فيديو: فترات التزايُد والتناقُص‎

يوضح الفيديو كيفية دراسة سلوك الدالة، والعلاقة بين إشارة المشتقة الأولى للدالة أو ميل المماس للمنحنى وبين تزايُد أو تناقُص الدالة، وأمثلةً عليها.

١١:١٩

‏نسخة الفيديو النصية

دلوقتي هنتكلّم عن تزايُد وتناقُص الدالة.

هنلاحظ إنه دراسة سلوك الدالة يعني هندرس خواص منحنى الدالة، وفترات تزايُد وتناقُص الدالة. وهنلاحظ إنه فيه علاقة بين إشارة المشتقّة الأولى للدالة أو ميل المماس للمنحنى وبين تزايُد وتناقُص الدالة. هيظهر قدامي دلوقتي منحنى لدالة. هنبتدي ندرس سلوك الدالة وتزايُد وتناقُص الدالة في الفترات التالية. الفترة الأولى: أ ب. الفترة التانية: ب ج. الفترة التالتة: ج د. الفترة الرابعة: د ھ. والفترة الأخيرة: ھ و.

في الفترة الأولى، هنلاحظ إنه ميل المماس موجب. يعني المشتقّة الأولى للدالة موجبة. وبالتالي أقدر أقول: إنه د شرطة س أكبر من صفر. يعني الدالة هتكون تزايُدية. في الفترة ب ج، هنلاحظ إنه المشتقّة الأولى للدالة أو ميل المماس سالب. يعني د شرطة س أصغر من صفر. وبالتالي فإن الدالة هتكون تناقُصية. أمَّا في الفترة د ج، فهنلاحظ إنه المشتقّة الأولى للدالة أو ميل المماس د شرطة س هيكون موجب؛ أكبر من صفر. وبالتالي فإن الدالة تزايُدية. في الفترة د ھ، هنلاحظ إنه الدالة سالبة. وبالتالي فإن المشتقّة الأولى للدالة د شرطة س، أو ميل المماس هيساوي صفر. يعني المماس هيوازي محور السينات. في الفترة الأخيرة ھ و، هنلاحظ إنه المشتقّة الأولى للدالة، أو ميل المماس هيكون سالب. يعني د شرطة س أصغر من صفر. وبالتالي فإن الدالة هتكون تناقُصية.

وبالتالي لمَّا تكون المشتقّة الأولى للدالة د شرطة س أكبر من صفر يعني ميل المماس موجب، فإن الدالة هتكون تزايُدية. ولمَّا تكون المشتقّة الأولى للدالة د شرطة س أصغر من صفر يعني ميل المماس سالب، فإن الدالة هتكون تناقُصية.

دلوقتي هناخد مثال في الصفحة اللي جايّة. إذا كانت د س تساوي س أُس ستة، ناقص تلاتة س أُس خمسة، حدّد الفترة اللي تكون فيها الدالة تناقُصية.

طالما طلب في السؤال الفترة اللي هتكون فيها الدالة تناقُصية، يبقى لازم أبتدي الحلّ بإني أجيب المشتقّة الأولى للدالة: د شرطة س تساوي ستة س أُس خمسة، ناقص خمستاشر س أُس أربعة. عشان تكون الدالة تناقُصية، يبقى لازم المشتقّة الأولى للدالة د شرطة س أصغر من صفر. وبالتالي أقدر أقول: إنه ستة س أس خمسة، ناقص خمستاشر س أُس أربعة أصغر من صفر. هاخد تلاتة س أُس أربعة عامل مشترك، هيتبقّى عندي اتنين س ناقص خمسة أصغر من صفر. لمَّا يكون حاصل ضرب مقدارين أصغر من صفر، ده معناه إنه المقدار الأولاني هيكون موجب، والمقدار التاني سالب. أو المقدار الأولاني سالب والمقدار التاني موجب. عشان يكون حاصل ضربهم أصغر من صفر أو سالب.

