فيديو السؤال: استخدام الزاوية المرجعية لإيجاد قيمة دالة مثلثية تتضمن زوايا خاصة الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

أوجد القيمة الدقيقة لـ ظا سبعة ‏𝜋‏ على ستة بدون استخدام الآلة الحاسبة.

سنبدأ برسم شكل لدائرة الوحدة لتحديد الربع الذي تقع فيه الزاوية سبعة ‏𝜋‏ على ستة. نتذكر أن أي زاوية في الوضع القياسي تقاس من محور ﺱ الموجب. وإذا كان قياس الزاوية موجبًا، كما في هذه الحالة، فإننا نقيس عكس اتجاه دوران عقارب الساعة. يمكننا تحديد مواضع الزوايا ‏𝜋‏ على اثنين، و‏𝜋‏، وثلاثة ‏𝜋‏ على اثنين، واثنين ‏𝜋‏ راديان. سبعة ‏𝜋‏ على ستة أكبر من ‏𝜋‏ لكنها أصغر من ثلاثة ‏𝜋‏ على اثنين. وهذا يعني أن الزاوية تقع في الربع الثالث.

ونعرف أن إحداثيات أي نقطة تقع على دائرة الوحدة هي جتا 𝜃، جا 𝜃. هذا يعني أن إحداثيات النقطة التي يلتقي عندها الضلع النهائي للزاوية بدائرة الوحدة هي جتا سبعة ‏𝜋‏ على ستة، جا سبعة ‏𝜋‏ على ستة. ولإيجاد قيمة إحداثيات ﺱ وﺹ، علينا أولًا إيجاد قياس الزاوية بين الضلع النهائي والمحور ﺱ، المعروفة باسم الزاوية المرجعية. وبما أن قياس الزاوية المحصورة بين محور ﺱ الموجب ومحور ﺱ السالب يساوي ‏𝜋‏، فإن الزاوية المرجعية 𝛼 تساوي سبعة ‏𝜋‏ على ستة ناقص ‏𝜋‏، وهو ما يساوي ‏𝜋‏ على ستة.

برسم خط عمودي على محور ﺱ من نقطة التقاطع، يتكون لدينا مثلث قائم الزاوية، كما هو موضح. سنفسح الآن بعض المجال لنتمكن من رسم نسخة مكبرة من هذا المثلث. بما أن النقطة تقع على دائرة الوحدة، فإن طول وتر المثلث يساوي وحدة واحدة. وكما ذكرنا من قبل، تقع النقطة في الربع الثالث، وهو ما يعني أن الإحداثيين ﺱ وﺹ للنقطة سيكونان سالبين. بما أن أطوال أضلاع المثلث يجب أن تكون موجبة، فيمكننا ضرب الإحداثيين في سالب واحد، وهو ما يعطينا طولي ضلعين يساويان سالب جا سبعة ‏𝜋‏ على ستة، وسالب جتا سبعة ‏𝜋‏ على ستة.

في أي مثلث قائم الزاوية، جا الزاوية 𝜃 يساوي طول الضلع المقابل على طول الوتر. وجتا الزاوية 𝜃 يساوي طول الضلع المجاور على طول الوتر. هذا يعني أن جا ‏𝜋‏ على ستة يساوي سالب جا سبعة ‏𝜋‏ على ستة على واحد. والزاوية ‏𝜋‏ على ستة راديان أو ٣٠ درجة هي إحدى الزوايا الخاصة. ونعرف أن جيب هذه الزاوية يساوي نصفًا. هذا يعني أن سالب جا سبعة ‏𝜋‏ على ستة يساوي نصفًا. وبضرب الطرفين في سالب واحد، يصبح لدينا جا سبعة ‏𝜋‏ على ستة يساوي سالب نصف.

يمكننا تكرار ذلك باستخدام نسبة جيب التمام. جتا ‏𝜋‏ على ستة يساوي سالب جتا سبعة ‏𝜋‏ على ستة مقسومًا على واحد، وهو ما يساوي سالب جتا سبعة ‏𝜋‏ على ستة. جتا ‏𝜋‏ على ستة أو ٣٠ درجة يساوي جذر ثلاثة على اثنين. وهذا يساوي سالب جتا سبعة ‏𝜋‏ على ستة. مرة أخرى، يمكننا ضرب الطرفين في سالب واحد، ما يعطينا جتا سبعة ‏𝜋‏ على ستة يساوي سالب جذر ثلاثة على اثنين.

المطلوب منا هو إيجاد القيمة الدقيقة لـ ظا سبعة ‏𝜋‏ على ستة. وتنص إحدى المتطابقات المثلثية على أن ظا 𝜃 يساوي جا 𝜃 على جتا 𝜃. ومن ثم، فإن ظا سبعة ‏𝜋‏ على ستة يساوي جا سبعة ‏𝜋‏ على ستة مقسومًا على جتا سبعة ‏𝜋‏ على ستة. وبالتعويض بالقيم التي أوجدناها مسبقًا، فإن هذا يساوي سالب نصف مقسومًا على سالب جذر ثلاثة على اثنين. نحن نعلم أن القسمة على كسر هي نفسها الضرب في مقلوب هذا الكسر. هذا يعني أن ظا سبعة ‏𝜋‏ على ستة يساوي سالب نصف مضروبًا في سالب اثنين على جذر ثلاثة. بتبسيط المقدار عن طريق حذف العامل اثنين، ثم بضرب البسطين والمقامين كل على حدة نحصل على واحد على جذر ثلاثة.

وأخيرًا، يمكننا إنطاق المقام بضرب كل من البسط والمقام في جذر ثلاثة. وعليه، نستنتج أن القيمة الدقيقة لـ ظا سبعة ‏𝜋‏ على ستة تساوي جذر ثلاثة على ثلاثة.