فيديو: المعادلات القطبية للقطوع المخروطية

يوضح الفيديو استنتاج معادلة قطبية للقطع بمعرفة معلومتين عن القطع.

٠٤:٤٥

‏نسخة الفيديو النصية

في الفيديو ده هنشوف إزّاي نقدر نستنتج المعادلة القطبية بتاعة القطوع المخروطية، بمعرفة معلومتين عن القطع. خطوات استنتاج المعادلة القطبية، هنشوفها من خلال مثال. معطى هنا في المثال، إن معامل الاختلاف المركزي بتاع القطع ده بيساوي اتنين. وإن الدليل هو الخط المستقيم، اللي المعادلة بتاعته ص تساوي أربعة. ومطلوب هنا إننا نجيب المعادلة القطبية بتاعة القطع ده. ونرسم القطع المخروطي ده، هو والدليل بتاعه.

طيب أول حاجة عنينا هتروح عليها، هو إن م تساوي اتنين. اتنين ده أكبر من واحد. يبقى معنى كده إن القطع ده قطع زائد. تاني حاجة هناخد بالنا منها، هو إن الدليل، المعادلة بتاعته ص تساوي أربعة. ص تساوي أربعة، معنى كده إن الدليل ده فوق المحور الأفقي. وبما إن البؤرة لازم تبقى عند نقطة الأصل، يبقى معنى كده إن القطع هيترسم تحت الخط ص تساوي أربعة. وبما إن الدليل عبارة عن خط أفقي، والقطع مرسوم تحت الدليل. يبقى إذن المعادلة القطبية بتاعة القطع ده هتبقى في صورة: ف تساوي م د، مقسوم على واحد زائد م جا 𝜃.

طيب هنا إحنا معطى معانا م بتساوي اتنين. وَ د هي المسافة ما بين الدليل والمحور الأفقي، اللي هي هنا بتساوي أربعة. يبقى إذن المعادلة دي هتبقى: ف تساوي م اللي هي اتنين. مضروبة في د اللي هي أربعة. كل ده مقسوم على واحد زائد اتنين جا 𝜃. يبقى إذن ف تساوي تمنية على، واحد زائد اتنين جا 𝜃. يبقى إذن دي المعادلة القطبية اللي بتعبّر عن القطع المعطى في المثال. أمّا بالنسبة لرسمة القطع، فهتبقى بالشكل اللي ظاهر قدامنا ده. الدليل هو خط أفقي عند ص تساوي أربعة. والقطع الزائد مرسوم تحتيه، والبؤرة بتاعته عند نقطة الأصل.

طيب في الصفحة اللي جايّة، هناخد مثال تاني لاستنتاج المعادلة القطبية بتاعة قطع مخروطي. المثال ده معطى فيه إن معامل الاختلاف المركزي م يساوي نص. والأطراف بتاعة القطع ده هي نقطتين: سالب أربعة وصفر، واتناشر وصفر. طيب أول حاجة هنلاحظها هنا، إن م تساوي نص، وده أصغر من واحد. يبقى معنى كده إن ده قطع ناقص.

طيب وبما إن إحنا معانا الطرفين بتوع القطع ده، يبقى إحنا نجيب المركز بتاعه. وهي النقطة المتوسطة ما بين الطرفين دول. والنقطة المتوسطة ما بين النقطتين دول، هي النقطة اللي إحداثياتها أربعة وصفر. طيب النقطة دي طلعت على يمين نقطة الأصل. وبما إن البؤرة لازم تبقى عند نقطة الأصل، يبقى معنى كده إن الدليل بتاع القطع الناقص ده، هيبقى على شمال نقطة الأصل. ويبقى من هنا نقدر نستنتج إن المعادلة القطبية اللي بتعبّر عن القطع ده، هتبقى في الصورة: ف تساوي م مضروبة في د، مقسومة على واحد ناقص م جتا 𝜃.

طيب إحنا معانا م بتساوي نص، ناقص نعرف د بتساوي بكام. طيب عشان نعرف د، هنستخدم أيّ نقطة من الطرفين المعطيين في المثال. فمثلًا النقطة اتناشر وصفر، دي عبارة عن الطرف الأيمن بتاع القطع. ويبقى الإحداثيات القطبية بتاعتها، إن هي بتبعد مسافة اتناشر وحدة طول، عن نقطة الأصل. والزاوية بتاعتها بتساوي صفر. فلو عوّضنا عن ف تساوي اتناشر، وَ 𝜃 تساوي صفر، في المعادلة اللي معانا. هيبقى اتناشر تساوي م اللي هي نص، مضروبة في د؛ كل ده مقسوم على واحد ناقص نص جتا صفر.

لو بسّطنا شكل المعادلة دي، هيطلع لنا إن د تساوي اتناشر. يبقى إذن المعادلة بتاعة القطع الناقص ده، هتبقى: ف تساوي نص مضروبة في اتناشر. وكل ده مقسوم على واحد ناقص نص جتا 𝜃. اللي هي بتساوي ستة على، واحد ناقص نص جتا 𝜃. أمّا بالنسبة لرسمة القطع الناقص ده، فهتبقى زيّ ما ظاهر قدامنا في الشكل. هنا الدليل هو خط رأسي، يبعد اتناشر وحدة طول عن المحور الرأسي. والبؤرة بتاعة القطع الناقص، هي نقطة الأصل. والطرفين بتوعها هم النقطتين اتناشر وصفر، وسالب أربعة وصفر.

كده في الفيديو ده إحنا شفنا إزّاي نقدر نستنتج المعادلة القطبية بتاعة قطع مخروطي.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.