فيديو: امتحان الجبر والهندسة الفراغية للعام السابق • ٢٠١٨/٢٠١٧ • السؤال الثامن ب

امتحان الجبر والهندسة الفراغية للعام السابق • ٢٠١٨/٢٠١٧ • السؤال الثامن ب

٠٦:١٣

‏نسخة الفيديو النصية

إذا كان المتجه أ والمتجه ب والمتجه ج ثلاثة أحرُف متجاورة في متوازي سطوح. حيث المتجه أ يساوي واحد وأربعة واتنين. والمتجه ب يساوي سالب تلاتة واتنين وواحد. والمتجه ج يساوي سالب واحد وواحد وأربعة. فأوجد حجم متوازي السطوح وارتفاعه إذا كانت قاعدته هي الوجه المحدّد بالمتجهين أ وَ ب.

هنرسم متوازي السطوح اللي بيكون فيه المتجهات التلاتة أ وَ ب وَ ج تلات أحرُف متجاورة غير متوازية. إحنا مطلوب منّنا في السؤال مطلوبين. المطلوب الأول: إن إحنا نوجد حجم متوازي السطوح. أمَّا المطلوب التاني، فإننا نوجد ارتفاعه.

زيّ ما معطى عندنا في السؤال، إحنا عرفنا إن التلات متجهات أ وَ ب وَ ج بيكوّنوا تلات أحرُف متجاورة وغير متوازية في متوازي السطوح. يعني بمعلومية كده نقدر نستنتج إن متوازي السطوح حجمه هيساوي القيمة المطلقة لحاصل الضرب الثلاثي القياسي للمتجهات التلاتة. اللي نقدر نمثّلها رياضيًّا بالشكل ده. القيمة المطلقة لحاصل الضرب الثلاثي للمتجهات أ وَ ب وَ ج.

عشان نقدر نوجد حاصل الضرب القياسي لتلات متجهات، بنحطّ المتجهات التلاتة تحت بعض بداخل محدِّد. وبعدين نوجد قيمة المحدِّد ده. هنستخدم عناصر أول صفّ في المحدِّد عشان نوجد قيمة المحدِّد. وما ننساش قاعدة إشارات المحدِّد. أول عنصر هيبقى إشارته موجبة. وتاني عنصر إشارته سالبة. وتالت عنصر إشارته موجبة.

هنبدأ بأول عنصر في الصفّ الأول، اللي هو واحد. وبعدين هنستبعد الصفّ والعمود اللي بيحتووا على هذا العنصر. وبعد كده نضربه في محدِّد العناصر المتبقِّية اللي قيمته هتبقى اتنين في أربعة ناقص واحد في واحد.

بعد كده العنصر التاني. وما ننساش نحطّ له إشارة سالبة. وهنستبعد عناصر الصفّ والعمود اللي بيحتووا على هذا العنصر. وبعد كده نضرب في محدِّد العناصر المتبقِّية، واللي هتبقى قيمته بالشكل ده: سالب تلاتة في أربعة، ناقص سالب واحد في واحد.

وبنفس الطريقة، هنحطّ آخر عنصر في الصفّ الأول، اللي هو اتنين. وما ننساش إن إشارته موجبة. ونضربه في محدِّد العناصر اللي باقية بعد استبعاد الصفّ والعمود اللي بيحتووا على العنصر ده. يعني هيبقى مضروب في سالب تلاتة في واحد، ناقص سالب واحد في اتنين.

وبعد فكّ الأقواس وإجراء العمليات الحسابية المطلوبة، هنوصل لأن حجم متوازي السطوح يساوي تسعة وأربعين. يبقى كده قدرنا نحسب المطلوب الأول، اللي هو حجم متوازي السطوح.

المطلوب التاني: هو إن إحنا نحسب ارتفاعه. فيه علاقة مهمة بتربط حجم متوازي السطوح بالارتفاع ومساحة القاعدة. حجم متوازي السطوح هو حاصل ضرب مساحة القاعدة في الارتفاع. يبقى عشان نقدر نوجد الارتفاع، هنقسم حجم متوازي السطوح على مساحة قاعدته. وإحنا قدرنا نحسب حجم متوازي السطوح، اللي هو بيساوي تسعة وأربعين. ناقص إن إحنا نوجد مساحة القاعدة. وبعدها هيبقى قدرنا نعرف الارتفاع.

معطى عندنا في السؤال إن القاعدة بتاعة متوازي السطوح هي الوجه المحدَّد بالمتجهين أ وَ ب. يعني هي الوجه المظلَّل بالأصفر في الشكل اللي قدامنا. طب إزَّاي هنقدر نحسب مساحة القاعدة؟ مساحة القاعدة هي عبارة عن معيار حاصل الضرب الاتجاهي للمتجهين أ وَ ب. يبقى دلوقتي هنوجد حاصل الضرب الاتجاهي للمتجهين أ وَ ب. وده بنوجده عن طريق إن إحنا بنعمل محدِّد أول صفّ فيه بيبقى عبارة عن متجه وحدة في اتجاء المحور س. ومتجه وحدة في اتجاه المحور ص. ومتجه وحدة في اتجاه المحور ع. أمَّا الصفّ اللي بعد كده، اللي هو الصفّ التاني. هيبقى عبارة عن عناصر المتجه أ أو مركّباته في اتجاه المحاور التلاتة، اللي هي واحد وأربعة واتنين. أمَّا الصفّ التالت، فهيبقى عبارة عن مركّبات المتجه ب في اتجاه المحاور التلاتة، اللي هو هيبقى سالب تلاتة واتنين وواحد.

عايزين دلوقتي نوجد قيمة المحدِّد اللي عندنا ده. فهنبتدي نفكّ باستخدام عناصر الصفّ الأول. ناخد بالنا من قاعدة إشارات المحدِّد، دي مهمة جدًّا لمَّا نيجي نوجد قيمة أيّ محدِّد. وبعد الفكّ والتبسيط، هنوصل لأن قيمة المحدِّد اللي عندنا هتصبح بتساوي سالب سبعة في اتجاه المتجه ص، زائد أربعتاشر في اتجاه المتجه ع. يبقى كده إحنا أوجدنا حاصل الضرب الاتجاهي للمتجهين أ وَ ب. ناقص إن إحنا نوجد معيار حاصل الضرب الاتجاهي بقى للمتجهين أ وَ ب. لأن هو ده اللي بيمثّل مساحة القاعدة، واللي هيبقى بيساوي الجذر التربيعي لسالب سبعة تربيع زائد أربعتاشر تربيع. واللي بعد التبسيط هيصبح بيساوي سبعة في الجذر التربيعي لخمسة.

يبقى كده إحنا حسبنا مساحة القاعدة، اللي هي تساوي سبعة في الجذر التربيعي لخمسة. وفي الخطوة الأولى كُنَّا حسبنا حجم متوازي السطوح، اللي كان بيساوي تسعة وأربعين. باقي عندنا إن إحنا نحسب الارتفاع.

فبإجراء عملية القسمة لتسعة وأربعين على سبعة في الجذر التربيعي لخمسة، اللي هتبقى بتساوي سبعة على الجذر التربيعي لخمسة. وبضرب البسط والمقام في الجذر التربيعي لخمسة، هيصبح الناتج عندنا سبعة في الجذر التربيعي لخمسة على خمسة. أو يساوي تقريبًا تلاتة وتلتاشر من مية.

وبكده يبقى قدرنا نحسب المطلوب التاني، اللي هو ارتفاع متوازي السطوح. واللي طلع يساوي تقريبًا تلاتة وتلتاشر من مية.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.