فيديو الدرس: نظريات المثلث المتساوي الساقين الرياضيات • الصف الثاني الإعدادي

نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نستخدم خصائص المثلث المتساوي الساقين لإيجاد قياس زاوية أو طول ضلع مجهول. وسنتناول أيضًا كيف يمكننا فعل ذلك عندما تكون قياسات الزوايا أو الأضلاع المعطاة في صورة مقادير جبرية. لنبدأ بتعريف المثلث المتساوي الساقين.

المثلث المتساوي الساقين هو مثلث له ضلعان متساويان في الطول. إذن في هذا المثلث المتساوي الساقين ﺃﺏﺟ، يمكننا أن نلاحظ من الشرطتين أن طول الضلع ﺃﺏ يساوي طول الضلع ﺃﺟ. ويسمى عادة الضلع غير المساوي للضلعين الآخرين بقاعدة المثلث المتساوي الساقين، وتسمى هاتان الزاويتان بزاويتي القاعدة. وهما في هذه الحالة الزاوية ﺏ والزاوية ﺟ.

يقودنا هذا إلى خاصية مهمة أخرى للمثلث المتساوي الساقين، وهي أن قياسي زاويتي القاعدة متساويان دائمًا. لعلك تعلم بالفعل أن المثلث المتساوي الساقين فيه زاويتان متساويتان في القياس. لكن هل سبق لك أن فكرت في السبب؟ دعونا نتناول المثلث المتساوي الساقين ﺃﺏﺟ ونر إذا ما كان بإمكاننا إثبات احتوائه على زاويتين متساويتين في القياس.

نبدأ برسم المتوسط ﺃﺹ. وهو خط يمتد من ﺃ إلى نقطة منتصف القطعة المستقيمة ﺏﺟ. نظرًا لأن ﺹ نقطة منتصف، يمكننا القول إن طول القطعة المستقيمة ﺏﺹ يساوي طول القطعة المستقيمة ﺹﺟ. وبما أن المثلث متساوي الساقين، نعلم أن لدينا ضلعين متساويين في الطول. وفي هذه الحالة، نعرف أن القطعة المستقيمة ﺃﺏ تساوي القطعة المستقيمة ﺃﺟ.

وأخيرًا عندما ننظر إلى المثلثين الصغيرين، وهما المثلث ﺃﺏﺹ والمثلث ﺃﺟﺹ، نرى أن لهما ضلعًا مشتركًا، وهو القطعة المستقيمة ﺃﺹ. إذن بالنظر إلى المثلث ﺃﺏﺹ على اليسار والمثلث ﺃﺟﺹ على اليمين، يمكننا القول إن هذين المثلثين متطابقان. وذلك لأننا أثبتنا أن ثلاثة أزواج من الأضلاع متطابقة. وبالتالي يمكننا استخدام مسلمة التطابق بثلاثة أضلاع.

ما يهمنا من هذه المسلمة هو أنها تعني أن قياس هذه الزاوية عند ﺏ يساوي قياس الزاوية عند ﺟ، ومن ثم فهي توضح خاصية تساوي قياسي هاتين الزاويتين دائمًا في المثلث المتساوي الساقين. أثناء تناول الأسئلة المتعلقة بالمثلث المتساوي الساقين، سنستخدم حقيقة أن له ضلعين متساويين في الطول وزاويتين متساويتين في القياس. إذن، لنلق نظرة على السؤال الأول.

أوجد قياس الزاوية ﺃﺏﺟ.

في الشكل الموضح، لدينا مثلث. ونعلم أن قياس الزاوية ﺟﺃﺏ يساوي ٥٨ درجة. وعلينا إيجاد قياس الزاوية ﺃﺏﺟ. يجب أن نلاحظ في هذا الشكل أن لدينا شرطتين على هذين الضلعين، ما يشير إلى أنهما متساويان. إذن يمكننا القول إن المثلث ﺃﺏﺟ متساوي الساقين، حيث إن المثلث المتساوي الساقين هو مثلث له ضلعان متساويان في الطول.

