فيديو: نظرية فيثاغورس

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نستخدم نظرية فيثاغورس لإيجاد طول الوتر أو أحد ضلعي الزاوية القائمة في المثلث القائم الزاوية ومساحته.

١٧:٥٨

‏نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نستخدم النظرية الفيثاغورية أو نظرية فيثاغورس لإيجاد أطوال أضلاع المثلثات القائمة الزاوية. وهذا مفيد للغاية نظرًا إلى إمكانية استخدام المثلثات القائمة الزاوية لتمثيل كثير من السيناريوهات الواقعية المختلفة. وعادة ما تكون هذه المثلثات مرتبطة بالمسائل التي تتضمن إيجاد المساحة. نظرية فيثاغورس هي واحدة من النظريات الشهيرة في الرياضيات. ويتذكر معظم الناس اسمها من أيام دراستهم، حتى إذا لم يعد بمقدورهم تذكر ما تنص عليه النظرية بالفعل.

حسنًا على ماذا تنص نظرية فيثاغورس؟ تتمحور نظرية فيثاغورس حول العلاقة الخاصة الموجودة بين أطوال الأضلاع الثلاثة في المثلث القائم الزاوية، وهو مثلث يحتوي على زاوية قائمة. تذكر أننا نطلق على الضلع الأطول في المثلث القائم الزاوية اسم «الوتر»، وهو دائمًا الضلع المقابل للزاوية القائمة مباشرة. وتنص نظرية فيثاغورس على الآتي.

في المثلث القائم الزاوية، يكون مجموع مربعي طولي الضلعين القصيرين مساويًا لمربع طول الوتر. ونستخدم عادة الحرفين ‪𝑎‬‏ و‪𝑏‬‏ للتعبير عن الساقين أو الضلعين القصيرين في المثلث القائم الزاوية. ونستخدم الحرف ‪𝑐‬‏ للتعبير عن الوتر، وبهذا يمكن التعبير عن نظرية فيثاغورس بالصيغة ‪𝑎‬‏ تربيع زائد ‪𝑏‬‏ تربيع يساوي ‪𝑐‬‏ تربيع. لكن من الضروري تذكر نص النظرية نفسها، وليس فقط معرفة هذه المعادلة.

عند التعبير عن النظرية بالرسم، نجد أنها تخبرنا بأنه إذا رسمنا مربعًا على كل ضلع من أضلاع المثلث القائم الزاوية، فسنجد أن مجموع مساحتي المربعين الصغيرين يساوي مساحة المربع الأكبر. والمربع الأكبر هو المرسوم على الوتر. هناك العديد من الطرق لإثبات نظرية فيثاغورس، لكن إحدى أفضل هذه الطرق في رأيي هي طريقة تعرف باسم طريقة بيريجال للتقسيم. لن نخوض في تفاصيلها هنا. لكنها تتضمن تقطيع المربعين الصغيرين إلى أجزاء أصغر، وإعادة ترتيب الأجزاء بحيث تملأ المساحة تمامًا داخل المربع الأكبر، كما ترى هنا في الشكل. يمكنك تجربة هذه الطريقة بنفسك إذا رغبت عن طريق إعادة تجميع هذا الشكل على قطعة من الورق.

دعونا الآن نستعرض بعض الأمثلة حول كيفية تطبيق نظرية فيثاغورس. سنبدأ بتناول مثال على كيفية استخدام النظرية لإيجاد طول الوتر في مثلث قائم الزاوية.

أوجد قيمة ‪𝑥‬‏ في المثلث القائم الزاوية الموضح.

بالنظر إلى المعلومات المعطاة، سنلاحظ أولًا أن هذا المثلث مثلث قائم الزاوية. فهو يحتوي على زاوية قائمة. ولدينا في المعطيات طولا ضلعين فيه. وهما ثماني وحدات و‪15‬‏ وحدة. ‏‏‪𝑥‬‏ يمثل طول الضلع الثالث لهذا المثلث القائم الزاوية. وبالنظر إلى موضعه، الموجود مباشرة أمام الزاوية القائمة، نستنتج أن ‪𝑥‬‏ هو وتر هذا المثلث. وبما أننا نعرف طولي ضلعين من المثلث القائم الزاوية، ونريد حساب طول الضلع الثالث، فسنجد أن هذه مسألة مثالية لتطبيق نظرية فيثاغورس.

