تم إلغاء تنشيط البوابة. يُرجَى الاتصال بمسؤول البوابة لديك.

فيديو الدرس: النقاط والمستقيمات والمستويات في الفضاء الرياضيات

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نحدد النقاط والمستقيمات والمستويات في الفضاء ونمثلها. سوف نتناول أيضًا خواص كل منها وعلاقته بالآخر. دعونا نبدأ بفهم كيفية تعريف هذه العناصر الثلاثة تعريفًا دقيقًا.

١٤:١٠

‏نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نحدد النقاط والمستقيمات والمستويات في الفضاء ونمثلها. سوف نتناول أيضًا خواص كل منها وعلاقته بالآخر. دعونا نبدأ بفهم كيفية تعريف هذه العناصر الثلاثة تعريفًا دقيقًا.

في الهندسة، النقطة هي موضع في الفضاء. وليس للنقطة شكل ولا أبعاد. لكن عندما نتعامل مع مفهوم النقطة، علينا تمثيلها بطريقة أو بأخرى. ومن ثم نمثلها بنقطة، وعادة ما نسميها بحرف. يمكننا أن نذهب أبعد من ذلك ونقول إننا يمكننا تحديد أي نقطتين في الفضاء. ويمكننا رسم خط مستقيم واحد فقط يصل بين هاتين النقطتين. يتيح لنا هذا تعريف المستقيم بأنه مجموعة متصلة من النقاط تمتد إلى ما لا نهاية في اتجاهين.

يمكننا تعريف هذا المستقيم الذي يصل بين ﺃ وﺏ بطرق عدة؛ مثلًا، ﺃﺏ أو ﺏﺃ حيث يوضع خط بطرفيه سهمان فوق الحرفين، أو باستخدام الكلمة «مستقيم» فقط ليكون «المستقيم ﺃﺏ» أو «المستقيم ﺏﺃ»، أو حتى بتسمية المستقيم بحرف واحد؛ المستقيم ﻝ على سبيل المثال. لاحظ أن المسافة بين أي نقطتين على المستقيم تسمى قطعة مستقيمة. وهذا يقودنا إلى التعريف الثالث المهم في هذا الفيديو؛ المستويات.

المستوى هو سطح ثنائي الأبعاد يمتد إلى ما لا نهاية في جميع الاتجاهات. وعادة ما نمثل المستوى بهذا الشكل. وتساعدنا أيضًا خاصية تعريف المستوى في تسمية المستويات. يوجد مستوى واحد فقط يمر عبر أي ثلاث نقاط ليست على استقامة واحدة. هذا يعني أنه إذا كانت النقاط ﺃ وﺏ وﺟ تقع في مستوى واحد، فيمكننا تعريف المستوى بأنه المستوى ﺃﺏﺟ أو المستوى ﺏﺃﺟ أو المستوى ﺟﺏﺃ. أو كما فعلنا في حالة المستقيم، يمكننا تسمية المستوى بحرف واحد؛ على سبيل المثال، المستوى ﺱ.

حسنًا، سنتناول الآن مثالًا نتدرب فيه على تحديد المستويات التي تمر بنقطتين معطاتين وتعريفها.

حدد ثلاثة مستويات تمر بالنقطتين ﺃ وﺏ.

لاحظ أن النقطتين ﺃ وﺏ تقعان في قاعدة هذا الشكل. المستويات التي تمر بالنقطتين ﺃ وﺏ ستمر أيضًا بالمستقيم ﺃﺏ. علينا أن نتذكر أنه يوجد مستوى واحد فقط يمر بأي ثلاث نقاط ليست على استقامة واحدة. لاحظ متى نستخدم التعبير «ليست على استقامة واحدة». إذا كانت النقاط الثلاثة على استقامة واحدة، فإنها تقع على نفس المستقيم. ويوجد عدد لا نهائي من المستويات التي تمر بثلاث نقاط على استقامة واحدة.