وبالتالي أقدر أقول: إنه تلاتة س أُس أربعة أصغر من صفر. واتنين س ناقص خمسة أكبر من صفر. يعني س أصغر من صفر، وَ س أكبر من خمسة على اتنين. ولأن المقدار تلاتة س أُس أربعة ما ينفعش يكون أصغر من صفر؛ لأني لو عوّضت عن س بأيّ رقم سالب، فإن الأس الزوجي هيلغي الإشارة السالبة. ودايمًا المقدار هيكون أكبر من صفر. وبالتالي فهنرفض الحلّ ده.

الحلّ التاني: إن تلاتة س أُس أربعة تبقى أكبر من صفر، واتنين س ناقص خمسة أصغر من صفر. يعني س لا تساوي صفر، وَ س أصغر من خمسة على اتنين. وبالتالي أقدر أقول: إنه الفترة اللي هتكون فيها الدالة تناقُصية هي س أصغر من صفر، وَ س أكبر من صفر وأصغر من خمسة على اتنين.

هناخد مثال تاني في الصفحة اللي جايّة. مثال: أوجد فترات تزايُد وتناقُص الدالة: د س تساوي س أُس تلاتة، زائد تلاتة س أُس اتنين، ناقص تسعة س، زائد سبعة.

في البداية، بما إنه طلب في السؤال أجيب فترات تزايُد وتناقُص الدالة، يعني لازم الأول أجيب المشتقّة الأولى للدالة: د شرطة س. هتساوي تلاتة س أُس اتنين، زائد ستة س، ناقص تسعة. دلوقتي هجيب أصفار الدالة؛ عشان أجيب النقط الحرجة. والنقط الحرجة بتكون موجودة لمَّا تكون د شرطة س تساوي صفر. يعني تلاتة س أُس اتنين زائد ستة س ناقص تسعة تساوي صفر. هقسم طرفَي المعادلة على معامل س، اللي هو تلاتة. وبالتالي هحصل على س تربيع، زائد اتنين س، ناقص تلاتة تساوي صفر. معادلة تربيعية، هحلّلها لقوسين حاصل ضربهم يساوي صفر، كل قوس هيبتدي بِـ س. وأفكّر في رقمين حاصل ضربهم يساوي سالب تلاتة، ومجموعهم يساوي اتنين. والرقمين همّ تلاتة وواحد، عفوًا تلاتة وسالب واحد.

وبكده أقدر أقول: إنه س زائد تلاتة تساوي صفر، أو س ناقص واحد تساوي صفر. هطرح تلاتة من طرفَي المعادلة الأولى، هحصل على س تساوي سالب تلاتة. وهجمع واحد على طرفَي المعادلة التانية، هحصل على س تساوي واحد. وبكده أكون جِبت النقط الحرجة.

هيظهر قدامي دلوقتي خطّ الأعداد. هحدّد عليه النقط الحرجة. في الفترة س أصغر من سالب تلاتة، يعني مثلًا عند س تساوي سالب أربعة. فإن د شرطة لسالب أربعة هتساوي خمستاشر، يعني أكبر من صفر. وبالتالي فإن الدالة هتكون تزايُدية؛ لأنه د شرطة س هتكون أكبر من صفر.

في الفترة س أكبر من سالب تلاتة وأصغر من واحد، يعني مثلًا عند س تساوي صفر. فإن د شرطة لصفر هتساوي سالب تسعة؛ أصغر من صفر. يعني المشتقّة الأولى للدالة هتكون سالبة. وبالتالي فإن الدالة هتكون تناقُصية. وأخيرًا في الفترة س أكبر من واحد، يعني مثلًا عند س تساوي اتنين. فإنه المشتقّة الأولى للدالة د شرطة عند اتنين هتساوي خمستاشر؛ أكبر من صفر. وبالتالي فإن الدالة هتكون تزايُدية.

