فيديو السؤال: تحليل حركة جسمين معلقين رأسيًّا ومتصلين بخيط يمر على بكرة الرياضيات

جسمان ﺃ وﺏ متساويان في الكتلة ﻙ جرام، ربط كل منهما بطرفي خيط خفيف غير مرن يمر فوق بكرة ملساء. أضيفت كتلة مقدارها ٤٤ جم إلى الجسم ﺃ وبدأ النظام في التحرك من السكون. اصطدم الجسم ﺃ بالأرض بعد التحرك مسافة ٦٤ سم، وأكمل الجسم ﺏ حركته لأعلى حتى وصل للسكون عند نقطة أعلى من نقطة بدايته بمقدار ٨٠ سم. أوجد قيمة ﻙ، علمًا بأن عجلة الجاذبية الأرضية ﺩ = ٩٫٨ م‏/‏ث^٢.

٠٧:٣٢

‏نسخة الفيديو النصية

جسمان ﺃ وﺏ متساويان في الكتلة ﻙ جرام، ربط كل منهما بطرفي خيط خفيف غير مرن يمر فوق بكرة ملساء. أضيفت كتلة مقدارها ٤٤ جرامًا إلى الجسم ﺃ وبدأ النظام في التحرك من السكون. اصطدم الجسم ﺃ بالأرض بعد التحرك مسافة ٦٤ سنتيمترًا، وأكمل الجسم ﺏ حركته لأعلى حتى وصل للسكون عند نقطة أعلى من نقطة بدايته بمقدار ٨٠ سنتيمترًا. أوجد قيمة ﻙ، علمًا بأن عجلة الجاذبية الأرضية ﺩ تساوي ٩٫٨ أمتار لكل ثانية مربعة.

سنبدأ برسم شكل لتمثيل الموقف. لدينا جسمان ﺃ وﺏ مربوطان بخيط خفيف غير مرن يمر فوق بكرة ملساء. وبما أن البكرة ملساء، فسيكون الشد في الخيط متساويًا على طول الخيط. كتلة الجسمين تساوي ﻙ جرام، ولذلك سوف يؤثران بقوة لأسفل تساوي هذه الكتلة ﻙ مضروبة في الجاذبية ﺩ. نعرف من المعطيات أن هذه الجاذبية ﺩ تساوي ٩٫٨ أمتار لكل ثانية مربعة، وهو ما يكافئ ٩٨٠ سنتيمترًا لكل ثانية مربعة. أضيفت كتلة مقدارها ٤٤ جرامًا إلى الجسم ﺃ. هذا يعني أنه يؤثر الآن لأسفل بقوة مقدارها ﻙ زائد ٤٤ مضروبًا في ﺩ. وبالتوزيع على القوسين، نحصل على ﻙﺩ زائد ٤٤ﺩ.

علمنا بعد ذلك أن النظام قد تحرك من السكون. إذن، الجسم ﺃ سيتسارع لأسفل، والجسم ﺏ سيتسارع لأعلى. وبما أن الخيط غير مرن، فإن هذه العجلة ﺟ ستكون ثابتة في النظام بالكامل. يمكننا الآن استخدام قانون نيوتن الثاني، ﻕ يساوي ﻙﺟ، لكل من الجسم ﺃ والجسم ﺏ. مجموع القوى المؤثرة على الجسم يساوي الكتلة مضروبة في العجلة. وبما أن الجسم ﺃ يتسارع لأسفل، فسنفترض أن هذا هو الاتجاه الموجب. وعليه، فإن مجموع القوى يساوي ﻙﺩ زائد ٤٤ﺩ ناقص ﺵ. وهذا يساوي كتلة الجسم ﻙ زائد ٤٤ مضروبًا في ﺟ. سنسمي هذه المعادلة رقم واحد.

سنكرر هذه العملية مع الجسم ﺏ، حيث سنعتبر الاتجاه الموجب هو الاتجاه الرأسي لأعلى، ومن ثم يصبح لدينا ﺵ ناقص ﻙﺩ يساوي ﻙﺟ. لدينا الآن معادلتان آنيتان. وبجمع المعادلتين، يمكننا حذف قوة الشد ﺵ، وإيجاد تعبير عن العجلة ﺟ بدلالة ﻙ وﺩ. وعليه يصبح الطرف الأيمن من المعادلة لدينا: ﻙﺩ زائد ٤٤ﺩ ناقص ﻙﺩ. وبعد التوزيع على القوسين، يصبح الطرف الأيسر ﻙﺟ زائد ٤٤ﺟ زائد ﻙﺟ. يبسط هذا لنحصل على ٤٤ﺩ يساوي اثنين ﻙﺟ زائد ٤٤ﺟ.