إذن، لإيجاد مستوى يمر بالنقطتين ﺃ وﺏ، علينا إيجاد نقطة أخرى لا تقع على هذا المستقيم، وحينها يمكن تعريف المستوى. دعونا نتناول النقطة ﺟ ونتخيل المستوى الذي يمر بالنقاط ﺃ وﺏ وﺟ. سيبدو المستوى بهذا الشكل. وهذا يعني أن أحد المستويات التي نبحث عنها هو في الواقع مستوى يحتوي على أحد أوجه هذا المنشور.

إحدى الطرق التي يمكننا بها تعريف المستوى هي استخدام ثلاث نقاط نعلم أنها تقع في المستوى. يمكننا إذن تسمية هذا المستوى بالمستوى ﺃﺏﺟ أو المستوى ﺃﺟﺏ. ويمكننا أيضًا تسمية المستوى بـ ﺃﺏﺩ.

دعونا الآن نر ما إذا كان بإمكاننا إيجاد مستوى آخر يمر بالنقطتين ﺃ وﺏ. يمكننا فعل ذلك عن طريق إيجاد نقطة أخرى. سنستخدم النقطة ﺏ شرطة. حسنًا، بما أننا نعلم أن ﺏ شرطة ليست على استقامة واحدة مع ﺃ وﺏ، يمكننا إذن تكوين مستوى آخر. يمكننا تعريف هذا المستوى بأنه المستوى ﺃﺏﺏ شرطة. نحن نعلم أننا نبحث عن ثلاثة مستويات تمر بالنقطتين ﺃ وﺏ. لذا، دعونا نر إذن إذا ما كان بإمكاننا إيجاد المستوى الثالث.

حسنًا، بما أننا أوجدنا مستوى يحتوي على قاعدة المنشور وآخر يحتوي على أحد جوانب المنشور، قد نفكر أن هناك مستوى آخر يمر بالنقطتين ﺃ وﺏ ويحتوي على جانب آخر من جوانب المنشور. وربما يوجد مستوى آخر يحتوي على الجانب الخلفي للمنشور. لكن إذا تخيلنا مستوى هنا، فسنجد أنه يحتوي على النقاط ﺃ وﺃ شرطة وﺩ شرطة، لكنه لا يحتوي على النقطة ﺏ. إذن، هذا ليس حلًّا.

في الواقع، المستوى الثالث الذي يحتوي على النقطتين ﺃ وﺏ سيبدو بهذا الشكل. هذا المستوى يحتوي بالفعل على النقاط ﺃ وﺏ وﺟ شرطة وﺩ شرطة. لذا، يمكننا تعريفه بأنه المستوى ﺃﺏﺟ شرطة، ويمكن أيضًا الإشارة إليه بالمستوى ﺃﺏﺩ شرطة. إذن، يمكننا قول إن الإجابة هي أن المستويات الثلاثة التي تمر بالنقطتين ﺃ وﺏ هي المستويات ﺃﺏﺟ وﺃﺏﺏ شرطة وﺃﺏﺟ شرطة.

حسنًا، لقد تناولنا حتى الآن ما نعنيه تحديدًا بالنقاط والمستقيمات والمستويات في الفضاء. والآن، دعونا نفكر في العلاقة التي تربط كلًّا منها بالآخر في الفضاء.

عند الحديث عن مستقيمين في الفضاء، توجد ثلاث علاقات ممكنة بين هذين المستقيمين، وهذه العلاقات تتحدد بناء على كون المستقيمين يتقاطعان أم لا.

دعونا نفكر أولًا في مستقيمين يقعان في المستوى نفسه. لدينا هنا مستقيمان يقعان في المستوى نفسه، ويتقاطعان. إذا كانا يتقاطعان مكونين زوايا قائمة، فيمكننا قول إن المستقيمين يتقاطعان بشكل متعامد. قد يكون لدينا أيضًا مستقيمان يقعان في المستوى نفسه ولا يتقاطعان، في هذه الحالة يكون هذان المستقيمان متوازيين. ولن يلتقيا أبدًا.

