فيديو السؤال: إيجاد فترات تزايد وتناقص دالة باستخدام قاعدة الضرب مع الدوال اللوغاريتمية الرياضيات

أوجد الفترات التي تكون خلالها الدالة ﺩ(ﺱ) = ٤ﺱ^٢ اللوغاريتم الطبيعي لـ ﺱ تزايدية وتناقصية.

١٠:٥١

‏نسخة الفيديو النصية

أوجد الفترات التي تكون خلالها الدالة ﺩﺱ تساوي أربعة ﺱ تربيع في اللوغاريتم الطبيعي لـ ﺱ تزايدية وتناقصية.

لدينا هنا الدالة ﺩﺱ، ومطلوب منا تحديد الفترات التي تكون خلالها هذه الدالة تزايدية، والفترات التي تكون خلالها هذه الدالة تناقصية. عندما يطرح علينا سؤال كهذا، أول شيء علينا فعله هو أن نسأل: ما مجال الدالة ﺩﺱ؟ هذا لأنه لا يمكن أن تكون هذه الدالة تزايدية أو تناقصية خلال فترة ما إذا لم تكن معرفة على الفترة كلها. لذا، سنبدأ بإيجاد مجال ﺩﺱ. نلاحظ أن ﺩﺱ عبارة عن حاصل ضرب دالتين. وهما أربعة ﺱ تربيع في اللوغاريتم الطبيعي لـ ﺱ. بالطبع أربعة ﺱ تربيع تمثل دالة كثيرة الحدود؛ ونحن نعرف أنها معرفة لجميع قيم ﺱ الحقيقية.

ونعلم أن اللوغاريتم الطبيعي لـ ﺱ لا يكون معرفًا إلا إذا كان ﺱ قيمة موجبة. وعليه، فإن مجال الدالة ﺩﺱ سيكون ﺱ أكبر من صفر. وبما أننا نتعامل مع فترات، فقد نفضل كتابة ذلك على صورة الفترة المفتوحة من صفر إلى ما لا نهاية. لتحديد الفترات التي تكون فيها الدالة التي نعرف كيفية اشتقاقها تزايدية أو تناقصية، يمكننا استخدام القواعد التالية. نعلم أنه إذا كانت قيم ﺩ شرطة ﺱ موجبة خلال الفترة ﻑ، فلا بد أن تكون ﺩ تزايدية خلال الفترة ﻑ. أما إذا كانت قيم ﺩ شرطة ﺱ سالبة خلال الفترة ﻑ، فلا بد أن تكون ﺩ تناقصية خلال الفترة ﻑ.

إذن، لتحديد الفترات التي تكون خلالها الدالة ﺩﺱ تزايدية أو تناقصية، علينا تحديد الفترات التي تكون خلالها قيم ﺩ شرطة ﺱ سالبة، والفترات التي تكون خلالها قيم ﺩ شرطة ﺱ موجبة. لذا، علينا اشتقاق الدالة ﺩﺱ. نعلم أن ﺩﺱ هي حاصل ضرب دالتين قابلتين للاشتقاق. لذا سنفعل ذلك باستخدام قاعدة الضرب. لنتذكر في البداية قاعدة الضرب. تنص قاعدة الضرب على أنه إذا كانت ﻉﺱ وﻕﺱ دالتين قابلتين للاشتقاق، فإن مشتقة ﻉﺱ في ﻕﺱ بالنسبة إلى ﺱ تساوي ﻉ شرطة ﺱ في ﻕﺱ زائد ﻕ شرطة ﺱ في ﻉﺱ. نحن نريد استخدام قاعدة الضرب لاشتقاق ﺩﺱ. إذن، سنفترض أن ﻉﺱ تساوي أربعة ﺱ تربيع وﻕﺱ تساوي اللوغاريتم الطبيعي لـ ﺱ.

لتطبيق قاعدة الضرب، علينا إيجاد تعبيرين لكل من ﻉ شرطة ﺱ، وﻕ شرطة ﺱ. لنبدأ بـ ﻉ شرطة ﺱ. وهي مشتقة أربعة ﺱ تربيع بالنسبة إلى ﺱ. يمكننا فعل ذلك باستخدام قاعدة القوى للاشتقاق. سنضرب في أس ﺱ ثم نطرح واحدًا من هذا الأس. وبهذا نجد أن ﻉ شرطة ﺱ تساوي ثمانية ﺱ. بعد ذلك، نريد إيجاد تعبير لـ ﻕ شرطة ﺱ. وهي مشتقة اللوغاريتم الطبيعي لـ ﺱ بالنسبة إلى ﺱ، والتي نعلم أنها تساوي دالة المقلوب واحد على ﺱ.

