فيديو: إيجاد النهايات باستخدام تعريف المشتقة كنهاية

إذا كانت الدالة ‪𝑓(𝑥) = −3𝑥⁹ − 5‬‏، فأوجد ‪lim_(ℎ→0) (𝑓(𝑥 + ℎ) −𝑓(𝑥))/ℎ‬‏.

٠٣:٣٩

‏نسخة الفيديو النصية

إذا كانت الدالة 𝑓 في المتغير 𝑥 تساوي سالب ثلاثة 𝑥 أس تسعة ناقص خمسة، فأوجد نهاية الدالة 𝑓 في المتغير 𝑥 زائد ℎ ناقص الدالة 𝑓 في المتغير 𝑥 على ℎ عندما يقترب ℎ من صفر.

قبل أن ننشغل بإيجاد النهاية، لنفكر أولًا في مقدار الدالة 𝑓 في المتغير 𝑥 زائد ℎ ناقص الدالة 𝑓 في المتغير 𝑥 على ℎ، وتحديدًا الدالة 𝑓 في المتغير 𝑥 زائد ℎ هذه. نعلم من المعطيات أن الدالة 𝑓 في المتغير 𝑥 تساوي سالب ثلاثة 𝑥 أس تسعة ناقص خمسة والدالة 𝑓 في المتغير 𝑥 زائد ℎ هي هكذا تمامًا، لكن باستخدام 𝑥 زائد ℎ بدلًا من 𝑥. الدالة 𝑓 في المتغير 𝑥 زائد ℎ تساوي سالب ثلاثة في 𝑥 زائد ℎ أس تسعة ناقص خمسة.

وبالتعويض بذلك وكذلك من تعريفنا للدالة 𝑓 في المتغير 𝑥، نحصل على سالب ثلاثة في 𝑥 زائد ℎ أس تسعة ناقص خمسة ناقص، ما بداخل الأقواس، وهو سالب ثلاثة 𝑥 أس تسعة ناقص خمسة الكل مقسومًا على ℎ. ويمكننا التخلص من أحد زوجي الأقواس في البسط؛ ناقص سالب ثلاثة 𝑥 أس تسعة ناقص خمسة يصبح زائد ثلاثة 𝑥 أس تسعة زائد خمسة. ثم نلاحظ أن سالب خمسة وموجب خمسة يلغيان أحدهما الآخر.

والآن، أعتقد أننا جاهزون لإيجاد النهاية. نهاية الطرف الأيسر عندما يقترب ℎ من صفر، حيث الدالة 𝑓 في المتغير 𝑥 زائد ℎ ناقص الدالة 𝑓 في المتغير 𝑥 على ℎ، تساوي نهاية سالب ثلاثة في 𝑥 زائد ℎ أس تسعة زائد ثلاثة 𝑥 أس تسعة على ℎ عندما يقترب ℎ من صفر. يمكننا أن نرى أنه بالتعويض المباشر بـ ℎ يساوي صفرًا في الطرف الأيمن سنحصل على صيغة غير معينة. ولذا، علينا أن نفكر بطريقة أكثر ذكاء ونعيد كتابة هذا الحد.

يمكننا فك 𝑥 زائد ℎ أس تسعة بالاستعانة بنظرية ذات الحدين لنحصل على هذا المقدار الضخم. ويمكننا ملاحظة أن الحدين اللذين ليس بهما ℎ سيلغيان أحدهما الآخر. أصبح لدينا سالب ثلاثة في 𝑥 أس تسعة وزائد ثلاثة في 𝑥 أس تسعة. وجميع الحدود الأخرى بها عامل ℎ، وهو ما يمكننا أخذه خارج زوج الأقواس. والآن نحرك العامل المشترك ℎ إلى خارج زوج الأقواس، ونقلل أس ℎ في كل حد بمقدار واحد. بعد ذلك، يمكننا حذف ℎ من البسط مع ℎ من المقام.

وبالتنظيم، نحصل على كثيرة الحدود هذه التي تتكون من حدود في المتغير 𝑥 وℎ، والتي يمكننا التعويض مباشرة فيها لإيجاد النهاية عندما يقترب ℎ من صفر. وهذا سهل نسبيًا. يوجد حد واحد فقط ليس به ℎ، سالب 27 في 𝑥 أس ثمانية. جميع الحدود الأخرى بها عوامل ℎ، لذا بعد التعويض تصبح صفرًا. وبالتالي تكون النهاية ببساطة هي سالب 27𝑥 أس ثمانية.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.