فيديو السؤال: إيجاد النهايات باستخدام تعريف المشتقة كنهاية الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

إذا كانت الدالة ﺩﺱ تساوي سالب ثلاثة ﺱ أس تسعة ناقص خمسة، فأوجد نهاية الدالة ﺩﺱ زائد ﻫ ناقص الدالة ﺩﺱ على ﻫ عندما يقترب ﻫ من صفر.

قبل أن ننشغل بإيجاد النهاية، لنفكر أولًا في مقدار الدالة ﺩﺱ زائد ﻫ ناقص الدالة ﺩﺱ على ﻫ، وتحديدًا الدالة ﺩﺱ زائد ﻫ هذه. نعلم من المعطيات أن الدالة ﺩﺱ تساوي سالب ثلاثة ﺱ أس تسعة ناقص خمسة والدالة ﺩﺱ زائد ﻫ هي هكذا تمامًا، لكن باستخدام ﺱ زائد ﻫ بدلًا من ﺱ. الدالة ﺩﺱ زائد ﻫ تساوي سالب ثلاثة في ﺱ زائد ﻫ أس تسعة ناقص خمسة.

وبالتعويض بذلك وكذلك من تعريفنا للدالة ﺩﺱ، نحصل على سالب ثلاثة في ﺱ زائد ﻫ أس تسعة ناقص خمسة ناقص، ما بداخل الأقواس، وهو سالب ثلاثة ﺱ أس تسعة ناقص خمسة الكل مقسومًا على ﻫ. ويمكننا التخلص من أحد زوجي الأقواس في البسط؛ ناقص سالب ثلاثة ﺱ أس تسعة ناقص خمسة يصبح زائد ثلاثة ﺱ أس تسعة زائد خمسة. ثم نلاحظ أن سالب خمسة وموجب خمسة يلغيان أحدهما الآخر.

والآن، أعتقد أننا جاهزون لإيجاد النهاية. نهاية الطرف الأيمن عندما يقترب ﻫ من صفر، حيث الدالة ﺩﺱ زائد ﻫ ناقص الدالة ﺩﺱ على ﻫ، تساوي نهاية سالب ثلاثة في ﺱ زائد ﻫ أس تسعة زائد ثلاثة ﺱ أس تسعة على ﻫ عندما يقترب ﻫ من صفر. يمكننا أن نرى أنه بالتعويض المباشر بـ ﻫ يساوي صفرًا في الطرف الأيسر سنحصل على صيغة غير معينة. ولذا، علينا أن نفكر بطريقة أكثر ذكاء ونعيد كتابة هذا الحد.

يمكننا فك ﺱ زائد ﻫ أس تسعة بالاستعانة بنظرية ذات الحدين لنحصل على هذا المقدار الضخم. ويمكننا ملاحظة أن الحدين اللذين ليس بهما ﻫ سيلغيان أحدهما الآخر. أصبح لدينا سالب ثلاثة في ﺱ أس تسعة وزائد ثلاثة في ﺱ أس تسعة. وجميع الحدود الأخرى بها عامل ﻫ، وهو ما يمكننا أخذه خارج زوج الأقواس. والآن نحرك العامل المشترك ﻫ إلى خارج زوج الأقواس، ونقلل أس ﻫ في كل حد بمقدار واحد. بعد ذلك، يمكننا حذف ﻫ من البسط مع ﻫ من المقام.

وبالتنظيم، نحصل على كثيرة الحدود هذه التي تتكون من حدود ﺱ وﻫ، والتي يمكننا التعويض مباشرة فيها لإيجاد النهاية عندما يقترب ﻫ من صفر. وهذا سهل نسبيًا. يوجد حد واحد فقط ليس به ﻫ، سالب ٢٧ في ﺱ أس ثمانية. جميع الحدود الأخرى بها عوامل ﻫ، لذا بعد التعويض تصبح صفرًا. وبالتالي تكون النهاية ببساطة هي سالب ٢٧ﺱ أس ثمانية.