وهي تنص على أنه في المثلث القائم الزاوية، يكون مجموع مربعي طولي الضلعين القصيرين مساويًا لمربع طول الوتر. لهذا سنبدأ بكتابة ما تخبرنا به نظرية فيثاغورس في ضوء معطيات هذا المثلث تحديدًا. طولا الضلعين القصيرين ثماني وحدات و‪15‬‏ وحدة. إذن، فإن مجموع مربعي طولي الضلعين القصيرين يساوي ثمانية تربيع زائد ‪15‬‏ تربيع. وهذا يساوي مربع طول الوتر. ولأن وتر المثلث هنا هو ‪𝑥‬‏، نحصل على المعادلة ثمانية تربيع زائد ‪15‬‏ تربيع يساوي ‪𝑥‬‏ تربيع.

إذن، بالنظر إلى ما تخبرنا به نظرية فيثاغورس في ضوء معطيات هذا المثلث تحديدًا، حصلنا على معادلة يمكننا حلها لنحدد قيمة ‪𝑥‬‏. ربما ترغب في تبديل طرفي المعادلة؛ بحيث تصبح ‪𝑥‬‏ في الطرف الأيسر، لكن ذلك ليس ضروريًا على الإطلاق. والآن بما أننا قمنا بصياغة معادلتنا، فسنحلها عن طريق حساب قيمة ثمانية تربيع زائد ‪15‬‏ تربيع أولًا. هذا يعطينا ‪𝑥‬‏ تربيع يساوي ‪64‬‏ زائد ‪225‬‏، ما يمكن تبسيطه إلى ‪𝑥‬‏ تربيع يساوي ‪289‬‏.

الخطوة التالية في حل هذه المعادلة هي أخذ الجذر التربيعي للطرفين، لأن الجذر التربيعي لـ ‪𝑥‬‏ تربيع سيعطينا ‪𝑥‬‏. عادة، عندما نحل معادلة عن طريق أخذ الجذر التربيعي، علينا ألا ننسى أن الجذر التربيعي موجب أو سالب. لكن ‪𝑥‬‏ هنا له دلالة عملية؛ فهو يمثل طول أحد أضلاع المثلث. لذلك، لا بد أن يكون ذا قيمة موجبة. ولهذا نكتب أن ‪𝑥‬‏ يساوي الجذر التربيعي الموجب لـ ‪289‬‏. وفي الحقيقة فإن ‪289‬‏ عدد مربع، وجذره التربيعي هو ‪17‬‏. وبهذا نكون قد أوجدنا قيمة ‪𝑥‏‬‏. ‏‏‪𝑥‬‏ يساوي ‪17‬‏.

علينا دائمًا التحقق من أن إجابتنا منطقية؛ عن طريق مقارنة القيمة التي أوجدناها بطولي الضلعين الآخرين في المثلث. تذكر أن ‪𝑥‬‏ يمثل الوتر، وهو أطول ضلع في هذا المثلث القائم الزاوية. لذلك، يجب أن تكون قيمة ‪𝑥‬‏ أكبر من طولي الضلعين الآخرين. القيمة التي أوجدناها هي ‪17‬‏، وقيمتا الضلعين الآخرين هما ‪15‬‏ وثمانية. إذن، إجابتنا منطقية بالفعل.

حسنًا، يعد هذا المثلث في الواقع مثالًا على نوع خاص من المثلثات القائمة الزاوية، يسمى ثلاثية فيثاغورس. فهذا مثلث قائم الزاوية تكون أطوال أضلاعه الثلاثة أعدادًا صحيحة. أشهر ثلاثية من ثلاثيات فيثاغورس هي مثلث أطوال أضلاعه ثلاثة وأربعة وخمسة، حيث ثلاثة تربيع زائد أربعة تربيع يساوي خمسة تربيع. ربما تصادف ثلاثيات فيثاغورس عند حل المسائل دون استخدام الآلة الحاسبة. لذلك، من الجيد أن تكون على دراية بأكثر الثلاثيات شيوعًا. حسنًا، بتطبيق نظرية فيثاغورس، وجدنا أن قيمة ‪𝑥‬‏ في المثلث القائم الزاوية الموضح تساوي ‪17‬‏.