حسنًا، لقد اعتدنا وجود نوعين من العلاقات بين المستقيمات؛ إما أن تكون متقاطعة وإما لا. لكن في الفضاء، ثمة خيار آخر. هذه الأنواع من المستقيمات لا تقع في المستوى نفسه وهي غير متقاطعة. ويمكن تمثيلها على هذا النحو. هذان المستقيمان، ﻝ واحد وﻝ اثنين، يسميان بالمستقيمين المتخالفين. إنهما لا يقعان في المستوى نفسه ولا يتقاطعان؛ لأن المستقيم ﻝ واحد يوجد في مستوى أعلى رأسيًّا من المستقيم ﻝ اثنين. ولا يمكن أيضًا قول إنهما متوازيان؛ فالمستقيم ﻝ اثنين والمستقيم ﻝ واحد يكون كل منهما أقرب إلى الآخر عند نقاط مقارنة بنقاط أخرى. لاحظ أن المستقيمات المتخالفة لا يمكن أن توجد إلا في ثلاثة أبعاد.

والآن بعد أن ناقشنا العلاقة بين مستقيمين في الفضاء، دعونا نفكر في العلاقة بين المستقيم والمستوى. مرة أخرى، توجد ثلاث علاقات مختلفة ممكنة بين المستقيم والمستوى في الفضاء. العلاقة الأولى هي أن جميع النقاط التي تقع على المستقيم تقع أيضًا في المستوى. النوع الثاني من العلاقات بين المستقيم والمستوى هي التقاطع، وهما في هذه الحالة يتشاركان نقطة التقاطع؛ وهي نقطة مشتركة تقع على كل منهما. إذا كان المستقيم عموديًّا على المستوى، فيمكننا قول إن المستقيم والمستوى يتقاطعان عموديًّا.

هذا يقودنا إلى العلاقة الأخيرة؛ عندما لا يتقاطع المستقيم مع المستوى. لكن بالطبع نظرًا لأن المستقيم والمستوى يمتدان إلى ما لا نهاية في كلا الاتجاهين، فلا توجد إلا طريقة واحدة لا يمكن أن يكون بها المستقيم والمستوى متقاطعين. وهي أن يكون المستقيم والمستوى متوازيين.

سنتناول الآن المجموعة الأخيرة من العلاقات الممكنة، وهي العلاقات بين مستويين في الفضاء. كما رأينا في العلاقات الهندسية السابقة، توجد ثلاث علاقات ممكنة بين أي مستويين. أولًا، إذا كان المستويان يتشاركان جميع النقاط، فنقول إنهما منطبقان. ثانيًا، قد يكون لدينا مستويان متقاطعان. يمكننا تمثيل المستويات المتقاطعة على هذا النحو. وكما يوضح الشكل السفلي، قد يكون لدينا أيضًا مستويان يتقاطعان بشكل متعامد.

لاحظ أنه عند تقاطع مستويين، فإن تقاطعهما يكون دائمًا خطًّا مستقيمًا. وبالطبع، قد يكون لدينا مستويات غير متقاطعة. إذا لم يتقاطع مستويان، فلا بد أنهما متوازيان. ثمة ملاحظة أخيرة حول المستويات المتقاطعة، وهي أننا نتحدث هنا عن تقاطع مستويين فقط. لكن إذا تقاطعت ثلاثة مستويات، فيمكن أن تتقاطع في نقطة أو في خط مستقيم.

سنتناول الآن مثالًا علينا فيه تحديد العلاقة بين مستقيم ومستوى معطيين.

انظر الشكل الآتي، واختر الإجابة الصحيحة. الخيار أ: المستقيم يوازي المستوى. الخيار ب: المستقيم موجود داخل المستوى. الخيار ج: المستقيم يتقاطع مع المستوى.

