فيديو السؤال: تحويل الأعداد المركبة من الصورة القطبية إلى الصورة الأسية الرياضيات

ضع ﻉ = (٤ جذر ٣)(جتا ((٥‏𝜋‏)‏/‏٦) − ﺕ جا (٥‏𝜋‏)‏/‏٦) في الصورة الأسية.

٠٦:١٤

‏نسخة الفيديو النصية

ضع ﻉ يساوي أربعة في الجذر التربيعي لثلاثة الكل مضروب في جتا خمسة 𝜋 على ستة ناقص ﺕ جا خمسة 𝜋 على ستة في الصورة الأسية.

أول ما يمكننا فعله هو أن ندرك أن لدينا عددًا مركبًا. يمكن التعبير عن الأعداد المركبة بعدد من الصور المختلفة. وهي الصورة المثلثية والصورة الأسية والصورة الجبرية. لحل هذا السؤال، لن نستخدم الصورة الجبرية. لذا، دعونا نتجاهلها. يمكننا ملاحظة أن السؤال يعبر عن العدد المركب ﻉ في صورة قريبة جدًا من الصورة المثلثية. أحد الاختلافات التي يمكننا ملاحظتها على الفور هو أنه بدلًا من وجود رمز الموجب بين جتا 𝜃 وﺕ جا 𝜃، فإن لدينا رمز السالب.

وكي نبدأ الحل، دعونا نعمل على تغيير هذا الرمز. وفقًا لتماثلات دالة الجيب، يمكننا استخدام المتطابقة التالية. سالب جا 𝜃 يساوي جا سالب 𝜃. تتيح لنا هذه المتطابقة أن نأخذ الحد سالب ﺕ جا خمسة 𝜋 على ستة من السؤال، ونجعله يساوي موجب ﺕ جا سالب خمسة 𝜋 على ستة. بعد ذلك، نعيد كتابة العدد المركب ﻉ المعطى في السؤال على صورة أربعة في الجذر التربيعي لثلاثة الكل مضروب في جتا خمسة 𝜋 على ستة زائد ﺕ جا سالب خمسة 𝜋 على ستة. ويمكننا هنا رؤية الحد الذي عوضنا به.

دعونا الآن نعد مرة أخرى إلى الصورة المثلثية التي نريد الوصول إليها. لقد طابقنا الرمز ليصبح موجبًا بين حدي جتا 𝜃 وﺕ جا 𝜃. لكننا بذلك أدخلنا اختلافًا جديدًا. فبدلًا من مطابقة قيمتي 𝜃 بين حدي جتا وجا، أصبح لدينا الآن قيمة لـ 𝜃 موجبة وقيمة أخرى سالبة.

لتغيير ذلك، يمكننا استخدام متطابقة أخرى تنتج عن تماثل دالة جيب التمام. المتطابقة هي جتا 𝜃 يساوي جتا سالب 𝜃. هذا يتيح لنا أن نأخذ الحد جتا خمسة 𝜋 على ستة من السؤال، ونجعله يساوي جتا سالب خمسة 𝜋 على ستة. بالتعويض بذلك في المعادلة، يمكننا القول إن العدد المركب، ﻉ، يساوي أربعة في الجذر التربيعي لثلاثة الكل مضروب في جتا سالب خمسة 𝜋 على ستة زائد ﺕ جا سالب خمسة 𝜋 على ستة. وبذلك، نكون الآن قد طابقنا قيمتي 𝜃 للحدين.

يوجد أمر آخر علينا وضعه في الاعتبار. بوجه عام، عند التعبير عن عدد مركب في الصورة المثلثية أو الأسية، فإننا نريد أن تكون قيمة 𝜃 أكبر من أو تساوي صفرًا وأصغر من اثنين 𝜋 بالراديان. ولتحقيق ذلك، يمكننا اتباع دورية دالتي الجيب وجيب التمام. كلتا هاتين الدالتين تتكرران كل فترة اثنين 𝜋 راديان. وهذا يتيح لنا القول إن جا 𝜃 يساوي جا 𝜃 زائد اثنين 𝜋ﻥ، حيث ﻥ يأخذ قيمًا صحيحة.

لاستخدام هذه العلاقة، علينا إيجاد قيمة ﻥ التي ستعطينا قيمة 𝜃 داخل النطاق المطلوب. وكما يتبين، يمكننا استخدام الحالة البسيطة التي فيها ﻥ يساوي واحدًا. إذا أخذنا جيب التمام مثالًا، فإن المتطابقة ستختصر إلى جتا 𝜃 يساوي جتا 𝜃 زائد اثنين 𝜋.

دعونا نر هذا التعويض عمليًا عند تطبيقه على كل من حدي جتا وجا. يصبح الآن الحدان داخل القوسين جتا سالب خمسة 𝜋 على ستة زائد اثنين 𝜋. وينطبق الأمر نفسه على حد الجيب. يمكننا تبسيط ذلك بمعرفة أن سالب خمسة 𝜋 على ستة زائد اثنين 𝜋 يساوي سالب خمسة 𝜋 على ستة زائد ١٢‏𝜋‏ على ستة، والذي يمكن تبسيطه بعد ذلك إلى سبعة 𝜋 على ستة. يمكننا الآن التأكد من أن هذه القيمة تقع بالفعل ضمن نطاق 𝜃 الذي نريده.

دعونا نر كيف يبدو هذا العدد المركب بعد إجراء هذا التبسيط. لدينا الآن ﻉ يساوي أربعة في الجذر التربيعي لثلاثة الكل مضروب في جتا سبعة 𝜋 على ستة زائد ﺕ جا سبعة 𝜋 على ستة. يمكننا الآن ملاحظة أننا قد توصلنا إلى الصورة المثلثية للعدد المركب الذي نريده.

بصفة عامة، أي عدد مركب معبر عنه بهذه الطريقة، ﻉ يساوي ﻝ في جتا 𝜃 زائد ﺕ جا 𝜃، يمكن التعبير عنه أيضًا في الصورة الأسية. ‏‏ﻉ يساوي ﻝ في ﻫ أس ﺕ𝜃. يمكننا الانتقال بين هاتين الصورتين بأخذ قيمتي ﻝ و𝜃 ووضعهما في التعبير المكافئ.

بالنظر إلى العدد المركب لدينا، نلاحظ أن قيمة ﻝ تساوي أربعة في الجذر التربيعي لثلاثة. وقيمة 𝜃 تساوي سبعة 𝜋 على ستة. يمكننا أخذ قيمتي ﻝ و𝜃 واستخدامهما معًا للتعبير عن العدد المركب في الصورة الأسية. وبذلك نكون قد أجبنا عن السؤال. ويمكننا القول إن العدد المركب، ﻉ، في الصورة الأسية يساوي أربعة في الجذر التربيعي لثلاثة في ﻫ أس سبعة 𝜋 على ستة في ﺕ.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.