في المثال التالي، سنتعلم كيف نطبق نظرية فيثاغورس لإيجاد طول أحد الضلعين القصيرين في مثلث قائم الزاوية.

أوجد قيمة ‪𝑥‬‏ في المثلث القائم الزاوية الموضح.

حسنًا، لدينا هنا مثلث قائم الزاوية. والمطلوب هو إيجاد قيمة ‪𝑥‬‏، التي تمثل طول أحد أضلاع المثلث. ولدينا في المعطيات طولا الضلعين الآخرين. إذن، لدينا هنا المعطيات الكافية لتطبيق نظرية فيثاغورس. وهي تنص على أنه في المثلث القائم الزاوية، يكون مجموع مربعي طولي الضلعين القصيرين مساويًا لمربع طول الوتر. الآن، وقبل تطبيق نظرية فيثاغورس، يجب الحرص على التأكد من تحديد أي من الأضلاع هو الوتر. وتذكر أن الوتر دائمًا هو الضلع المقابل للزاوية القائمة مباشرة. إذن في هذه الحالة، طول وتر المثلث يساوي ‪13‬‏ وحدة.

والضلع المطلوب إيجاد طوله، أي طول ‪𝑥‬‏، هو أحد الساقين أو الضلعين القصيرين في هذا المثلث القائم الزاوية. إذن، أول خطوة نقوم بها هي كتابة ما تخبرنا به نظرية فيثاغورس في ضوء معطيات هذا المثلث تحديدًا. الضلعان القصيران هما ‪𝑥‬‏ و‪12‬‏. إذن، مجموع مربعي طوليهما سيكون ‪𝑥‬‏ تربيع زائد ‪12‬‏ تربيع. وطول وتر المثلث يساوي ‪13‬‏ وحدة. بالتالي، إذا كان مجموع مربعي طولي الضلعين القصيرين يساوي مربع طول الوتر، تكون لدينا المعادلة ‪𝑥‬‏ تربيع زائد ‪12‬‏ تربيع يساوي ‪13‬‏ تربيع.

والآن بما أننا قمنا بصياغة المعادلة، فسنحلها لإيجاد قيمة ‪𝑥‬‏. أولًا، سنحسب قيمة ‪12‬‏ تربيع و‪13‬‏ تربيع، ما يعطينا ‪𝑥‬‏ تربيع زائد ‪144‬‏ يساوي ‪169‬‏. نريد مبدئيًا عزل ‪𝑥‬‏ أو ‪𝑥‬‏ تربيع في الطرف الأيسر من المعادلة. إذن، الخطوة التالية هي طرح ‪144‬‏ من كلا الطرفين. في الطرف الأيسر، ‪𝑥‬‏ تربيع زائد ‪144‬‏ ناقص ‪144‬‏، ما يعطينا ‪𝑥‬‏ تربيع فقط. وفي الطرف الأيمن، ‪169‬‏ ناقص ‪144‬‏ يساوي ‪25‬‏.

الخطوة الأخيرة هي أخذ الجذر التربيعي لطرفي المعادلة، مع العلم بأننا نحتاج فقط إلى الجذر التربيعي الموجب؛ لأن ‪𝑥‬‏ يعبر عن طول. ولهذا يجب أن تكون قيمته موجبة. لذلك فإن ‪𝑥‬‏ يساوي الجذر التربيعي لـ ‪25‬‏. وبما أن ‪25‬‏ عدد مربع، فإن جذره التربيعي هو عدد صحيح؛ وهو ببساطة خمسة. بهذا نكون قد أوجدنا قيمة ‪𝑥‬‏. ‏‏‪𝑥‬‏ يساوي خمسة. في الحقيقة، هذا المثلث هو مثال على إحدى ثلاثيات فيثاغورس. فهو مثلث قائم الزاوية أطوال أضلاعه الثلاثة أعداد صحيحة.

يجب علينا أيضًا التحقق من إجابتنا. وتذكر أننا أردنا حساب طول أحد الضلعين القصيرين في هذا المثلث. لذلك، فإن قيمة ‪𝑥‬‏ يجب أن تكون أقل من طول الوتر المعطى. وخمسة بالتأكيد أقل من ‪13‬‏. إذن، إجابتنا منطقية. إذن بتطبيق نظرية فيثاغورس، نكون قد أوجدنا حل هذه المسألة. قيمة ‪𝑥‬‏ هي خمسة. وعلينا أن نكون حريصين للغاية عند كتابة المعادلة. كما يجب أن نتأكد قبل بدء الحل مما إذا كان المطلوب هو حساب طول أحد الضلعين القصيرين أم طول الوتر.