من الخصائص المهمة للمثلث المتساوي الساقين أن قياسي زاويتي القاعدة متساويان. وفي المثلث المتساوي الساقين، يسمى الضلع غير المساوي للضلعين الآخرين بالقاعدة، وهو الضلع ﺃﺏ هنا. وزاويتا القاعدة هما الزاويتان المجاورتان لهذه القاعدة. لكن انتبه هنا إلى أن القاعدة لا توجد دائمًا في أسفل الشكل.

إذن يمكننا كتابة أن قياس الزاوية ﺃﺏﺟ يساوي قياس الزاوية ﺏﺃﺟ. وبما أننا نعرف أن قياس الزاوية ﺏﺃﺟ يساوي ٥٨ درجة، فإن قياس الزاوية ﺃﺏﺟ يساوي ٥٨ درجة أيضًا. ومن ثم، قياس الزاوية ﺃﺏﺟ يساوي ٥٨ درجة.

دعونا نتناول سؤالًا آخر يتعلق بالزوايا في المثلث المتساوي الساقين.

في تصميم المنزل الآتي، ما الزاوية التي يصنعها السقف مع الأفقي، إذا كان المثلث ﺃﻫﺏ متساوي الساقين؟

قد يفيدنا للغاية بدء حل هذا السؤال بتحديد المثلث ﺃﻫﺏ الذي نريد دراسته. يمثل هذا المثلث سقف المنزل، وعرفنا أنه متساوي الساقين. علينا أن نتذكر أنه في المثلث المتساوي الساقين، يوجد ضلعان متساويان في الطول وزاويتا قاعدة متساويتان في القياس. إذن في هذا الشكل، طول الضلع ﺃﻫ يساوي طول الضلع ﺃﺏ وقياس الزاوية ﺃﻫﺏ يساوي قياس الزاوية ﺃﺏﻫ.

بعد أن ألقينا نظرة على الشكل، دعونا نركز على المطلوب، وهو إيجاد قياس الزاوية التي يصنعها السقف مع الأفقي. يعني هذا أننا نبحث عن الزاوية التي يصنعها ميل السقف والمستوى الأفقي. أي زاوية من زاويتي القاعدة ستعطينا الحل. إذن دعونا نر إذا ما كان بإمكاننا إيجاد قياس إحدى هاتين الزاويتين، وهي الزاوية ﺃﺏﻫ.

لكي نفعل ذلك، علينا أن نتذكر معلومة مهمة عن زوايا المثلث. وهي أن مجموع قياسات زوايا المثلث يساوي ١٨٠ درجة. هذا يعني أنه يمكننا كتابة أن قياس الزاوية ﺏﺃﻫ زائد قياس الزاوية ﺃﻫﺏ زائد قياس الزاوية ﺃﺏﻫ يساوي ١٨٠ درجة. نعلم أن قياس الزاوية ﺏﺃﻫ يساوي ١٠٧ درجات. لذا إذا طرحنا ١٠٧ درجات من طرفي هذه المعادلة، فسنجد أن قياس الزاوية ﺃﻫﺏ زائد قياس الزاوية ﺃﺏﻫ يساوي ٧٣ درجة. وبما أن لدينا مثلثًا متساوي الساقين، نعرف أن زاويتي القاعدة متساويتان في القياس. إذن، قياس الزاوية ﺃﻫﺏ يساوي قياس الزاوية ﺃﺏﻫ.

يمكننا التفكير في ذلك باعتبار أن حاصل ضرب اثنين في قياس الزاوية ﺃﺏﻫ يساوي ٧٣ درجة. ومن ثم، لإيجاد قياس الزاوية ﺃﺏﻫ، علينا قسمة طرفي هذه المعادلة على اثنين، ما يعني أن قياس الزاوية ﺃﺏﻫ يساوي ٣٦٫٥ درجة في صورة عدد عشري. إذن يمكننا الإجابة بأن قياس الزاوية التي يصنعها السقف مع الأفقي يساوي ٣٦٫٥ درجة.

يبدو السؤال التالي أكثر تعقيدًا. لكن لا داعي للقلق. كل ما علينا فعله هو استخدام بعض المهارات الجبرية إلى جانب الخصائص التي نعرفها عن المثلث المتساوي الساقين.