وبكده أقدر أقول: إنه الفترة س أصغر من سالب تلاتة الدالة هتكون تزايُدية، والفترة س أكبر من سالب تلاتة وأصغر من واحد، فإن الدالة هتكون تناقُصية. وأخيرًا الفترة س أكبر من واحد، فإن الدالة هتكون تزايُدية.

هناخد مثال تاني في الصفحة اللي جايّة. إذا كان د شرطة س تساوي س أُس اتنين على، س ناقص اتنين الكل أُس تلاتة، حدّد فترة تزايُد الدالة د س.

الشرط إن تكون الدالة تزايُدية هو إن د شرطة س تكون أكبر من صفر. في البداية، هنحدّد النقط الحرجة للدالة. النقط الحرجة هتكون موجودة لمَّا تكون د شرطة س تساوي صفر، أو المشتقّة الأولى للدالة د شرطة س تكون غير معرّفة. د شرطة س هتساوي صفر لمَّا البسط يساوي صفر، يعني لمَّا س تساوي صفر. ودي أول نقطة حرجة. وَ د شرطة س هتكون غير معرّفة لمَّا المقام هيساوي صفر، يعني لمَّا س ناقص اتنين تساوي صفر. هجمع اتنين على طرفَي المعادلة، هحصل على إن س تساوي اتنين. وبكده أكون جِبت النقط الحرجة.

هرسم خطّ الأعداد، وأوضّح عليه النقط الحرجة: ما لا نهاية، وسالب ما لا نهاية، واتنين، وصفر. هبتدي أدرس تزايُد وتناقُص الدالة في الفترات اللي قدامي. في الفترة الأولى لمَّا تكون س أصغر من صفر، يعني س سالبة، في الحالة دي لمَّا هعوّض عن س في البسط بقيمة سالبة، فهيطلع قيمة موجبة. يعني هيبقى موجب البسط. ولمَّا أعوّض عن س في المقام بقيمة سالبة، يعني مثلًا سالب واحد، فإن سالب واحد ناقص اتنين هيساوي سالب تلاتة. سالب تلاتة الكل أُس تلاتة، يعني هيساوي سالب سبعة وعشرين. فإن المقام هيساوي سالب. وبالتالي فإن البسط موجب والمقام سالب، يعني موجب على سالب هيساوي سالب. وبالتالي فإن الدالة هتكون تناقُصية؛ لأن د شرطة س هتكون أصغر من صفر.

في الفترة من صفر لاتنين، يعني هعوّض مثلًا عن س بواحد، لمَّا س هتساوي واحد، فإن البسط هيكون موجب؛ لأنه هيساوي واحد. والمقام هيكون سالب؛ لأن واحد ناقص اتنين هيساوي سالب واحد الكل أُس تلاتة. يعني هيساوي سالب واحد. موجب على سالب هيساوي سالب. وبالتالي فإن الدالة هتكون تناقُصية. يعني د شرطة س هتكون أصغر من صفر.

أخيرًا لمَّا هعوّض عن قيمة لِـ س بأكبر من اتنين، يعني مثلًا تلاتة، فإن البسط هيكون موجب والمقام هيكون موجب. لأنه تلاتة ناقص اتنين هيساوي واحد أس تلاتة، يعني واحد. وبالتالي موجب على موجب هيساوي موجب. وبالتالي فإن الدالة هتكون تزايُدية؛ لأن د شرطة س هتكون أكبر من صفر. وبالتالي أقدر أقول: إنه فترة التزايُد هي الفترة المفتوحة من اتنين لما لا نهاية، أو س أكبر من اتنين.

وبكده هنكون اتعلّمنا إزَّاي ندرس سلوك الدالة. يعني ندرس خواصّ منحنى الدالة، ونحدّد فترات تزايُد وتناقُص الدالة. وقلنا: إن فيه علاقة بين إشارة المشتقّة الأولى للدالة أو ميل المماس للمنحنى وبين تزايُد وتناقُص الدالة.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.