لقد تناولنا حتى الآن مثالًا واحدًا على حساب طول الوتر، ومثالًا آخر على حساب طول أحد الضلعين القصيرين. نظرية فيثاغورس مفيدة للغاية، لأنها تساعدنا في حل العديد من المسائل العملية المختلفة. سنستعرض الآن مثالين مع التركيز بشكل أكبر على حل المسائل العملية.

أوجد طول قطر المستطيل الذي طوله ‪48‬‏ سنتيمترًا وعرضه ‪20‬‏ سنتيمترًا.

في هذه المسألة، ليس لدينا شكل معطى. لذلك، من الجيد دائمًا البدء برسم الشكل بنفسك. لدينا مستطيل طوله ‪48‬‏ سنتيمترًا وعرضه ‪20‬‏ سنتيمترًا. الطول المطلوب منا حسابه هو طول قطر هذا المستطيل. وهو الخط الواصل بين ركنين متقابلين. يمكننا استخدام الحرف ‪𝑑‬‏ للتعبير عن هذا الطول المجهول. نحن نعلم أن قياس جميع الزوايا الداخلية في المستطيل هو ‪90‬‏ درجة. حسنًا، هذه المسألة ليست متعلقة بالمستطيل فقط. فهي أيضًا متعلقة بالمثلث القائم الزاوية، وهو هنا المثلث المكون من طول المستطيل وعرضه وهذا القطر.

وبالنظر إلى المثلث السفلي في هذا الشكل، سنجد أن لدينا طولي ضلعين من أضلاعه، وهما ‪20‬‏ سنتيمترًا و‪48‬‏ سنتيمترًا، والمطلوب هو حساب طول الضلع الثالث. ولأن هذا المثلث قائم الزاوية، فسنتمكن من فعل ذلك عن طريق تطبيق نظرية فيثاغورس. وهي تنص على أنه في المثلث القائم الزاوية، يكون مجموع مربعي طولي الضلعين القصيرين مساويًا لمربع طول الوتر. وقبل أن نحاول تطبيق نظرية فيثاغورس، علينا تحديد الضلع المطلوب حساب طوله من بين أضلاع المثلث الثلاثة. تذكر أن الوتر هو دائمًا الضلع المقابل للزاوية القائمة مباشرة. إذن، الضلع المطلوب حسابه هو وتر المثلث.

وهنا نسأل أنفسنا: على ماذا تنص نظرية فيثاغورس، ليس فقط في العموم، لكن في ضوء معطيات هذا المثلث تحديدًا؟ حسنًا، بما أن طولي الضلعين القصيرين هما ‪48‬‏ و‪20‬‏ سنتيمترًا، فإن مجموع مربعي طوليهما يساوي ‪48‬‏ تربيع زائد ‪20‬‏ تربيع. ومربع طول الوتر يساوي ‪𝑑‬‏ تربيع. بهذا نحصل على المعادلة ‪48‬‏ تربيع زائد ‪20‬‏ تربيع يساوي ‪𝑑‬‏ تربيع. وبالطبع يمكننا تبديل طرفي المعادلة إذا أردنا أن يكون ‪𝑑‬‏ تربيع في الطرف الأيسر. حسنًا، بتطبيق نظرية فيثاغورس استطعنا تكوين معادلة، ويمكننا الآن حلها لحساب قيمة ‪𝑑‬‏.

أولًا، سنحسب قيمة ‪48‬‏ تربيع و‪20‬‏ تربيع، ثم سنجمع هاتين القيمتين معًا لنحصل على أن ‪𝑑‬‏ تربيع يساوي ‪2704‬‏. الخطوة الأخيرة في حل هذه المعادلة هي أخذ الجذر التربيعي لطرفي المعادلة، وذلك يعطينا أن ‪𝑑‬‏ يساوي الجذر التربيعي لـ ‪2704‬‏. والآن، في الواقع فإن ‪2704‬‏ عدد مربع، بالرغم من أنه قد لا يكون مألوفًا بالنسبة لك. وجذره التربيعي يساوي ‪52‬‏ ببساطة. بهذا، نحصل على ‪𝑑‬‏ يساوي ‪52‬‏. إذن طول قطر هذا المستطيل يساوي ‪52‬‏ سنتيمترًا.

