نسخة الفيديو النصية
إذا كان ﻉ واحد يساوي واحدًا وﻉ اثنان يساوي جتا ثلاثة 𝜃 زائد ﺕ جا ثلاثة 𝜃 الكل تربيع، فأوجد ﻉ واحد مقسومًا على ﻉ اثنين على الصورة المثلثية.
توجد العديد من الصيغ التي سيكون علينا استخدامها هنا. الصيغة الأولى هي صيغة حاصل الضرب. وتنص على أنه بالنسبة للعددين المركبين؛ ﻉ واحد الذي مقياسه ﻝ واحد وسعته 𝜃 واحد، وﻉ اثنين الذي مقياسه ﻝ اثنان وسعته 𝜃 اثنان، فإنه يمكن إيجاد حاصل ضرب ﻉ واحد ﻉ اثنين بضرب مقياسيهما وجمع سعتيهما.
ويمكن أن يمتد ذلك ليشمل تربيع العدد المركب، ونقول إنه لإيجاد مربع أي عدد مركب ﻉ على الصورة القطبية، فإننا نربع المقياس ونضاعف السعة. سيسمح لنا هذا بإيجاد قيمة جتا ثلاثة 𝜃 زائد ﺕ جا ثلاثة 𝜃 الكل تربيع. إذ نضاعف السعة ونحصل على جتا ستة 𝜃 زائد ﺕ جا ستة 𝜃.
تنص صيغة القسمة على أنه بالنسبة إلى العددين المركبين نفسيهما ﻉ واحد وﻉ اثنين، يمكن إيجاد خارج قسمتهما ﻉ واحد مقسومًا على ﻉ اثنين بقسمة مقياسيهما وطرح سعتيهما. لكن ﻉ واحد ليس على الصورة المثلثية بعد؛ بل إنه على الصورة الجبرية. فالصورة الجبرية لأي عدد مركب هي: ﻉ يساوي ﺃ زائد ﺏﺕ.
إذا قارنا الصورة الجبرية العامة بالعدد المركب ﻉ واحد، فسنجد أن قيمة ﺃ تساوي واحدًا، وقيمة ﺏ تساوي صفرًا. إذن، علينا الآن إيجاد طريقة لتمثيل المركبة الحقيقية والمركبة التخيلية للعدد بدلالتي ﻝ و𝜃؛ أي كتابته بشكل أساسي على الصورة المثلثية.
المقياس ﻝ يساوي الجذر التربيعي لـ ﺃ تربيع زائد ﺏ تربيع. وهذا وفقًا لنظرية فيثاغورس. لإيجاد قيمة 𝜃، نستخدم الصيغة: ظا 𝜃 يساوي ﺏ على ﺃ. دعونا إذن نعوض بما نعرفه عن العدد المركب ﻉ واحد في هاتين الصيغتين.
المقياس يساوي الجذر التربيعي لواحد تربيع زائد صفر تربيع، وهو ما يساوي واحدًا فقط. ظا 𝜃 يساوي ﺏ على ﺃ، أي صفرًا على واحد. وصفر على واحد يساوي صفرًا. إذن لحل هذه المعادلة لإيجاد قيمة 𝜃، يمكننا إيجاد دالة الظل العكسية لصفر، وهي التي تساوي ببساطة صفرًا. والآن بما أن لدينا قيمتي ﻝ و𝜃، دعونا نعوض بهما في صيغة الصورة القطبية أو المثلثية العامة للعدد المركب ﻉ واحد.
وعند القيام بذلك، نجد أن ﻉ واحد يساوي واحدًا مضروبًا في جتا صفر زائد ﺕ جا صفر. دعونا نحتفظ بذلك ونفرغ بعض المساحة. نحن نريد إيجاد قيمة ﻉ واحد مقسومًا على ﻉ اثنين. لنرجع مرة أخرى إلى صيغة القسمة.
نقسم المقياسين فنحصل على واحد مقسوم على واحد. نطرح السعتين فنحصل على صفر ناقص ستة 𝜃. تذكر أن دالتي الجيب وجيب التمام دوريتان، وطول دورتيهما اثنان 𝜋. لذا، يمكننا إضافة اثنين 𝜋 إلى السعة، وسيظل العدد المركب هو نفسه دون تغيير. وبما أن مقياس العدد المركب يساوي واحدًا، فلن نحتاج في الحقيقة إلى كتابته.
وبذلك نكون قد انتهينا إلى أن الحل هو: خارج قسمة ﻉ واحد على ﻉ اثنين يساوي جتا اثنين 𝜋 ناقص ستة 𝜃 زائد ﺕ جا اثنين 𝜋 ناقص ستة 𝜃.