أوجد قيمتي ﺱ وﺹ.

في هذا السؤال المتعلق بمثلث، من المهم ملاحظة هاتين الشرطتين على الضلعين، اللتين تشيران إلى أن المثلث متساوي الساقين نظرًا لوجود ضلعين متساويين في الطول. يجب أن نتذكر أيضًا أن المثلث المتساوي الساقين فيه زاويتان متساويتان في القياس. وهما، في هذه المسألة، زاويتا القاعدة اللتان قياسهما تسعة ﺹ ناقص ثلاثة درجة وﺱ زائد واحد درجة.

يمكن أن نبدأ الحل بكتابة المعادلة تسعة ﺹ ناقص ثلاثة درجة يساوي ﺱ زائد واحد درجة. لكن لحل معادلة كهذه تتضمن قيمتين مجهولتين، وهما ﺱ وﺹ، نحتاج إلى معادلة أخرى تربط بين ﺱ وﺹ، وهي غير موجودة لدينا. لنجرب إذن طريقة أخرى. هذه المرة، سنحاول التفكير في مجموع قياسات زوايا المثلث.

إن استخدام حقيقة أن مجموع قياسات زوايا المثلث يساوي ١٨٠ درجة قد يمنحنا طريقة لإيجاد قيمة عددية فعلية لتسعة ﺹ ناقص ثلاثة وﺱ زائد واحد. إذا كتبنا أن ٩٦ درجة زائد تسعة ﺹ ناقص ثلاثة درجة زائد ﺱ زائد واحد درجة يساوي ١٨٠ درجة، فيمكننا طرح ٩٦ درجة من طرفي هذه المعادلة لنحصل على تسعة ﺹ ناقص ثلاثة درجة زائد ﺱ زائد واحد درجة يساوي ٨٤ درجة. وبما أننا نعلم أن هاتين الزاويتين متساويتان في القياس، فهذا يعني أن كلًّا من هاتين القيمتين تساوي نصف ٨٤ درجة. إذن تسعة ﺹ ناقص ثلاثة درجة يجب أن يساوي ٤٢ درجة، وﺱ زائد واحد درجة يجب أن يساوي ٤٢ درجة.

بكتابة هاتين المعادلتين وإيجاد حلهما، سنحصل على قيمتي ﺱ وﺹ. نبدأ بالمعادلة تسعة ﺹ ناقص ثلاثة درجة يساوي ٤٢ درجة، ونضيف ثلاثة إلى كلا الطرفين. إذن تسعة ﺹ يساوي ٤٥. بقسمة الطرفين على تسعة، نحصل على ﺹ يساوي خمسة. لحل المعادلة الثانية ﺱ زائد واحد درجة يساوي ٤٢ درجة، علينا فقط طرح واحد من كلا الطرفين. إذن ﺱ يساوي ٤١.

قبل أن ننتهي، من المفيد دائمًا التحقق من النتيجة. إذا كان ﺱ يساوي ٤١، فقياس هذه الزاوية يساوي ٤٢ درجة. وإذا كان ﺹ يساوي خمسة، فقياس هذه الزاوية يساوي ٤٢ درجة أيضًا. أول ما نتحقق منه هو أن هاتين الزاويتين متساويتان في القياس بالفعل. وآخر ما نتحقق منه هو إذا ما كان ٤٢ زائد ٤٢ زائد ٩٦ يساوي ١٨٠ درجة، وهو كذلك بالفعل. إذن الإجابة هي ﺱ يساوي ٤١ وﺹ يساوي خمسة.

لنلق نظرة على سؤال آخر.

أي من الآتي‎ صواب؟ الخيار (أ) ﺃﺏ يساوي ﺃﺟ، أم الخيار (ب) ﺟﺃ يساوي ﺟﺏ، أم الخيار (ج) ﺏﺟ يساوي ﺏﺃ؟

في الشكل الموضح، لدينا المثلث ﺃﺏﺟ والقطعة المستقيمة ﺏﺟ والشعاع ﺏﺃ. في الخيارات المعطاة، علينا أن نعرف إذا ما كان هناك ضلعان متساويان في الطول. لا توجد أي شرطة على أي ضلعين تشير إلى أنهما متساويان في الطول. إذن لنلق نظرة على الزوايا بدلًا من ذلك.