نحن الآن جاهزون لإيجاد تعبير لـ ﺩ شرطة ﺱ باستخدام قاعدة الضرب. كل ما علينا فعله هو التعويض عن ﻉﺱ وﻕﺱ وﻉ شرطة ﺱ وﻕ شرطة ﺱ في قاعدة الضرب. وبذلك نحصل على ﺩ شرطة ﺱ تساوي ثمانية ﺱ في اللوغاريتم الطبيعي لـ ﺱ زائد واحد على ﺱ مضروبًا في أربعة ﺱ تربيع، ويمكننا تبسيط ذلك. تذكر أننا أوضحنا أن مجال الدالة ﺩﺱ هو ﺱ أكبر من صفر. وهذا يعني أن ﺩﺱ غير معرفة عند ﺱ يساوي صفرًا. وبالتالي لن تكون هناك مشتقة لـ ﺩ عند ﺱ يساوي صفرًا؛ ومن ثم يمكن أن نفترض أن ﺱ لا يساوي صفرًا ونحذف العامل المشترك ﺱ في الحد الثاني. هذا يعطينا ﺩ شرطة ﺱ تساوي ثمانية ﺱ في اللوغاريتم الطبيعي لـ ﺱ زائد أربعة ﺱ.

ويمكننا تبسيط ذلك قليلًا. سنخرج العامل المشترك أربعة ﺱ من الحدين. هذا يعطينا ﺩ شرطة ﺱ تساوي أربعة ﺱ مضروبًا في اثنين في اللوغاريتم الطبيعي لـ ﺱ زائد واحد. تذكر أنه للإجابة عن هذا السؤال، علينا تحديد الفترات التي تكون خلالها قيم ﺩ شرطة ﺱ أكبر من صفر، والفترات التي تكون خلالها قيم ﺩ شرطة ﺱ أصغر من صفر. وتذكر أن ﺩ شرطة ﺱ لن تكون معرفة إلا عندما يكون ﺱ أكبر من صفر. ومن ثم، نعرف أن قيمة ﺱ موجبة. ويمكننا استخدام هذه المعلومة. هيا نلق نظرة على ﺩ شرطة ﺱ؛ نلاحظ أنها تحتوي على العامل أربعة ﺱ. وبما أننا نعلم أن ﺱ يجب أن يكون قيمة موجبة، فإن أربعة في ﺱ لا بد أن يكون حاصل ضرب عددين موجبين، إذن أربعة ﺱ قيمة موجبة. وعليه، فإننا نحدد إشارة ﺩ شرطة ﺱ من خلال إشارة العامل الثاني، اثنين في اللوغاريتم الطبيعي لـ ﺱ زائد واحد.

توجد طرق مختلفة لتحديد متى يكون هذا العامل موجبًا ومتى يكون سالبًا. بما أن هذه دالة متصلة، فسنتحقق فقط متى تساوي صفرًا. علينا حل المعادلة اثنان في اللوغاريتم الطبيعي لـ ﺱ زائد واحد يساوي صفرًا. سنبدأ بطرح واحد من كلا طرفي المعادلة. فنحصل على اثنين في اللوغاريتم الطبيعي لـ ﺱ يساوي سالب واحد. بعد ذلك، نقسم الطرفين على اثنين. نحصل بذلك على اللوغاريتم الطبيعي لـ ﺱ يساوي سالب نصف. ولحل هذه المعادلة، علينا أن نتذكر أن دالة اللوغاريتم الطبيعي هي الدالة العكسية للدالة الأسية. وعليه، إذا رفعنا طرفي المعادلة كقوة للعدد ﻫ، فسنجد أن ﺱ لا بد أن يساوي ﻫ أس سالب نصف.