بما أن ﺩ يساوي ٩٨٠، فإن الطرف الأيمن يساوي ٤٣١٢٠. وبتحليل ﺟ في الطرف الأيسر، نحصل على ﺟ مضروب في اثنين ﻙ زائد ٤٤. وبقسمة الطرفين على هذا، نحصل على ﺟ يساوي ٤٣١٢٠ على اثنين ﻙ زائد ٤٤. قد نتساءل كيف يمكن أن يساعدنا هذا في حل هذا السؤال. ولكن سنتناول الآن ما حدث بعد تحرك النظام. تحرك الجسم ﺃ مسافة ٦٤ سنتيمترًا قبل اصطدامه بالأرض. إإذن يمكننا استخدام معادلات الحركة بعجلة ثابتة لإيجاد سرعة هذا الجسم عند اصطدامه بالأرض. إذا اعتبرنا الاتجاه الموجب هو الاتجاه الرأسي لأسفل، فإن الإزاحة تساوي ٦٤ سنتيمترًا، والسرعة الابتدائية تساوي صفر سنتيمتر لكل ثانية.

إننا نحاول حساب السرعة النهائية ﻉ. والعجلة تساوي ٤٣١٢٠ على اثنين ﻙ زائد ٤٤ سنتيمترًا لكل ثانية مربعة. سنستخدم المعادلة ﻉ تربيع يساوي ﻉ صفر تربيع زائد اثنين ﺟﻑ. بما أن ﻉ صفر يساوي صفرًا، فإن ﻉ تربيع يساوي اثنين مضروبًا في ٤٣١٢٠ على اثنين ﻙ زائد ٤٤ مضروبًا في ٦٤. يمكن تبسيط ذلك إلى ٢٧٥٩٦٨٠ على ﻙ زائد ٢٢. يمكننا أن نحاول أخذ الجذر التربيعي لهذا. لكننا سنتناول أولًا ما حدث للجسم ﺏ بعد تحرك النظام.

نحن نعلم أن الجسم ﺏ يتسارع لأعلى بنفس العجلة. وهذا يعني أنه بعد قطعه لمسافة مقدارها ٦٤ سنتيمترًا، ستكون سرعته مساوية لسرعة الجسم ﺃ. عند هذه النقطة، يصطدم الجسم ﺃ بالأرض. هذا يعني أن الخيط سيصبح متراخيًّا، والجسم ﺏ سيظل يتحرك بفعل قوة الجاذبية. نعرف من المعطيات أن الجسم ﺏ وصل للسكون عند نقطة أعلى من نقطة بدايته بمقدار ٨٠ سنتيمترًا. هذا يعني أنه قطع ١٦ سنتيمترًا إضافية رأسيًّا لأعلى بعد أن اصطدم الجسم ﺃ بالأرض.

باعتبار التحرك رأسيًّا لأعلى موجبًا، فإن الإزاحة هنا تساوي ١٦ سنتيمترًا. والسرعة النهائية ﻉ تساوي صفر سنتيمتر لكل ثانية عند وصول الجسم إلى السكون. وعجلة الجاذبية الأرضية تساوي سالب ٩٨٠ سنتيمترًا لكل ثانية مربعة، حيث تؤثر الجاذبية في عكس اتجاه الحركة. السرعة الابتدائية خلال هذا الجزء من الرحلة تساوي الجذر التربيعي لـ ٢٧٥٩٦٨٠ على ﻙ زائد ٢٢.

يمكننا الآن إفراغ بعض المساحة واستخدام المعادلة ﻉ تربيع يساوي ﻉ صفر تربيع زائد اثنين ﺟﻑ مرة أخرى. بالتعويض بالقيم التي لدينا وتربيع ﻉ صفر، نحصل على المعادلة التالية. اثنان مضروبًا في سالب ٩٨٠ مضروبًا في ١٦ يساوي سالب ٣١٣٦٠. يمكننا بعد ذلك إضافة ٣١٣٦٠ إلى كلا الطرفين، بحيث نحصل على ٢٧٥٩٦٨٠ على ﻙ زائد ٢٢. يمكن إعادة ترتيب ذلك ليصبح لدينا ﻙ زائد ٢٢ في الطرف الأيمن. ويمكن تبسيط الطرف الأيسر إلى ٨٨. يمكننا بعد ذلك طرح ٢٢ من كلا طرفي هذه المعادلة، لنحصل على ﻙ يساوي ٦٦. إذن الكتلة الابتدائية للجسمين ﺃ وﺏ تساوي ٦٦ جرامًا.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.