فيديو السؤال: إيجاد نهاية خارج قسمة دالتين مثلثية وخطية عند نقطة الرياضيات

أوجد نها_(ﺱ ← (‏𝜋‏‏/‏٤)) ((٩ جا ﺱ)‏/‏٥ﺱ)).

٠٨:٤١

‏نسخة الفيديو النصية

أوجد نهاية الدالة تسعة جا ﺱ مقسومًا على خمسة ﺱ عندما يقترب ﺱ من ‏𝜋‏ على أربعة.

حسنًا، نحن نعلم أنه بالنسبة إلى الدالة ﻕ، يمكننا استخدام التعويض المباشر لإيجاد قيمة نهاية ﺩ إذا كانت ﺩ دالة مثلثية أو أسية أو كثيرة حدود أو لوغاريتمية. وكذلك إذا كانت الدالة ﺩ هي خارج قسمة دالتين يمكن استخدام التعويض المباشر معهما. وبما أن ﺩ هي خارج قسمة دالتين؛ مثلثية وكثيرة حدود، فإنه يمكننا إذن إيجاد قيمة النهاية باستخدام التعويض المباشر. وبما أن ﺱ يقترب من ‏𝜋‏ على أربعة في النهاية لدينا، فسنعوض بالقيمة ‏𝜋‏ على أربعة في الدالة، ونوجد قيمة الناتج. وهذا يعطينا المقدار: تسعة مضروبًا في جا ‏𝜋‏ على أربعة على خمسة مضروبًا في ‏𝜋‏ على أربعة. يمكننا بعد ذلك حساب قيمة هذا المقدار لنحصل على: تسعة جذر اثنين على اثنين مقسومًا على خمسة ‏𝜋‏ على أربعة.

يمكننا الآن استخدام القاعدة التي توضح أن القسمة على كسر هي نفسها عكس الكسر ثم الضرب فيه، وبذلك نجد أن النهاية لدينا تساوي تسعة جذر اثنين على اثنين في أربعة مقسومًا على خمسة ‏𝜋‏. ويمكننا تبسيط ذلك بما أن البسط والمقام يشتركان في العامل اثنين. وأخيرًا، يمكننا ضرب هذين الكسرين معًا لنحصل على أن النهاية لتسعة جا ﺱ مقسومًا على خمسة ﺱ عندما يقترب ﺱ من ‏𝜋‏ على أربعة تساوي ١٨ جذر اثنين على خمسة ‏𝜋‏. يمكننا أن نتوقف هنا الآن. لكن دعونا نفرغ بعض المساحة ونحاول توضيح سبب استخدامنا للتعويض المباشر لإيجاد قيمة هذه النهاية.

إذا حاولنا حل هذه المسألة بدون استخدام التعويض المباشر، فقد نستخدم قاعدة القسمة للنهايات التي توضح أنه لأي دالتين ﺩﺱ وﺭﺱ، إذا كانت نهاية ﺭﺱ عندما يقترب ﺱ من ﺃ لا تساوي صفرًا، فإن نهاية خارج قسمة الدالتين تساوي خارج قسمة نهايتي الدالتين. في هذه المسألة، سنفترض أن ﺭﺱ تساوي خمسة ﺱ، وﺃ يساوي ‏𝜋‏ على أربعة. ولاستخدام قاعدة القسمة للنهايات، فإن النهاية لخمسة ﺱ عندما يقترب ﺱ من ‏𝜋‏ على أربعة يجب ألا تساوي صفرًا. حسنًا، دعونا نحاول إيجاد قيمة هذه النهاية بدون استخدام التعويض المباشر.

نحن نعلم أن القاعدة الآتية تنطبق على أي دالتين. حاصل ضرب النهايتين يساوي النهاية لحاصل ضرب الدالتين. لذا، يمكننا تقسيم النهاية لخمسة في ﺱ إلى النهاية لخمسة عندما يقترب ﺱ من ‏𝜋‏ على أربعة مضروبة في النهاية لـ ﺱ عندما يقترب ﺱ من ‏𝜋‏ على أربعة. بعد ذلك، نحن نعلم أنه لأي ثابت ﻙ، فإن النهاية عندما يقترب ﺱ من ﺃ لـ ﻙ تساوي ﻙ فقط. ويمكننا تطبيق هذا لإيجاد قيمة النهاية لخمسة عندما يقترب ﺱ من ‏𝜋‏ على أربعة، وسنجد أنها تساوي خمسة. نحن نعلم أيضًا أن النهاية للدالة ﺱ عندما يقترب ﺱ من ﺃ تساوي ﺃ فقط.

بعد ذلك، يمكننا تطبيق هذا لنجد أن النهاية لـ ﺱ عندما يقترب ﺱ من ‏𝜋‏ على أربعة تساوي ‏𝜋‏ على أربعة فقط. ونلاحظ الآن أن نهاية الدالة خمسة ﺱ عندما يقترب ﺱ من ‏𝜋‏ على أربعة لا تساوي صفرًا. وهذا يوضح سبب استخدامنا لقاعدة القسمة للنهايات. والآن، بعد أن أوضحنا السبب وراء استخدامنا لقاعدة القسمة للنهايات، دعونا نفرغ بعض المساحة ونعد إلى النهاية التي لدينا في السؤال.

