم المخروط. وللمخروط أيضًا قاعدة دائرية. ومساحة هذه القاعدة تساوي 𝜋 نق تربيع. نضرب 𝜋 في نصف القطر تربيع. وبهذا، فإن مساحة السطح الكلية لأي مخروط تساوي 𝜋 نق ﻝ زائد 𝜋 نق تربيع. وتقاس مساحة السطح بالوحدات المربعة؛ مثل: السنتيمتر المربع، أو المتر المربع.