وسنستخدم قوانين الأسس لتبسيط ذلك قليلًا. بدلًا من كتابة ﻫ أس سالب نصف، يمكن أن نكتبه واحدًا مقسومًا على ﻫ أس نصف، وﻫ أس نصف يساوي الجذر التربيعي لـ ﻫ. ومن ثم، نجد أنه عند ﺱ يساوي واحدًا مقسومًا على الجذر التربيعي لـ ﻫ، فإن اثنين في اللوغاريتم الطبيعي لـ ﺱ زائد واحد يساوي صفرًا. ويمكننا تمثيل هذه المعلومات عن طريق رسم شكل. نريد أن نرسم ﺹ يساوي اثنين في اللوغاريتم الطبيعي لـ ﺱ زائد واحد. نحن نعرف الشكل العام لهذه الدالة. ستبدو مثل الشكل العام لدالة اللوغاريتم الطبيعي. لكننا سنمده رأسيًّا بمعامل اثنين، ثم ننقله رأسيًّا بمقدار وحدة واحدة.

هذا يعني أنه يمكننا رسم المنحنى التالي. سيكون مشابهًا لدالة اللوغاريتم الطبيعي إلى حد كبير. ونريد أن نعرف متى تكون قيم الدالة موجبة ومتى تكون سالبة، أي متى يكون التمثيل البياني أعلى المحور ﺱ أو متى يكون أسفل المحور ﺱ. لذا علينا معرفة الجزء المقطوع من المحور ﺱ، وقد وجدنا بالفعل هذه القيمة. وهي عند ﺱ يساوي واحدًا مقسومًا على الجذر التربيعي لـ ﻫ. وبالتالي، نلاحظ من الشكل أنه عندما يكون ﺱ أكبر من واحد على الجذر التربيعي لـ ﻫ، تكون قيمة الدالة موجبة. لكن عندما يكون ﺱ أقل من واحد على الجذر التربيعي لـ ﻫ، تكون قيمة الدالة سالبة. وتذكر معلومة صغيرة هنا. هذه الدالة لا تكون معرفة إلا عندما يكون ﺱ أكبر من صفر. لذا علينا أن ننتبه ونتأكد من اختيار فترات تكون خلالها قيم ﺱ موجبة فقط.

نحن الآن جاهزون لاستخدام هذه المعطيات لتحديد الفترات التي تكون خلالها قيم ﺩ شرطة ﺱ موجبة، والفترات التي تكون خلالها قيم ﺩ شرطة ﺱ سالبة. أولًا، عند ﺱ أكبر من واحد على الجذر التربيعي لـ ﻫ، وﺩ شرطة ﺱ هي حاصل ضرب عددين موجبين، فإن قيم ﺩ شرطة ﺱ موجبة. ولكننا رأينا أيضًا أنه إذا كان ﺱ يقع بين صفر وواحد على الجذر التربيعي لـ ﻫ، فإن قيمة اثنين في اللوغاريتم الطبيعي لـ ﺱ زائد واحد تكون سالبة. وعليه، ﺩ شرطة ﺱ تكون عبارة عن حاصل ضرب عدد موجب وعدد سالب؛ ومن ثم فإن قيم ﺩ شرطة ﺱ يجب أن تكون سالبة. إذن، هذا يعطينا قيم ﺱ عندما تكون الدالة تزايدية وتناقصية.

لكن، علينا الانتباه. يطلب منا السؤال أن نكتب ذلك على صورة فترات. لفعل ذلك، علينا أن نتذكر أن قولنا إن ﺱ أكبر من واحد على جذر ﻫ يماثل قولنا إن ﺱ يقع في الفترة المفتوحة من واحد على جذر ﻫ إلى ما لا نهاية، وقولنا إن ﺱ يقع بين صفر وواحد على جذر ﻫ يماثل قولنا إن ﺱ يقع في الفترة المفتوحة من صفر إلى واحد على جذر ﻫ. وبدمج كل هذه المعطيات، نحصل على الإجابة النهائية. وبذلك، نكون قد توصلنا إلى أن الدالة ﺩﺱ تساوي أربعة ﺱ تربيع في اللوغاريتم الطبيعي لـ ﺱ تكون تزايدية خلال الفترة المفتوحة من واحد على الجذر التربيعي لـ ﻫ إلى ما لا نهاية، وتكون تناقصية خلال الفترة المفتوحة من صفر إلى واحد على الجذر التربيعي لـ ﻫ.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.