سنبدأ بإعادة كتابة النهاية لدينا في صورة خارج قسمة هاتين النهايتين. إننا نريد الآن استخدام حقيقة أن نهاية حاصل الضرب تساوي حاصل ضرب النهايتين لإعادة كتابة كل من النهايتين في البسط والمقام. يمكننا تقسيم البسط. وهذا يعطينا النهاية لتسعة عندما يقترب ﺱ من ‏𝜋‏ على أربعة مضروبة في النهاية لـ جا ﺱ عندما يقترب ﺱ من ‏𝜋‏ على أربعة. ويمكننا فعل الأمر نفسه لتقسيم المقام، فنحصل على النهاية لخمسة عندما يقترب ﺱ من ‏𝜋‏ على أربعة مضروبة في النهاية لـ ﺱ عندما يقترب ﺱ من ‏𝜋‏ على أربعة.

يمكننا الآن استخدام حقيقة أن نهاية أي ثابت ﻙ تساوي ﻙ لإيجاد قيمة النهاية لتسعة في البسط والنهاية لخمسة في المقام. وهذا يعطينا تسعة مضروبًا في النهاية لـ جا ﺱ عندما يقترب ﺱ من ‏𝜋‏ على أربعة مقسومًا على خمسة مضروبًا في النهاية لـ ﺱ عندما يقترب ﺱ من ‏𝜋‏ على أربعة. بعد ذلك، يمكننا استخدام حقيقة أن نهاية الدالة ﺱ عندما يقترب ﺱ من ﺃ تساوي ﺃ لإيجاد قيمة النهاية لـ ﺱ في المقام. ومن ثم، يمكننا التعويض عن النهاية لـ ﺱ بـ ‏𝜋‏ على أربعة. وهذا يعني أن الجزء الأخير الذي علينا إيجاد قيمته في السؤال هو النهاية لـ جا ﺱ عندما يقترب ﺱ من ‏𝜋‏ على أربعة.

دعونا نوضح أن النهاية التي نوجد قيمتها بالتعويض المباشر تعني أن الدالة جا ﺱ متصلة عند ‏𝜋‏ على أربعة. لكن لا داعي للقلق بشأن ذلك. يمكننا محاولة توضيح سبب استخدامنا للتعويض المباشر من خلال تناول جدول قيم الدالة جا ﺱ. سيحتوي الصف العلوي على القيم المدخلة لـ ﺱ. وسيحتوي الصف السفلي على القيم المخرجة للدالة جا ﺱ. سنكتب ‏𝜋‏ على أربعة في إحدى خانات الجدول. لكن بما أن هذه هي القيمة التي نحاول إيجادها، فسنترك قيمتها المخرجة فارغة. بعد ذلك، سنكتب بعض القيم المدخلة لـ ﺱ حول ‏𝜋‏ على أربعة؛ بحيث تقترب تدريجيًّا من ‏𝜋‏ على أربعة. ويمكننا بعد ذلك إيجاد القيم المخرجة للدالة من خلال التعويض بالقيم المدخلة لـ ﺱ في الدالة جا ﺱ. وذلك يعطينا هذا الجدول.

نحن نعلم أن نهاية الدالة ﺩﺱ عندما يقترب ﺱ من ﺃ تساوي ﻝ إذا كانت نهاية ﺩﺱ عندما يقترب ﺱ من ﺃ من اليسار واليمين تساوي ﻝ. إذن، لإيجاد قيمة النهاية لـ جا ﺱ عندما يقترب ﺱ من ‏𝜋‏ على أربعة، علينا إيجاد قيمة كل من النهايتين اليسرى واليمنى. يمكننا استخدام القيم الآتية في الجدول لإيجاد قيمة النهاية من اليسار. ونكتب هذه القيم المخرجة في صورة متتابعة. ونلاحظ أنه كلما اقتربت القيم المدخلة من ‏𝜋‏ على أربعة، اقتربت القيم المخرجة من الجذر التربيعي لاثنين على اثنين. يمكننا فعل الأمر نفسه مع النهاية اليمنى. ونلاحظ أيضًا أنه كلما اقتربت القيم المدخلة من ‏𝜋‏ على أربعة من اليمين، اقتربت القيم المخرجة من الجذر التربيعي لاثنين على اثنين. ومن ثم، فإن النهاية لـ جا ﺱ عندما يقترب ﺱ من ‏𝜋‏ على أربعة من اليسار ومن اليمين تساوي الجذر التربيعي لاثنين على اثنين.

إذن، بما أن كلًّا من النهاية اليسرى واليمنى يساوي الجذر التربيعي لاثنين على اثنين، فإن قيمة النهاية لـ جا ﺱ عندما يقترب ﺱ من ‏𝜋‏ على أربعة يجب أن تساوي الجذر التربيعي لاثنين على اثنين. يمكننا بعد ذلك التعويض عن النهاية لـ جا ﺱ في المقدار لدينا بالجذر التربيعي لاثنين على اثنين. وبذلك، نجد أن النهاية تساوي تسعة مضروبًا في الجذر التربيعي لاثنين على اثنين مقسومًا على خمسة في ‏𝜋‏ على أربعة. وأخيرًا، إذا أوجدنا قيمة هذا المقدار، فسنجد أن النهاية لتسعة جا ﺱ على خمسة ﺱ عندما يقترب ﺱ من ‏𝜋‏ على أربعة تساوي ١٨ جذر اثنين على خمسة ‏𝜋‏.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.