في الشكل، نلاحظ أن لدينا مستوى مشارًا إليه بالحرف ﺱ، ومستقيمًا مشارًا إليه بالحرف ﻝ. يمتد المستقيم والمستوى إلى ما لا نهاية في جميع الاتجاهات. نلاحظ أيضًا أنه توجد نقطة، ﺃ، تقع في المستوى. لاحظ أن النقطة ﺃ تقع أيضًا على الخط المستقيم. حسنًا، بما أن المستوى والمستقيم يتشاركان في النقطة ﺃ، يمكننا قول إن المستقيم ﻝ يتقاطع مع المستوى. إذن، العبارة الصحيحة هي تلك المذكورة في الخيار ج. المستقيم يتقاطع مع المستوى.

لكن قبل أن ننتهي من هذا السؤال، ربما يجدر بنا التفكير فيما تبدو عليه الخيارات الأخرى بتمثيلها على الشكل. ينص الخيار أ على أن المستقيم يوازي المستوى. يمكن تمثيل مستقيم مواز لمستوى على هذا النحو. تذكر أن المستقيم والمستوى المتوازيين لا يتقاطعان مطلقًا. لكننا نعلم أنه في الشكل المعطى، المستقيم والمستوى يتقاطعان في النقطة ﺃ. إذن العبارة المذكورة في الخيار أ غير صحيحة.

في الخيار ب، لدينا عبارة تنص على أن المستقيم موجود داخل المستوى. قد يبدو المستقيم الموجود داخل مستوى بهذا الشكل. عندما يوجد مستقيم داخل مستوى، فإن كل نقطة على المستقيم تقع في المستوى أيضًا. وهنا ندرك مدى أهمية الطريقة التي رسم بها الشكل الأصلي. يشير الجزء المتقطع من المستقيم ﻝ إلى أن النقاط التي تقع على المستقيم لا تقع جميعها في المستوى ﺱ. إذن، العبارة الصحيحة هي تلك التي تنص على أن المستقيم يتقاطع مع المستوى.

يمكننا الآن تلخيص النقاط الرئيسية لهذا الفيديو. لقد بدأنا بتعريف النقطة على أنها موضع في الفضاء. وليس لها شكل ولا أبعاد. بعد ذلك، عرفنا المستقيم بأنه مجموعة من النقاط تمتد إلى ما لا نهاية في اتجاهين. يمكن تعريف المستوى بثلاث نقاط لا تقع على استقامة واحدة أو بمستقيمين متوازيين أو مستقيمين متقاطعين. ونقول إن مجموعة من النقاط مستوية معًا إذا كانت تقع في المستوى نفسه. وإذا لم تكن كذلك، يقال إنها غير مستوية معًا.

لأي مستقيمين يقعان في المستوى نفسه، العلاقات الممكنة هي أن يكونا متوازيين أو متقاطعين، بحيث يكونان زاوية فيما بينهما، أو متعامدين. لأي مستقيمين في الفضاء، العلاقات الممكنة هي أن يكونا متوازيين أو متقاطعين، بحيث يصنعان زاوية فيما بينهما، أو متعامدين أو متخالفين. لأي مستقيم ومستوى في الفضاء، العلاقات الممكنة هي أن يكونا متقاطعين، بحيث يكونان زاوية فيما بينهما، أو متعامدين، أو قد يقع المستقيم داخل المستوى أو موازيًا له.

وأخيرًا، علمنا أن أي مستويين من الممكن أن يتخذا الحالات الآتية. من الممكن أن يكونا منطبقين أو متوازيين أو متقاطعين في خط مستقيم، بحيث يصنعان زاوية فيما بينهما، أو متعامدين. وإذا كانت لدينا ثلاثة مستويات وليس مستويين فقط، فمن الممكن أن تتقاطع في نقطة واحدة أو في خط مستقيم.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.