الآن، علينا التحقق سريعًا من إجابتنا. تذكر أن ‪𝑑‬‏ هو وتر هذا المثلث. ومن المفترض أن يكون أطول ضلع في المثلث. لهذا علينا التأكد مما إذا كانت القيمة الناتجة منطقية. حسنًا، ‪52‬‏ أكبر بالتأكيد من طول كل ضلع من الضلعين الآخرين. إذن، هذه قيمة منطقية لوتر هذا المثلث. بذلك نكون أكملنا حل المسألة. الخطوة الرئيسية في حل هذه المسألة كانت رسم الشكل بأنفسنا. فبمجرد رسمه، رأينا أن المسألة لم تكن متعلقة فقط بالمستطيلات. بل كانت متعلقة بالمثلثات القائمة الزاوية. ومن هنا، استطعنا حلها بتطبيق نظرية فيثاغورس.

لنتناول الآن مثالًا أخيرًا يتضمن نقاطًا ممثلة على شبكة إحداثية.

مثلث رءوسه عند النقاط ‪𝐴‬‏ أربعة، واحد؛ ‪𝐵‬‏ ستة، اثنين؛ ‪𝐶‬‏ اثنين، خمسة. احسب أطوال أضلاع المثلث. اكتب الإجابة على صورة جذور صماء في أبسط صورة. وثانيًا، هل المثلث قائم الزاوية؟

لنبدأ الحل بتمثيل هذا المثلث على شبكة إحداثية. ولا نحتاج مطلقًا إلى تمثيل هذا المثلث بدقة. فنحن لن نقيس أطوال أي خط من الخطوط. كل ما نريده هو رسم المثلث سريعًا بالاستعانة بالموضع التقريبي لهذه النقاط الثلاث بالنسبة بعضها إلى بعض.

إذن، سنجد أن المثلث يبدو بهذا الشكل. وبالنظر إلى الرسم، فهناك احتمال أن يكون المثلث قائم الزاوية، وزاويته القائمة هي ‪𝐴‬‏. لكن لا يمكننا التأكد من ذلك من الرسم. لنفكر في الجزء الأول من السؤال. علينا إيجاد أطوال الأضلاع الثلاثة للمثلث. وسنبدأ بإيجاد طول الضلع ‪𝐴𝐵‬‏.

يمكننا رسم مثلث قائم الزاوية أسفل هذا الخط جاعلين ‪𝐴𝐵‬‏ وترًا لهذا المثلث. كما يمكننا إيجاد طولي الضلعين الآخرين في هذا المثلث. طول الضلع الأفقي سيساوي الفرق بين قيمتي ‪𝑥‬‏ عند طرفيه. وهو الفرق بين ستة وأربعة، ويساوي اثنين. وطول الضلع الرأسي سيساوي الفرق بين قيمتي ‪𝑦‬‏ عند طرفيه. وهو الفرق بين اثنين وواحد، ويساوي واحدًا.

وبما أن لدينا الآن طولي ضلعين في مثلث قائم الزاوية ونريد حساب طول الضلع الثالث، يمكننا تطبيق نظرية فيثاغورس التي تنص على أنه في المثلث القائم الزاوية، يكون مجموع مربعي طولي الضلعين القصيرين مساويًا لمربع طول الوتر. تذكر أن الضلع ‪𝐴𝐵‬‏ هو الوتر. إذن، لدينا ‪𝐴𝐵‬‏ تربيع يساوي واحدًا تربيع زائد اثنين تربيع. واحد تربيع يساوي واحدًا، واثنان تربيع يساوي أربعة. إذن، بجمع هاتين القيمتين معًا، نحصل على ‪𝐴𝐵‬‏ تربيع يساوي خمسة.

