نسخة الفيديو النصية
انظر النقاط ﺃ، ﺏ، ﺟ، في الشكل. اختر المعادلتين البارامتريتين للخط المستقيم الواصل من ﺃ إلى ﺏ. (أ) ﺱ يساوي ﻙ، وﺹ يساوي واحدًا. (ب) ﺱ يساوي صفرًا، وﺹ يساوي ﻙ. (ج) ﺱ يساوي ﻙ، وﺹ يساوي صفرًا. (د) ﺱ يساوي واحدًا، وﺹ يساوي اثنين. (هـ) ﺱ يساوي واحدًا، وﺹ يساوي واحدًا زائد ﻙ. اختر المعادلتين البارامتريتين للخط المستقيم الواصل من ﺏ إلى ﺟ. (أ) ﺱ يساوي ﻙ ناقص ثلاثة، وﺹ يساوي اثنين. (ب) ﺱ يساوي ﻙ زائد واحد، وﺹ يساوي ثلاثة. (ج) ﺱ يساوي اثنين، وﺹ يساوي ﻙ ناقص ثلاثة. (د) ﺱ يساوي ثلاثة، وﺹ يساوي ﻙ ناقص اثنين. (هـ) ﺱ يساوي اثنين، وﺹ يساوي ثلاثة. اختر المعادلتين البارامتريتين للخط المستقيم الواصل من ﺃ إلى ﺟ. (أ) ﺱ يساوي اثنين ﻙ زائد واحد، وﺹ يساوي اثنين ﻙ زائد واحد. (ب) ﺱ يساوي ﻙ ناقص ثلاثة، وﺹ يساوي اثنين. (ج) ﺱ يساوي اثنين ﻙ ناقص واحد، وﺹ يساوي ثلاثة ﻙ ناقص واحد. (د) ﺱ يساوي اثنين، وﺹ يساوي ﻙ ناقص اثنين. (هـ) ﺱ يساوي اثنين، وﺹ يساوي اثنين.
في هذا السؤال، لدينا شبكة إحداثية وثلاث نقاط تقع على هذه الشبكة، وهي ﺃ ،ﺏ، ﺟ. علينا استخدام هذا الشكل لتحديد المعادلتين البارامتريتين لكل خط من الخطوط المستقيمة الثلاثة الواصلة بين أزواج النقاط الموضحة على الشكل.
هناك طرق مختلفة لفعل ذلك. دعونا نبدأ بتذكر ما نعنيه بالمعادلتين البارامتريتين لخط مستقيم. إنهما معادلتان على الصورة ﺱ يساوي ﺃ في ﻙ زائد ﺱ واحد، وﺹ يساوي ﺏ في ﻙ زائد ﺹ واحد. نتذكر هنا أنه يمكننا اختيار أي نقطة ﺱ واحد، ﺹ واحد تقع على الخط المستقيم، وأي متجه غير صفري ﺃ، ﺏ مواز للخط المستقيم. وهكذا سنحصل على معادلتين بارامتريتين مكافئتين للخط المستقيم. على سبيل المثال، بالنسبة للخط المستقيم الواصل بين ﺃ وﺏ، نعلم أن كلا النقطتين ﺃ وﺏ تقعان على الخط المستقيم. إذن، يمكننا اختيار أي من هاتين النقطتين لنحصل على القيمتين ﺱ واحد وﺹ واحد، أو يمكننا اختيار أي نقطة تقع على هذا الخط المستقيم.
لكن بدلًا من اختيار هذه النقطة، دعونا نوجد متجهًا غير صفري موازيًا للخط المستقيم الواصل بين ﺃ وﺏ. يمكننا فعل ذلك بطريقتين مختلفتين. إما بملاحظة أن المتجه من ﺃ إلى ﺏ يوازي الخط المستقيم لدينا، ويمكننا حساب المتجه من ﺃ إلى ﺏ بطرح متجه الموضع لـ ﺃ من متجه الموضع لـ ﺏ، وإما بإيجاد مركبتي هذا المتجه مباشرة من الشكل. نلاحظ أن هذا الخط المستقيم رأسي، ومن ثم ليس له مركبة أفقية، ونلاحظ أيضًا أننا نتحرك بمقدار وحدتين لأعلى. وفي كلتا الحالتين، نلاحظ أن المتجه من ﺃ إلى ﺏ هو المتجه صفر، اثنين. لكن علينا تذكر أنه يمكننا اختيار أي متجه غير صفري يوازي الخط المستقيم ليمثل المتجه ﺃ، ﺏ لدينا.
