فيديو السؤال: إيجاد قيمة تعبير يحتوي على مشتقة دالة جذرية ومشتقة دالة كثيرة الحدود باستخدام قاعدة السلسلة الرياضيات

إذا كان ﺹ = الجذر التربيعي لـ (٤ﺱ^٢ − ٥)، ﻉ = ٥ﺱ^٢ + ٩، فأوجد (ﺹ(ﺩﺹ‏/‏ﺩﺱ)) + (ﺩﻉ‏/‏ﺩﺱ).

٠٥:٤٢

‏نسخة الفيديو النصية

إذا كان ﺹ يساوي الجذر التربيعي لأربعة ﺱ تربيع ناقص خمسة، وﻉ يساوي خمسة ﺱ تربيع زائد تسعة، فأوجد ﺹ مضروبًا في مشتقة ﺹ بالنسبة إلى ﺱ زائد مشتقة ﻉ بالنسبة إلى ﺱ

تتضمن معطيات السؤال معادلة لـ ﺹ بدلالة ﺱ ومعادلة لـ ﻉ بدلالة ﺱ. والتعبير المطلوب منا إيجاد قيمته يحتوي على مشتقتين فقط بالنسبة إلى ﺱ؛ لذا يمكننا محاولة الحل مباشرة. دعونا نسترجع بعض قواعد المشتقات لكي تساعدنا في حساب ذلك. أولًا، باستخدام قاعدة السلسلة، فإن مشتقة الدالة ﺩ مرفوعة للقوة ﻥ تساوي ﻥ مضروبًا في ﺩ شرطة ﺱ مضروبًا في ﺩﺱ مرفوعًا للقوة ﻥ ناقص واحد. وثانيًا، لدينا حالة خاصة من هذه القاعدة. وهي أن مشتقة ﺱ مرفوعة للقوة ﻥ تساوي ﻥ مضروبًا في ﺱ أس ﻥ ناقص واحد.

إذن، دعونا نبدأ بحساب مشتقة ﺹ بالنسبة إلى ﺱ. نعرف أن هذه المشتقة تساوي مشتقة الجذر التربيعي لأربعة ﺱ تربيع ناقص خمسة بالنسبة إلى ﺱ. ويمكننا ملاحظة أن حساب جذر تربيعي لعدد يكافئ رفعه للقوة نصف. ويعني هذا أننا نشتق الدالة التي تكون على الصورة ﺩﺱ مرفوعة للقوة ﻥ، حيث ﻥ يساوي نصفًا، وﺩﺱ تساوي أربعة ﺱ تربيع ناقص خمسة.

إذن، لكي نشتق هذه الدالة، فإننا نستخدم قاعدة الاشتقاق هذه. أولًا، نضرب في ﻥ، والذي يساوي نصفًا. بعد ذلك، نضرب ﻥ في مشتقة الدالة ﺩﺱ، وهي أربعة ﺱ تربيع ناقص خمسة. وأخيرًا، نضرب هذا في ﺩﺱ مرفوعة للقوة ﻥ ناقص واحد. إذن، نحصل على أربعة ﺱ تربيع ناقص خمسة الكل مرفوع للقوة نصف ناقص واحد. يمكننا تبسيط هذا التعبير، أولًا عن طريق حساب مشتقة أربعة ﺱ تربيع ناقص خمسة بالنسبة إلى ﺱ، والتي يمكننا حسابها باستخدام قاعدة الاشتقاق التي لدينا فنحصل على ثمانية ﺱ.

يمكننا أيضًا تبسيط الأس، فنصف ناقص واحد يساوي سالب نصف. وهذا يعطينا نصفًا مضروبًا في ثمانية ﺱ مضروبًا في أربعة ﺱ تربيع ناقص خمسة مرفوعًا للقوة سالب نصف. يمكننا بعد ذلك تبسيط نصف مضروبًا في ثمانية ﺱ فيصبح أربعة ﺱ. وبدلًا من أن نضرب في أربعة ﺱ تربيع ناقص خمسة مرفوعًا للقوة سالب نصف، يمكننا القسمة على هذا التعبير ويصبح الأس مرفوعًا للقوة موجب نصف. هذا يعطينا أن مشتقة ﺹ بالنسبة إلى ﺱ تساوي أربعة ﺱ مقسومًا على أربعة ﺱ تربيع ناقص خمسة مرفوعًا للقوة نصف.

دعونا الآن نحسب مشتقة ﻉ بالنسبة إلى ﺱ. هذه هي مشتقة خمسة ﺱ تربيع زائد تسعة بالنسبة إلى ﺱ. يمكننا حساب هذه المشتقة مباشرة باستخدام قاعدة القوة للاشتقاق. وهذا يعطينا أن مشتقة ﻉ بالنسبة إلى ﺱ تساوي ١٠ﺱ. يمكننا الآن إيجاد قيمة التعبير المعطى في السؤال. وهو ﺹ مضروبًا في مشتقة ﺹ بالنسبة إلى ﺱ زائد مشتقة ﻉ بالنسبة إلى ﺱ.

نبدأ بالتعويض بـ ﺹ يساوي الجذر التربيعي لأربعة ﺱ تربيع ناقص خمسة. بعد ذلك، نعوض بالتعبير الذي حسبناه لمشتقة ﺹ بالنسبة إلى ﺱ. وهو يساوي أربعة ﺱ مقسومًا على أربعة ﺱ تربيع ناقص خمسة مرفوعًا للقوة نصف. نعوض بعد ذلك بالتعبير الخاص بـ ﺩﻉ على ﺩﺱ، وهو ما يساوي ١٠ﺱ في هذه الحالة. يمكننا الآن أن نلاحظ أن المقام، أربعة ﺱ تربيع ناقص خمسة الكل مرفوع للقوة نصف، يساوي الجذر التربيعي لأربعة ﺱ تربيع ناقص خمسة بالفعل.

ومن ثم، يمكننا حذف هذا العامل المشترك في البسط والمقام، فنحصل على أربعة ﺱ زائد ١٠ﺱ، وهو ما يساوي ١٤ﺱ. إذن، نكون قد أوضحنا أننا سنفرض أن ﺹ يساوي الجذر التربيعي لأربعة تربيع ناقص خمسة وﻉ يساوي خمسة ﺱ تربيع زائد تسعة. حينئذ، فإن التعبير ﺹ مضروبًا في مشتقة ﺹ بالنسبة إلى ﺱ زائد مشتقة ﻉ بالنسبة إلى ﺱ يساوي ١٤ﺱ.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.