إذا استخدمنا حقيقة أن مجموع قياسات الزوايا الواقعة على خط مستقيم يساوي ١٨٠ درجة، فسنتمكن من إيجاد قياس الزاوية ﺃﺟﺏ وقياس الزاوية ﺃﺏﺟ. نبدأ بالزاوية ﺃﺟﺏ ونكتب أن قياسها يساوي ١٨٠ درجة ناقص ٩٨ درجة. يمكننا حساب ذلك بحساب ناتج ١٨٠ درجة ناقص ١٠٠ درجة ثم إضافة اثنين، وهو ما يساوي ٨٢ درجة. يمكننا إضافة هذه القيمة إلى الشكل. الزاوية التالية، وهي ﺃﺏﺟ، يجب أن يساوي قياسها ١٨٠ درجة ناقص ١٣١ درجة. بطرح ١٣٠ درجة ثم درجة واحدة أخرى، نحصل على ٤٩ درجة.

بعد أن أوجدنا قياس هاتين الزاويتين في الشكل، قد نعتقد أن هذا لن يفيدنا كثيرًا. لكن دعونا نر إذا ما كان بإمكاننا إيجاد قياس الزاوية الثالثة في المثلث ﺃﺏﺟ. علينا أن نتذكر أن مجموع قياسات زوايا المثلث يساوي ١٨٠ درجة. إذن فإن قياس الزاوية المجهولة ﺟﺃﺏ زائد قياس الزاوية ﺃﺟﺏ، الذي يساوي ٨٢ درجة، زائد قياس الزاوية ﺃﺏﺟ، الذي يساوي ٤٩ درجة، لا بد أن يساوي ١٨٠ درجة. هذا يعني أن قياس الزاوية ﺟﺃﺏ زائد ١٣١ درجة يساوي ١٨٠ درجة. بطرح ١٣١ درجة من طرفي هذه المعادلة، نجد أن قياس الزاوية ﺟﺃﺏ يساوي ٤٩ درجة. يمكننا إضافة هذا القياس إلى الشكل والتحقق مما إذا كان هناك شيء يمكننا ملاحظته.

حسنًا، نلاحظ أن لدينا زاويتين متساويتين في القياس. فقياس كل منهما يساوي ٤٩ درجة. وهذا يعني أن المثلث ﺃﺏﺟ متساوي الساقين. فأي مثلث به زاويتان متساويتان في القياس لا بد أن يكون له ضلعان متساويان في الطول. ومن ثم، فهو مثلث متساوي الساقين. والضلعان المتساويان هما الضلع ﺟﺃ والضلع ﺟﺏ. يمكننا إذن الإجابة بأن ﺟﺃ يساوي ﺟﺏ، وهو الخيار (ب).

في السؤال الأخير، سنوجد مساحة مثلث متساوي الساقين.

أوجد مساحة المثلث ﺃﺏﺟ.

أول ما نلاحظه عند النظر إلى هذا المثلث هو أنه مثلث متساوي الساقين. يمكننا معرفة ذلك من الشرطتين اللتين تشيران إلى أن لدينا ضلعين متساويين في الطول، وهو ما يتوافق مع تعريف المثلث المتساوي الساقين. لإيجاد مساحة أي مثلث، نحتاج إلى الصيغة التي تنص على أن مساحة المثلث تساوي نصفًا في طول القاعدة في الارتفاع العمودي.

لكن إذا حاولنا إيجاد ذلك مباشرة، فستواجهنا مشكلة. هذه القيمة التي تساوي ١٠ سنتيمترات تمثل الارتفاع المائل للمثلث وليس الارتفاع العمودي. فالارتفاع العمودي يبدو هكذا. ويمكننا الإشارة إليه بالحرف ﻉ إن أردنا. وبما أننا كونا مثلثين قائمين هنا، فيمكننا استخدام نظرية فيثاغورس التي تنص على أن مربع طول الوتر يساوي مجموع مربعي طولي الضلعين الآخرين.