إذن، بدلًا من اختيار المتجه صفر، اثنان، دعونا نختر المتجه صفرًا، واحدًا. قيمة ﺃ ستساوي صفرًا، وقيمة ﺏ ستساوي واحدًا. وهذا يماثل تمامًا ملاحظة أن الخط المستقيم لدينا رأسي، ومن ثم فإنه يوازي متجه الوحدة ﺹ. إذا عوضنا عن ﺃ بصفر، وعن ﺏ بواحد في المعادلتين البارامتريتين لدينا، فسنجد أن ﺱ يساوي ﺱ واحد، وﺹ يساوي ﻙ زائد ﺹ واحد. ومن ثم، يمكننا استبعاد جميع الخيارات التي لا تتضمن ﺱ يساوي قيمة ثابتة معينة. هذا لأن هذه الخيارات لن تمثل خطوطًا رأسية. علينا هنا تذكر أن ﻙ كمية قياسية. وهذا يعني أنه يمكن أن يأخذ العديد من القيم. وعليه، الخياران (أ) و(ج) غير صحيحين.
بعد ذلك، علينا تذكر أن قيمة ﺹ يمكن أن تتغير؛ لأن الخط الذي لدينا هنا رأسي، ومن ثم لا يمكن لمعامل ﻙ أن يساوي صفرًا في معادلة المتغير ﺹ. قيم ﺹ لا يمكن أن تكون ثابتة، ومن ثم، الخيار (د) لا يمكن أن يكون صحيحًا. بذلك، يتبقى لدينا خياران فقط، ويمكننا إثبات أن الخيار (ب) لا يمكن أن يكون الإجابة الصحيحة. ولكي نفعل ذلك، دعونا ننظر إلى القيمتين ﺱ واحد، ﺹ واحد في الخيار (ب). قيمة ﺱ واحد تساوي صفرًا، وقيمة ﺹ واحد تساوي صفرًا أيضًا. لذا، فإن النقطة التي إحداثياتها صفر، صفر، يجب أن تقع على الخط المستقيم الذي تمثله المعادلتان البارامتريتان المعطاتان في الخيار (ب). لكن يمكننا ملاحظة أن الخط الرأسي لدينا لا يمر بنقطة الأصل؛ لذا لا يمكن أن تكون هذه هي الإجابة الصحيحة.
بدلًا عن ذلك، دعونا نختر النقطة ﺃ التي إحداثياتها واحد، واحد لتكون النقطة ﺱ واحد، ﺹ واحد. هذا يعني أنه في المعادلتين البارامتريتين لدينا سنعوض عن ﺃ بصفر، وعن ﺏ بواحد، وعن ﺱ واحد بواحد، وعن ﺹ واحد بواحد. نحصل على ﺱ يساوي واحدًا وﺹ يساوي واحدًا زائد ﻙ، وهذا هو الخيار (هـ). دعونا الآن نفرغ بعض المساحة ونتبع خطوات مشابهة لتحديد المعادلتين البارامتريتين للخط المار بالنقطتين ﺏ وﺟ. هذه المرة، يمكننا أن نلاحظ من الشكل أن الخط الواصل بين ﺏ وﺟ هو خط أفقي.
مرة أخرى، يمكننا اختيار النقطة ﺏ أو النقطة ﺟ أو أي نقطة تقع على هذا الخط المستقيم؛ لتكون النقطة التي إحداثياتها ﺱ واحد، ﺹ واحد. ويمكننا إيجاد متجه مواز للخط المستقيم بعدة طرق مختلفة. فمثلًا يمكننا إيجاد المتجه من ﺏ إلى ﺟ، أو يمكننا ملاحظة أن هذا الخط أفقي، ما يعني أنه مواز لمتجه الوحدة ﺱ. بعبارة أخرى، إنه مواز للمتجه واحد، صفر.
إذن، سنجعل قيمة ﺃ تساوي واحدًا، وقيمة ﺏ تساوي صفرًا. وبما أن قيمة ﺏ تساوي صفرًا، فيمكننا ملاحظة أنه في المعادلتين البارامتريتين لدينا، قيمة ﺹ يجب أن تكون ثابتة. ومن ثم، الخياران (ج) و(د) غير صحيحين. يمكننا أيضًا ملاحظة أن الخيار (هـ) غير صحيح؛ لأنه يوضح أن ﺱ قيمة ثابتة. وفي الواقع، يوجد حل واحد فقط لهاتين المعادلتين البارامتريتين. وهو النقطة الوحيدة التي إحداثياتها اثنان، ثلاثة. يعني هذا أن الخط ليس أفقيًّا.
