فيديو السؤال: عزم قوة حول نقطة في بعدين الرياضيات

في الشكل الآتي، أوجد مقدار عزم القوة ١١٥ نيوتن حول نقطة الأصل ﻭ، وقرب الناتج لأقرب منزلتين عشريتين.

٠٥:٠٣

‏نسخة الفيديو النصية

في الشكل الآتي، أوجد مقدار عزم القوة ١١٥ نيوتن حول نقطة الأصل ﻭ، وقرب الناتج لأقرب منزلتين عشريتين.

تذكر أن عزم القوة هو قياس إمكانيتها لإحداث دوران للجسم الذي تؤثر عليه حول نقطة معينة. ونحسب عزم القوة بضرب مقدار هذه القوة في البعد العمودي من خط عمل القوة إلى النقطة التي تحاول عندها القوة إحداث دوران حولها. حسنًا، بعد أن رسمنا خطًّا مستقيمًا بين النقطة ﻭ وخط عمل القوة، دعونا نبدأ بحساب هذه المسافة. ونعرف هذه المسافة على أنها تساوي ﺱ متر. نلاحظ بعد ذلك أن هذا الخط المستقيم يكون مثلثًا قائم الزاوية.

ومن ثم، يمكننا استخدام نظرية فيثاغورس لحساب طول ﺱ، وبما أن ﺱ يمثل وتر المثلث القائم الزاوية؛ يصبح لدينا ﺱ تربيع يساوي ثلاثة تربيع زائد ٤٫٥ تربيع. نبسط هذا الطرف الأيسر إلى ١١٧ على أربعة. ونحسب بعد ذلك الجذر التربيعي الموجب. حسنًا، ما يعنينا فقط هو الجذر التربيعي الموجب؛ لأن هذا بعد. الجذر التربيعي لـ ١١٧ على أربعة يساوي ثلاثة جذر ١٣ على اثنين. إذن، المسافة من النقطة ﻭ إلى النقطة التي تؤثر عندها القوة تساوي ثلاثة جذر ١٣ على اثنين متر.

يجب أن تكون القوة وهذه المسافة متعامدتين. حتى الآن، ليس بالضرورة أن نعرف أنهما متعامدتان. ففي الواقع، من غير المحتمل أن تؤثر القوة التي مقدارها ١١٥ نيوتن عموديًّا على هذه المسافة. لذا، نحتاج إلى حساب مركبة هذه القوة التي تؤثر عموديًّا على هذا الخط المستقيم. ولكي نفعل ذلك، علينا أن نبدأ بإيجاد قياس الزاوية 𝜃. وهي الزاوية المحصورة بين القوة التي مقدارها ١١٥ نيوتن ومركبة هذه القوة العمودية على الخط المستقيم. نبدأ بإيجاد قياس إحدى الزوايا المحصورة في المثلث.

دعونا نسم الزاوية الموجودة أسفل الشكل 𝛼. بما أننا نعرف الأبعاد الثلاثة كلها، حيث لدينا في المعطيات كل من طول الضلع المقابل وطول الضلع المجاور، فيمكننا استخدام نسبة ظل الزاوية لإيجاد قيمة 𝛼. ظا 𝛼 يساوي طول الضلع المقابل على طول الضلع المجاور. إذن، ظا 𝛼 يساوي ثلاثة على ٤٫٥. لإيجاد قيمة 𝛼، نحسب الدالة العكسية للظل لطرفي المعادلة. ومن ثم، فإن 𝛼 تساوي الدالة العكسية لـ ظا ثلاثة على ٤٫٥، وهو ما يساوي ٣٣٫٦٩ درجة، وهكذا مع توالي الأرقام. هذا يعني أن الزاوية التي تصنعها مركبة القوة العمودية مع الأفقي قياسها يساوي ٣٣٫٦٩ درجة. وبناء عليه، قياس الزاوية 𝜃 يجب أن يساوي ٣٣٫٦٩ ناقص ٣٠، وهو ما يساوي ٣٫٦٩ من الدرجات.

هذا مفيد؛ لأنه يمكننا الآن تكوين مثلث قائم الزاوية باستخدام القوة التي مقدارها ١١٥ نيوتن. نحن نريد إيجاد قيمة مركبة هذه القوة التي تؤثر عموديًّا على المسافة بين النقطة ﻭ والنقطة التي تؤثر عندها القوة. بالنظر إلى المثلث القائم الزاوية، نجد أن لدينا زاوية محصورة قياسها ٣٫٦٩ من الدرجات. ونحن نعرف أيضًا طول الوتر وطول الضلع المجاور. لذا، دعونا نفرغ بعض المساحة ونحسب قيمة ﺹ، وهو الضلع المجاور في المثلث.

سنستخدم هذه المرة نسبة جيب تمام الزاوية. ‏جتا ٣٫٦٩ يساوي ﺹ على ١١٥. إذن، ﺹ يساوي ١١٥ في جتا ٣٫٦٩. تذكر أننا قلنا إن هذه هي مركبة القوة العمودية على المسافة. وبناء على ذلك، نحن الآن مستعدون لحساب مقدار العزم حول النقطة ﻭ.

حسنًا، عند حساب العزوم، فإننا بوجه عام نعتبر الدوران عكس اتجاه دوران عقارب الساعة موجبًا. لكننا هنا نريد إيجاد مقدار العزم. تحاول هذه القوة تدوير الجسم في اتجاه دوران عقارب الساعة. لذا، دعونا نعرف الدوران في اتجاه دوران عقارب الساعة بأنه موجب. العزم يساوي حاصل ضرب القوة في المسافة. هذا يساوي ثلاثة جذر ١٣ على اثنين في ١١٥ جتا ٣٫٦٩. وهو ما يساوي ٦٢٠٫٦٦٨، وهكذا مع توالي الأرقام. بالتقريب لأقرب منزلتين عشريتين، نحصل على ٦٢٠٫٦٧. إذن، مقدار العزم يساوي ٦٢٠٫٦٧ نيوتن متر.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.