فيديو: حل أنظمة المعادلات الخطية والتربيعية

أوجد جميع حلول المعادلتين الآنيتين ‪𝑦 + 2𝑥 = 3‬‏، ‪𝑥² + 𝑥𝑦 + 𝑦² = 3‬‏.

٠٥:٣٣

‏نسخة الفيديو النصية

أوجد جميع حلول المعادلتين الآنيتين 𝑦 زائد اثنين 𝑥 يساوي ثلاثة و𝑥 تربيع زائد 𝑥𝑦 زائد 𝑦 تربيع يساوي ثلاثة.

هناك بعض الطرق المختلفة لحل المعادلات الآنية: التعويض والحذف والتمثيل البياني وما إلى ذلك. فلنبدأ باستخدام التعويض. سنأخذ إحدى المعادلتين، ونحلها لإيجاد قيمة المتغير، ثم نعوض بقيمة المتغير في المعادلة الأخرى. وبما أن هذه المعادلة هي الأقصر، فلنبدأ بحلها لإيجاد قيمة 𝑦. يبدو أنها الأسهل. وبطرح اثنين 𝑥 في الطرف الأيمن، نجد أن 𝑦 يساوي سالب اثنين 𝑥 زائد ثلاثة. وبما أن لدينا قيمة 𝑦 الآن، فيمكننا التعويض بها عن 𝑦 في المعادلة الأخرى.

أخذنا هنا سالب اثنين 𝑥 زائد ثلاثة وعوضنا به عن 𝑦 في المعادلة الثانية. والآن علينا إيجاد القيمة. ومن ثم، علينا توزيع 𝑥 وتربيع المقدار المكون من حدين. وهكذا كتبنا في الأسفل 𝑥 تربيع. ‏𝑥 في سالب اثنين 𝑥 يساوي سالب اثنين 𝑥 تربيع و𝑥 في ثلاثة يساوي ثلاثة 𝑥. عند تربيع مقدار معين، فهذا يعني أننا نضربه في نفسه. إذن سنجري عملية ضرب بالتوزيع.

وهذه هي الطريقة التي نجري بها عملية الضرب بالتوزيع. سالب اثنين 𝑥 في سالب اثنين 𝑥 يساوي موجب أربعة 𝑥 تربيع. وسالب اثنين 𝑥 في ثلاثة يساوي سالب ستة 𝑥. وثلاثة في سالب اثنين 𝑥 يساوي سالب ستة 𝑥. وثلاثة في ثلاثة يساوي تسعة. الآن، علينا كتابة كل ما تبقى في الأسفل. لذا سنكتب علامة يساوي والثلاثة بالأسفل، ثم نكتب كل ما كان لدينا من قبل. الآن، نقوم بتجميع الحدود المتشابهة معًا. إذن أعلى قوة لدينا هي اثنان الموجودة في 𝑥 تربيع. فلنضع كل ذلك معًا. لنحصل على 𝑥 تربيع ناقص اثنين 𝑥 تربيع زائد أربعة 𝑥 تربيع يساوي ثلاثة 𝑥 تربيع. وثلاثة 𝑥 ناقص ستة 𝑥 ناقص ستة 𝑥 يساوي سالب تسعة 𝑥. ولوضع التسعة والثلاثة معًا، نطرح ثلاثة من كلا الطرفين. فنحصل على ستة ثم نحذف الثلاثة. إذن لدينا الآن صفر.

ومن ثم، علينا حل هذا. يمكننا إيجاد قيمة 𝑥 ثم بمجرد إيجادها، يمكننا التعويض بقيمتها وإيجاد قيمة 𝑦. أولًا، لدينا الأعداد ثلاثة وسالب تسعة وستة. ويمكننا قسمتها جميعًا على ثلاثة. هذا هو العامل المشترك الأكبر. وقد أخذنا ثلاثة خارج القوس. فتبقى لدينا 𝑥 تربيع ناقص ثلاثة 𝑥 زائد اثنين؛ لأننا قسمنا كل شيء على ثلاثة. علينا الآن تحليل هذه المعادلة التربيعية. إذن ما العددان اللذان يمكن ضربهما معًا ليكون الناتج اثنين، ويمكن جمعهما ليكون الناتج سالب ثلاثة؟ الإجابة هي سالب اثنين وسالب واحد.

الآن لدينا العامل المشترك الأكبر لثلاثة ثم 𝑥 ناقص اثنين و𝑥 ناقص واحد. فلنقل إن كلًا من هذه العوامل يساوي صفرًا. والآن، ثلاثة يساوي صفرًا لا تفيد بشيء، بل إن هذا غير صحيح. وبالتالي، يمكننا تجاهل ذلك. أما في حالة وجود متغير، مثل 𝑥، فيمكننا فعليًا إيجاد الحل. الآن 𝑥 ناقص اثنين يساوي صفرًا. بإضافة اثنين إلى كلا الطرفين، نحصل على 𝑥 يساوي اثنين. الآن، علينا إضافة واحد إلى المعادلة التالية لنحصل على 𝑥 يساوي واحدًا.

فيكون لدينا إما 𝑥 يساوي اثنين وإما 𝑥 يساوي واحدًا. ومن ثم يمكننا أخذ هاتين القيمتين والتعويض بهما في المعادلتين الأصليتين، في إحداهما أو كلتيهما إذا أردتم. فلنعوض في المعادلة الأبسط، وهي هذه المعادلة. غير أن المعادلتين متساويتان تمامًا. فكل ما فعلناه هو نقل الحد 𝑥 إلى الطرف الأيمن. وبما أن 𝑦 تم عزله بالفعل، فلنستخدم ذلك الذي نقلناه بالفعل.

إذن، بالتعويض عن 𝑥 باثنين، يصبح لدينا سالب اثنين في اثنين، وهو ما يساوي سالب أربعة زائد ثلاثة، وهو ما يساوي سالب واحد. إذن عندما يساوي 𝑥 اثنين، فإن 𝑦 يساوي سالب واحد. والآن، نعوض عن 𝑥 بواحد. وبما أن سالب اثنين في واحد يساوي سالب اثنين، زائد ثلاثة يساوي موجب واحد. إذن نحصل على حل آخر للمعادلتين الآنيتين، وهو واحد، واحد.

وعليه، فإن حلول المعادلتين الآنيتين عبارة عن حلين هما: اثنان، سالب واحد، وواحد، واحد.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.