لإيجاد طول ‪𝐴𝐵‬‏، علينا أخذ الجذر التربيعي لطرفي هذه المعادلة. وتذكر في هذه المرحلة أن علينا إيجاد الحل على صورة جذر أصم. حسنًا، يصبح لدينا ‪𝐴𝐵‬‏ يساوي الجذر التربيعي لخمسة. يمكننا إيجاد طولي الضلعين الآخرين للمثلث بالطريقة نفسها. فنرسم مثلثًا قائم الزاوية أسفل الضلع ‪𝐵𝐶‬‏. ونجد أن المثلث له ضلع أفقي طوله أربع وحدات، وضلع رأسي طوله ثلاث وحدات.

والضلع ‪𝐵𝐶‬‏ هو وتر هذا المثلث. إذن، بتطبيق نظرية فيثاغورس، نحصل على ‪𝐵𝐶‬‏ تربيع يساوي ثلاثة تربيع زائد أربعة تربيع. وهذا يساوي تسعة زائد ‪16‬‏، ما يعطينا ‪25‬‏. بالتالي، سنجد أن ‪𝐵𝐶‬‏ يساوي الجذر التربيعي لـ ‪25‬‏، وهو ببساطة العدد الصحيح خمسة. بالطريقة نفسها، سنجد أن الضلع ‪𝐴𝐶‬‏ هو وتر مثلث قائم الزاوية له ضلعان قصيران طولاهما وحدتان وأربع وحدات. بالتالي، ‪𝐴𝐶‬‏ يساوي الجذر التربيعي لـ ‪20‬‏، ما يمكن تبسيطه إلى اثنين جذر خمسة.

وبذلك نكون قد أجبنا عن الجزء الأول من السؤال. الآن علينا تحديد ما إذا كان هذا المثلث قائم الزاوية أم لا. حسنًا، إذا كان قائم الزاوية، فستنطبق نظرية فيثاغورس على أطوال أضلاعه الثلاثة. الآن نحن نفترض أن الزاوية القائمة هي ‪𝐴‬‏، وهذا يجعل الضلع ‪𝐵𝐶‬‏ وتر المثلث إذا كان المثلث قائم الزاوية بالفعل.

وبالتالي، نريد معرفة ما إذا كان ‪𝐵𝐶‬‏ تربيع يساوي ‪𝐴𝐵‬‏ تربيع زائد ‪𝐴𝐶‬‏ تربيع. حسنًا، يمكننا في الواقع استخدام مربعات أطوال الأضلاع. نحن نعلم أن ‪𝐵𝐶‬‏ تربيع يساوي ‪25‬‏. ونعلم أن ‪𝐴𝐵‬‏ تربيع يساوي خمسة. ونعلم أن ‪𝐴𝐶‬‏ تربيع يساوي ‪20‬‏. إذن، هل صحيح أن ‪25‬‏ يساوي خمسة زائد ‪20‬‏؟ نعم، بالطبع هذا صحيح، وهذا يعني أن نظرية فيثاغورس تنطبق على هذا المثلث. وبالتالي، فهو مثلث قائم الزاوية بالفعل. بذلك نكون أكملنا حل المسألة. أوجدنا أطوال الأضلاع الثلاثة. ‏‏‪𝐴𝐵‬‏ يساوي جذر خمسة، و‪𝐵𝐶‬‏ يساوي خمسة، و‪𝐴𝐶‬‏ يساوي اثنين جذر خمسة. ووصلنا إلى أن هذا المثلث قائم الزاوية.

دعونا الآن نلخص ما تناولناه في هذا الفيديو. تنص نظرية فيثاغورس على أنه في المثلث القائم الزاوية يكون مجموع مربعي طولي الضلعين القصيرين مساويًا لمربع طول الوتر، ونعبر عن ذلك عادة بالصيغة ‪𝑎‬‏ تربيع زائد ‪𝑏‬‏ تربيع يساوي ‪𝑐‬‏ تربيع. ويجب أن تكون الخطوة الأولى عند حل أي مسألة هي كتابة ما تخبرنا به نظرية فيثاغورس في ضوء معطيات المثلث المحدد في المسألة. وهذا يعني أننا نكتب معادلة. بعدها، نحل المعادلة بما يتضمن أخذ الجذر التربيعي لطرفيها. وأخيرًا، علينا دائمًا التحقق من إجابتنا عن طريق التأكد من أن القيمة التي حسبناها منطقية مقارنة بطولي الضلعين الآخرين.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.