فيديو السؤال: حساب العزم المحصل لعدة ازدواجات الرياضيات

ﺃﺏﺟﺩ مستطيل، فيه ﺃﺏ = ١٤ سم، ﺏﺟ = ٢٤ سم. إذا كانت ﺱ، ﺹ نقطتي منتصف ﺃﺏ،ﺟﺩ، على الترتيب، وقوى مقاديرها ١٥٣ نيوتن، ١٩٩ نيوتن، ١٥٣ نيوتن، ١٩٩ نيوتن، ٧٣ نيوتن، ٧٣ نيوتن تؤثر كما في الشكل، فأوجد عزم الازدواج المحصل لأقرب منزلتين عشريتين.

١٠:٢٦

‏نسخة الفيديو النصية

‏ﺃﺏﺟﺩ مستطيل، فيه ﺃﺏ يساوي ١٤ سنتيمترًا، وﺏﺟ يساوي ٢٤ سنتيمترًا. إذا كانت ﺱ، وﺹ نقطتي منتصف ﺃﺏ، وﺟﺩ، على الترتيب، وقوى مقاديرها ١٥٣ نيوتن، و١٩٩ نيوتن، و١٥٣ نيوتن، و١٩٩ نيوتن، و٧٣ نيوتن، و٧٣ نيوتن تؤثر كما في الشكل، فأوجد عزم الازدواج المحصل لأقرب منزلتين عشريتين.

بالنظر إلى الشكل، نرى هذه القوى الست المؤثرة كثلاثة ازدواجات. توجد قوة ازدواج مقدارها ١٥٣ نيوتن، وقوة ازدواج مقدارها ١٩٩ نيوتن، وقوة ازدواج مقدارها ٧٣ نيوتن. وبمعرفة كل هذا إلى جانب حقيقة أن طول الضلع ﺃﺏ يساوي ١٤ سنتيمترًا، وطول الضلع ﺏﺟ يساوي ٢٤ سنتيمترًا، فإننا نريد إيجاد قيمة العزم الكلي أو عزم الازدواج المحصل من خلال هذه القوى الست. وبينما نبدأ في فعل ذلك، يمكننا أن نفرغ بعض المساحة على الشاشة ونبدأ بملاحظة أنه، بوجه عام، إذا كانت لدينا القوة ﻕ؛ حيث خط عمل هذه القوة يبعد مسافة عمودية ﻝ عن محور الدوران، فإن العزم ﺝ حول هذا المحور الناتج عن هذه القوة يساوي ﻕ في ﻝ.

أحيانًا، نرى في هذا التعبير رمزًا مثل هذا، يشير إلى أن ﻕ وﻝ متعامدان. وهذا هو العزم الناتج عن قوة واحدة. ولكن، إذا افترضنا أن لدينا قوة أخرى لها نفس مقدار القوة ﻕ، ولكنها معاكسة لها في الإشارة، وتؤثر أيضًا بمسافة عمودية ﻝ عن محور الدوران، فسنقول إذن إن هاتين القوتين معًا تكونان ازدواجًا. وفي هذه الحالة، فإن العزم حول المحور، وسنسميه ﺝﻡ، يساوي اثنين مضروبًا في المركبة العمودية للقوة ﻕ مضروبًا في ﻝ. نستنتج من ذلك أن كل قوة من قوتي الازدواج تساهم بالتساوي في قيمة العزم الكلي. وهذا يعني أنه يمكننا إيجاد قيمة العزم الكلي من خلال إيجاد قيمة أي من قوتي الازدواج ثم ضربها في اثنين. وسنستخدم هذه الحقيقة هنا بالأسفل في هذا المثال.

وكما قلنا، يوجد هنا ثلاث قوى ازدواج، تحدث كل واحدة منها عزمًا. وبسبب الطريقة التي رتبت بها هذه الازدواجات، يمكننا القول إن محور الدوران للازدواجات الثلاثة جميعها هو المركز الهندسي لهذا المستطيل. العزم الكلي الذي تحدثه هذه الازدواجات الثلاثة، ونسمي هذا العزم ﺝ، يساوي العزم الناتج عن قوة الازدواج التي مقدارها ١٥٣ نيوتن، زائد العزم الناتج عن قوة الازدواج التي مقدارها ١٩٩ نيوتن، زائد العزم الناتج عن قوة الازدواج التي مقدارها ٧٣ نيوتن.

لنبدأ الحل لإيجاد قيمة ﺝ، بالنظر أولًا إلى هذا العزم. إذا رسمنا خط عمل إحدى القوتين اللتين مقدار كل منهما ١٥٣ نيوتن، فسنجد أن المسافة العمودية بين هذا الخط ومحور الدوران تساوي نصف طول الضلع ﺏﺟ. يعني هذا أنها تساوي ١٢ سنتيمترًا. وبغض النظر عن الوحدتين، إذا أخذنا ١٥٣ وضربناه في ١٢، فهذا يعطينا نصف مقدار العزم الكلي الناتج حول محور الدوران من قوتي الازدواج هاتين. ولكي نحسب الازدواج الكلي، فسنضرب هذا الناتج في اثنين.

آخر ما علينا معرفته عن عزم الازدواج هذا هو إذا ما كان موجبًا أم سالبًا. نلاحظ أن العزوم الموجبة تحدث عادة دورانًا في عكس اتجاه عقارب الساعة. وبناء على اتجاه أسهم هذه القوى، نلاحظ أنه يمكننا معرفة اتجاه هذا العزم. إذن، ﺝ ١٥٣ م يساوي اثنين مضروبًا في ١٥٣ مضروبًا في ١٢. وبمعرفة ذلك، دعونا الآن نلق نظرة على عزم الازدواج التالي.