لننظر إلى هذا المثلث الموجود على اليسار. يمكننا القول إن هذا الخط الواصل من الزاوية ﺃ يلتقي مع الضلع ﺏﺟ عند النقطة ﺹ. لكي نستخدم نظرية فيثاغورس، علينا معرفة طول القطعة المستقيمة ﺏﺹ. قد تعتقد أنه من الواضح تمامًا أن طولها يساوي ستة سنتيمترات. لكن كيف يمكننا التأكد أن طولها ستة سنتيمترات بالفعل؟

لننظر إلى المثلثين. لدينا المثلث ﺃﺏﺹ على اليسار والمثلث ﺃﺟﺹ على اليمين. إذا نظرنا إلى الضلعين، فسنعرف أن طول الضلع ﺃﺏ يساوي طول الضلع ﺃﺟ. والضلع ﺃﺹ مشترك بين المثلثين. وأخيرًا، قياس الزاوية ﺃﺹﺏ يساوي قياس الزاوية ﺃﺹﺟ. فكلاهما يساوي ٩٠ درجة. يمكننا القول إذن إن المثلث ﺃﺏﺹ يطابق المثلث ﺃﺟﺹ باستخدام مسلمة التطابق بزاوية قائمة ووتر وضلع.

قد لا تحتاج إلى هذه الطريقة المفصلة في حل كل سؤال. لكن من الجيد أن نشير إلى أن هذه الطريقة توضح أن طول ﺏﺹ يساوي طول ﺹﺟ. فطول كل منهما ستة سنتيمترات. تثبت أيضًا طريقة الحل هذه خاصية مهمة للمثلث المتساوي الساقين، وهي أن متوسط قاعدة المثلث المتساوي الساقين يكون عموديًّا على القاعدة. بعبارة أخرى، الخط الواصل من الزاوية ﺃ إلى الضلع ﺏﺟ عند نقطة المنتصف ﺹ عمودي على القاعدة ﺏﺟ.

لنتابع حل هذا السؤال ونطبق نظرية فيثاغورس. باستخدام المثلث ﺃﺏﺹ، نجد أن طول الوتر يساوي ١٠ وطولي الضلعين الآخرين هما ستة وﻉ. إذن نكتب ١٠ تربيع يساوي ستة تربيع زائد ﻉ تربيع. بإيجاد قيمة المربعات، ١٠٠ يساوي ٣٦ زائد ﻉ تربيع. وبطرح ٣٦ من كلا الطرفين، نحصل على ٦٤ يساوي ﻉ تربيع. علينا أن نعلم أن ٦٤ مربع تام. إذن عند أخذ الجذر التربيعي، نحصل على ﻉ يساوي ثمانية. والوحدة هي وحدة الطول بالسنتيمتر.

في هذا السؤال، تذكر أننا نريد إيجاد المساحة، وليس الارتفاع العمودي فقط. لذا سنستخدم صيغة المساحة. عندما نكتب قيمتي القاعدة والارتفاع، نتذكر أننا نضرب القاعدة التي طولها ١٢ سنتيمترًا، وليس ستة سنتيمترات، في نصف ثم في ثمانية وهو الارتفاع العمودي. يمكننا التبسيط قبل الضرب لنحصل على القيمة ٤٨. ولأننا نريد إيجاد المساحة، فسنحتاج إلى الوحدات المربعة. إذن يمكننا الإجابة بأن مساحة المثلث ﺃﺏﺟ تساوي ٤٨ سنتيمترًا مربعًا.

يمكننا الآن تلخيص ما تعلمناه في هذا الفيديو. أولًا، عرفنا أن المثلث المتساوي الساقين له ضلعان متساويان في الطول. ثانيًا، عرفنا بعض المصطلحات. يسمى الضلع غير المساوي للضلعين الآخرين في المثلث المتساوي الساقين بالقاعدة. بعد ذلك، عرفنا أنه بما أن المثلث المتساوي الساقين له ضلعان متساويان في الطول، فهذا يعني أن به زاويتين متساويتين في القياس. فزاويتا القاعدة متساويتان في القياس. وأخيرًا كما رأينا في السؤال الأخير، يكون متوسط قاعدة المثلث المتساوي الساقين عموديًّا على القاعدة.