وعليه تتبقى إجابتان محتملتان. لتحديد أيهما تمثل المعادلتين الممكنتين للخط المستقيم الواصل بين ﺏ وﺟ، علينا إيجاد إحداثيات النقطة ﺱ واحد، ﺹ واحد. ويمكننا فعل ذلك بملاحظة أن الإحداثي ﺹ لكل نقطة على الخط المستقيم لدينا يساوي ثلاثة. في الخيار (أ)، يمكننا ملاحظة أن قيمة ﺹ ثابتة. وهذه القيمة الثابتة تساوي اثنين. إذن هاتان المعادلتان هما المعادلتان البارامتريتان للخط الأفقي ﺹ يساوي اثنين. لكننا نريد الخط الأفقي ﺹ يساوي ثلاثة. إذن، الخيار (أ) ليس الإجابة الصحيحة؛ لأن ﺹ يجب أن يساوي القيمة الثابتة ثلاثة، وهي معطاة في الخيار (ب). ورغم أنه ليس من الضروري إثبات أن هذه هي الإجابة الصحيحة، فيمكننا ملاحظة أن النقطة المختارة لـ ﺱ واحد، ﺹ واحد في هاتين المعادلتين البارامتريتين هي واحد، ثلاثة، أي النقطة ﺏ.
ومن ثم، بالتعويض عن ﺃ بواحد، وعن ﺏ بصفر، وعن ﺱ واحد بواحد، وعن ﺹ واحد بثلاثة في المعادلتين البارامتريتين، تمكنا من إثبات أن المعادلتين البارامتريتين للخط المستقيم الواصل بين ﺏ وﺟ هما ﺱ يساوي ﻙ زائد واحد، وﺹ يساوي ثلاثة، أي الخيار (ب).
والآن دعونا نفعل ذلك مرة أخيرة مع الخط المستقيم الواصل بين ﺃ وﺟ. هيا نبدأ بإيجاد متجه مواز لهذا الخط المستقيم. يمكننا فعل ذلك من الشكل. لكن بصفة عامة، علينا استخدام حقيقة أن المتجه من ﺃ إلى ﺟ يساوي متجه الموضع لـ ﺟ ناقص متجه الموضع لـ ﺃ. ويمكننا تذكر أن مركبات متجه الموضع لأي نقطة تساوي إحداثيات هذه النقطة. إذن، متجه الموضع لـ ﺟ هو المتجه ثلاثة، ثلاثة. ومتجه الموضع لـ ﺃ هو المتجه واحد، واحد، بما أن إحداثيات ﺟ هي ثلاثة، ثلاثة، وإحداثيات ﺃ هي واحد، واحد.
والآن، نوجد المتجه الناتج من طرح المتجهين. ويمكن فعل ذلك من خلال طرح كل مركبتين متناظرتين. نحصل على المتجه ثلاثة ناقص واحد، ثلاثة ناقص واحد، الذي نجد أنه يساوي المتجه اثنين، اثنين. وهذا يماثل القول إن التحرك بمقدار وحدتين في اتجاه اليمين، يقابله التحرك بمقدار وحدتين لأعلى. ويمكننا ملاحظة ذلك في الشكل.
يمكننا هنا استخدام المنطق نفسه الذي استخدمناه من قبل لإعادة كتابة ذلك على صورة المتجه واحد، واحد للمعادلتين البارامتريتين لدينا. لكن، إذا نظرنا إلى الخيارات الخمسة المعطاة، فيمكننا ملاحظة أنه في جميع هذه الخيارات، لا يساوي كلا معاملي ﻙ في المعادلتين واحدًا. ففي الخيار (أ)، كل من هذين المعاملين يساوي اثنين. وفي الخيار (ب)، المعامل في معادلة المتغير ﺹ يساوي صفرًا. أما في الخيار (ج)، فمعاملا ﻙ يساويان اثنين وثلاثة. وفي الخيار (د)، معامل ﻙ في معادلة المتغير ﺱ يساوي صفرًا. وفي الخيار (هـ)، معاملا ﻙ في كلتا المعادلتين يساويان صفرًا.
إذن، المعادلة الوحيدة التي يتساوى فيها معاملا ﻙ هي التي يمثلها الخيار (أ). وهذا كاف لاستبعاد الخيارات الأربعة الأخرى المعطاة؛ لأن علينا تذكر أن المتجه ﺃ، ﺏ يجب أن يكون موازيًا للخط المستقيم المعطى. كما أن علينا أيضًا تذكر أن هذا لا يمكن أن يكون المتجه الصفري. إذن، قيمتا ﺃ وﺏ متساويتان، وكل منهما لا يساوي صفرًا. وهذا ينطبق فقط على الخيار (أ). لمزيد من التأكد، يمكننا أيضًا التحقق من قيمة النقطة ﺱ واحد، ﺹ واحد. وهي النقطة التي إحداثياتها واحد، واحد، ويمكننا ملاحظة أنها النقطة ﺃ.
إذن، إذا عوضنا في المعادلتين البارامتريتين لدينا عن ﺃ باثنين، وعن ﺏ باثنين، وعن ﺱ واحد بواحد، وعن ﺹ واحد بواحد، فإننا نحصل على ﺱ يساوي اثنين ﻙ زائد واحد، وﺹ يساوي اثنين ﻙ زائد واحد، ونلاحظ أن هذا ينطبق على الخيار (أ).