إذا رسمنا خط عمل إحدى القوتين اللتين مقدار كل منهما ١٩٩ نيوتن، فيمكننا ملاحظة أن المسافة العمودية بين خط العمل هذا ومحور الدوران تساوي نصف طول القطعة المستقيمة ﺃﺏ. وهو ما يعني أن طولها سبعة سنتيمترات. إذن، بالنسبة إلى عزم الازدواج هذا، فسيكون ١٩٩ مضروبًا في سبعة مضروبًا في اثنين لنحصل على مقدار العزم الكلي. نلاحظ أنه بالنسبة إلى محور الدوران، فإن هاتين القوتين اللتين مقدار كل منهما ١٩٩ نيوتن تحدثان دورانًا في اتجاه عقارب الساعة. وكما هو متعارف عليه في قاعدة الإشارات، فهذا العزم يكون سالبًا.

ومن ثم، يقودنا هذا إلى عزم الازدواج الأخير. بالنظر إلى القوتين اللتين مقدار كل منهما ٧٣ نيوتن، إذا رسمنا خط عمل إحدى هاتين القوتين، فإن ما نريد فعله هو إيجاد قيمة هذه المسافة العمودية، أي المسافة من هذا الخط إلى المحور. يمكننا ملاحظة أن طول هذا الخط، أيًّا كانت قيمته، يجب أن يساوي نصف طول هذا الخط الموجود هنا. ونلاحظ أن هذا الخط الأطول، وسنسميه ﻝ، يمكن اعتباره جزءًا من مثلث قائم الزاوية. وهذا المثلث القائم الزاوية باللون البرتقالي يشبه مثلثًا آخر في الرسم. هذا المثلث الوردي يشبه المثلث البرتقالي.

لنوضح كيف عرفنا ذلك. أيًّا كانت قيمة هذه الزاوية هنا، فلا بد أن يكون مجموع قياس هذه الزاوية وهذه الزاوية في المثلث البرتقالي يساوي ٩٠ درجة. هذا لأنهما تشكلان معًا إحدى زوايا المستطيل. وهذا يعني أنه أيًّا كانت قيمة هذه الزاوية الصغيرة في المثلث الوردي، فيجب أن تساوي قياس هذه الزاوية الصغيرة في المثلث البرتقالي. وبالتالي، لا بد أن تكون هذه الزاوية في المثلث الوردي متساوية في القياس مع هذه الزاوية التي حددناها للتو في المثلث البرتقالي. كل هذا يعني أن هذين المثلثين متشابهان، وهذا ما سيساعدنا في إيجاد قيمة المسافة ﻝ.

بتفريغ بعض المساحة للنظر عن كثب، نعلم أن طول هذا الضلع الأفقي في المثلث الوردي يساوي ٢٤ سنتيمترًا. أما بالنسبة إلى طول الضلع الرأسي، فنحن نعلم أن ﺱ نقطة منتصف ﺃ وﺏ، ما يعني أن هذا الضلع في المثلث لا بد أن يساوي نصف العدد ١٤. إذن، لدينا مثلث قائم الزاوية حيث إن طولي الضلعين القصيرين هما سبعة و٢٤. وفقًا لنظرية فيثاغورس، يمكننا القول إن وتر هذا المثلث الوردي يساوي الجذر التربيعي لسبعة تربيع زائد ٢٤ تربيع. وهذا يساوي ٢٥.

بمعرفة ذلك، لنفترض أن وتر المثلث البرتقالي هو المسافة من ﺟ إلى ﺹ في المستطيل. وبما أن ﺹ نقطة منتصف ﺩﺟ، فإن هذه المسافة لا بد أن تساوي سبعة سنتيمترات أيضًا. إذن، لنر ما يمكننا فعله. يمكننا كتابة النسبة بين أطوال أضلاع المثلث الوردي وأطوال أضلاع المثلث البرتقالي. على وجه التحديد، يمكننا القول إن طول وتر المثلث الأكبر أي ٢٥، مقسومًا على طول وتر المثلث الأصغر أي سبعة، يساوي نسبة طول الضلع الأكبر للمثلث الوردي أي ٢٤، مقسومًا على طول الضلع الأكبر للمثلث البرتقالي أي ﻝ. وإذا استخدمنا الضرب التبادلي، فسنجد أن ﻝ يساوي سبعة في ٢٤ على ٢٥.

بإدخال هذه القيمة في الآلة الحاسبة، نجد أنها تساوي ٦٫٧٢. إذن، هذه هي المسافة العمودية بالسنتيمترات بين خطي عمل القوتين اللتين مقدار كل منهما ٧٣ نيوتن، وهو ما يعني أن هذه المسافة التي أردنا إيجاد قيمتها منذ البداية، لا بد أن تساوي نصف المسافة العمودية. بعبارة أخرى، فإن مقدار عزم هذا الازدواج يساوي اثنين في ٧٣ في ٦٫٧٢ على اثنين. نلاحظ أيضًا أن هاتين القوتين تحدثان دورانًا في اتجاه عقارب الساعة حول المحور. إذن، فهذا عزم سالب.

وأخيرًا، نحن جاهزون لجمع جميع الحدود معًا لإيجاد قيمة ﺝ. وعندما نفعل ذلك، نجد أنها تساوي ٣٩٥٫٤٤. تكون وحدة القوى هي النيوتن، ووحدة المسافات هي السنتيمترات. وعليه، تكون الإجابة النهائية هي أن العزم الإجمالي الناتج عن هذه الازدواجات الثلاثة يساوي ٣٩٥٫٤٤ نيوتن سنتيمتر.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.