فيديو: طول القوس في المنحنيات المستوية

باستخدام تعويضة مثلثية، أوجد طول القوس الذي يمثِّل جزءًا من المنحنى‎ ﺹ = جذر (٤ − ﺱ^٢)، بين ﺱ = ٠، ﺱ = ﻙ.

٠٦:٤٦

‏نسخة الفيديو النصية

باستخدام تعويضة مثلثية، اوجد طول القوس الذي يمثّل جزءًا من المنحنى: ص يساوي الجذر التربيعي لأربعة ناقص س تربيع. بين س يساوي صفر، وَ س يساوي ك.

علشان نوجد طول القوس لمنحنى، بنكامل من س واحد لـ س اتنين للجذر التربيعي للواحد زائد، د ص د س تربيع. ده هنكامله كله بالنسبة للـ س. بداية التكامل، اللي هو س واحد، هنا معطاة بصفر. وَ س اتنين، اللي هي س تساوي ك. والمفروض نوجد د ص د س؛ علشان نقدر نوجد طول القوس.

الشكل ده صعب إن إحنا نعرف نفاضله بسهولة، فهنستخدم تعويضة مثلثية سهلة. بحيث إن إحنا نفاضلها، وبعدين نعوّض بيها في الطول القوس، نعرف نوجد قيمته. هنعوّض بالـ س تساوي اتنين جتا 𝜃، في الـ ص يساوي الجذر التربيعي لأربعة ناقص س تربيع. يبقى كده الـ ص هتساوي الجذر التربيعي لأربعة ناقص س تربيع، اللي هي هتبقى اتنين جتا 𝜃، ده كله هيبقى تربيع. هتساوي الجذر التربيعي لأربعة ناقص أربعة جتا تربيع 𝜃.

من المتطابقات المثلثية: جتا تربيع 𝜃 زائد جا تربيع 𝜃 بتساوي واحد. لو ضربنا كل المتطابقة دي في أربعة، هتبقى أربعة جتا تربيع 𝜃 زائد أربعة جا تربيع 𝜃 هتساوي أربعة. ومنها أربعة جا تربيع 𝜃 هتساوي أربعة ناقص أربعة جتا تربيع 𝜃. واللي هي هنا موجودة تحت الجذر. يبقى هيساوي الجذر التربيعي لأربعة جا تربيع 𝜃. هنوجد الجذر التربيعي للأربعة جا تربيع 𝜃، يبقى الـ ص هتساوي اتنين جا 𝜃.

دلوقتي نقدر نوجد د ص د س. الـ د ص هتساوي … لمّا هنشتقّها، هنشتقّ هنا اتنين جا 𝜃، هتبقى اتنين جتا 𝜃 د 𝜃. والـ س هنشتقّها، هتبقى د س تساوي اتنين … جتا 𝜃 لمّا هنشتقّها، هتبقى سالب جا 𝜃 د 𝜃. كده د ص د س هتساوي اتنين جتا 𝜃 د 𝜃، على سالب اتنين جا 𝜃 د 𝜃. بالتبسيط هتساوي … د 𝜃 مع الـ د 𝜃، والاتنين هنختصرها مع الاتنين. يبقى سالب جتا 𝜃 على جا 𝜃. يبقى سالب ظتا 𝜃.

هنوجد حدود التكامل لمّا الـ س تساوي صفر. يبقى اتنين جتا 𝜃 هتساوي صفر، ومنها الـ 𝜃 هتساوي 𝜋 على اتنين. ولمّا الـ س هتساوي ك، يبقى اتنين جتا 𝜃 هيساوي ك. يبقى 𝜃 هتساوي الدالة العكسية لجيب التمام للـ ك على اتنين.

هنعوّض ونوجد طول القوس. يبقى حدود التكامل من 𝜋 على اتنين، للدالة العكسية لجيب التمام للـ ك على اتنين. للجذر التربيعي للواحد زائد، سالب ظتا 𝜃 الكل تربيع. وهنضرب برّه في الـ د س، اللي هنعوّض عنها بسالب اتنين جا 𝜃 د 𝜃. سالب ظتا 𝜃 الكل تربيع، هي ظتا تربيع 𝜃. وواحد زائد ظتا تربيع 𝜃، من المتطابقات المثلثية بتساوي قتا تربيع 𝜃.

يبقى طول القوس هيساوي من 𝜋 عَ الاتنين، إلى الدالة العكسية لجيب التمام للـ ك عَ الاتنين. للجذر التربيعي لـ قتا تربيع 𝜃، مضروبة في سالب اتنين جا 𝜃 د 𝜃. الـ قتا تربيع 𝜃 لمّا هنوجد لها الجذر التربيعي، هتبقى قتا 𝜃. يبقى الـ قتا 𝜃 في، سالب اتنين جا 𝜃 د 𝜃، هنوجد لها التكامل. الـ قتا 𝜃 دي هي واحد على جا 𝜃. هنختصرها مع الـ جا 𝜃 دي.

كده التكامل هيساوي تكامل من 𝜋 على اتنين، للدالة العكسية لجيب التمام للـ ك على اتنين. سالب اتنين د 𝜃. سالب اتنين لمّا هنكاملها، هتبقى سالب اتنين 𝜃. وهنعوّض من 𝜋 على اتنين، إلى الدالة العكسية للجيب التمام للـ ك عَ الاتنين. يبقى هتساوي … لمّا هنعوّض، يبقى سالب اتنين الدالة العكسية لجيب التمام للـ ك عَ الاتنين. ناقص … لمّا هنعوّض بالـ 𝜋 عَ الاتنين، هتبقى سالب اتنين 𝜋 على الاتنين.

هتساوي سالب اتنين الدالة العكسية لجيب التمام للـ ك عَ الاتنين. هنختصر الاتنين مع الاتنين، يبقى زائد 𝜋. لمّا هنعيد ترتيبها، هتبقى 𝜋 ناقص اتنين الدالة العكسية لدالة جيب التمام للـ ك عَ الاتنين. 𝜋 ناقص اتنين في الدالة العكسية للـ جتا، هي نفسها اتنين في الدالة العكسية للجيب لنفس القيمة، اللي هي ك على اتنين. ويبقى هي دي الإجابة المطلوبة.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.