فيديو السؤال: استخدام الصيغة المثلثية لمساحة المثلثات لحساب مساحة المعين الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

‏ﺃﺏﺟﺩ معين طول ضلعه ٢٤ سنتيمترًا وإحدى زواياه الداخلية قياسها ٧٩ درجة. أوجد مساحة المعين لأقرب جزء من المائة.

لنبدأ برسم ﺃﺏﺟﺩ. إنه معين، إذن جميع أضلاعه الأربعة متساوية في الطول. ونعلم من السؤال أن طولها يساوي ٢٤ سنتيمترًا. نعلم أيضًا أن قياس إحدى الزوايا الداخلية للمعين هو ٧٩ درجة. إذن، يبدو المعين على هذا الشكل. المطلوب منا هو إيجاد مساحة هذا المعين. المعين هو نوع خاص من أنواع متوازي الأضلاع. ويمكننا حساب مساحته باستخدام صيغة القاعدة مضروبة في الارتفاع العمودي. نحن نعلم طول قاعدة هذا المعين، لكننا لا نعرف ارتفاعه العمودي. يمكننا حساب ذلك باستخدام حساب المثلثات، لكن هناك طريقة أكثر فاعلية يمكننا استخدامها.

نتذكر أن قطري المعين يقسمانه إلى مثلثين متطابقين. ويمكننا إثبات ذلك باستخدام شرط التطابق بثلاثة أضلاع. في المثلثين ﺃﺏﺩ وﺟﺏﺩ، طول الضلع ﺏﺩ مشترك بين المثلثين. طول الضلع ﺃﺏ يساوي طول الضلع ﺟﺏ؛ حيث إنهما يمثلان ضلعين في المعين الأصلي. ولنفس السبب، طول ﺃﺩ يساوي طول ﺟﺩ. إذن، باستخدام شرط التطابق بثلاثة أضلاع، نكون قد أثبتنا أن المثلثين ﺃﺏﺩ وﺟﺏﺩ متطابقان. إذن، تكون مساحتا المثلثين متساويتين، وتكون كل مساحة نصف مساحة المعين ﺃﺏﺟﺩ.

لنتناول كيفية إيجاد مساحة أحد هذين المثلثين. يمكننا أن نتذكر الصيغة المثلثية لمساحة المثلث. في المثلث ﺃﺏﺟ؛ حيث تمثل ﺃ وﺏ وﺟ قياسات زوايا المثلث الثلاثة، وتمثل ﺃ شرطة وﺏ شرطة وﺟ شرطة أطوال الأضلاع المقابلة، تكون الصيغة المثلثية لمساحة المثلث هي نصف ﺃ شرطة ﺏ شرطة جا ﺟ. ليس من الضروري الانتباه المفرط للأحرف ﺃ شرطة وﺏ شرطة وﺟ. لكن علينا أن نتذكر أن الحرفين ﺃ شرطة وﺏ شرطة في الصيغة يمثلان طولي أي ضلعين، وأن ﺟ هو قياس الزاوية المحصورة بينهما. فهي الزاوية التي تقع بين هذين الضلعين.

بالرجوع إلى المعين، في المثلث ﺏﺟﺩ، نلاحظ أن لدينا طولي الضلعين ﺏﺟ وﺟﺩ، ونعلم قياس الزاوية المحصورة بينهما. إذن، بتطبيق الصيغة المثلثية لمساحة المثلث، نجد أن مساحة المثلث ﺏﺟﺩ تساوي نصفًا مضروبًا في ٢٤ مضروبًا في ٢٤ مضروبًا في جا ٧٩ درجة. وقد وضحنا من قبل سبب أن مساحة المعين ﺃﺏﺟﺩ تساوي ضعف مساحة كل مثلث. إذن، لدينا مساحة ﺃﺏﺟﺩ تساوي اثنين مضروبًا في نصف مضروبًا في ٢٤ مضروبًا في ٢٤ مضروبًا في ٧٩ جا درجة.

العامل اثنان والعامل نصف يلغي أحدهما الآخر، ويتبقى لدينا ٢٤ مضروبًا في ٢٤ مضروبًا في ٧٩ جا درجة. يمكننا الآن حساب ذلك باستخدام الآلة الحاسبة، والتأكد من ضبط الآلة الحاسبة على وضع الدرجات. هذا يعطينا العدد ٥٦٥٫٤١٧٢ وهكذا مع توالي الأرقام. مطلوب منا في السؤال تقريب الإجابة لأقرب جزء من المائة. إذن، علينا التقريب لأقرب منزلتين عشريتين، ما يعطينا ٥٦٥٫٤٢. إذن، بتذكر أن قطري المعين يقسمانه إلى مثلثين متطابقين، ثم تطبيق الصيغة المثلثية لمساحة مثلث، نجد أن مساحة هذا المعين لأقرب جزء من المائة تساوي ٥٦٥٫٤٢ سنتيمترًا مربعًا.