فيديو السؤال: تحليل اتزان قضيب منتظم يدور دورانًا حرًا حول مسمار عند نقطة تحت تأثير ازدواج على طرفيه الرياضيات

‏ﺃﺏ قضيب منتظم طوله ٦ سم. يدور هذا القضيب دورانًا حرًا حول مسمار أملس في فتحة صغيرة في القضيب عند النقطة ﺟ بين ﺃ وﺏ؛ حيث ﺃﺟ يساوي ٢ سم. كان القضيب يرتكز أفقيًا في حالة اتزان تحت تأثير قوتين مقدار كل منهما ٨ نيوتن، تؤثران على الطرفين بزاوية قياسها ٣٠° مع القضيب كما هو موضح في الشكل التالي. أوجد وزن القضيب ﻭ ومقدار رد فعل المسمار ﺭ.

٠٥:١٠

‏نسخة الفيديو النصية

‏‏ﺃﺏ قضيب منتظم طوله ستة سنتيمترات. يدور هذا القضيب دورانًا حرًا حول مسمار أملس في فتحة صغيرة في القضيب عند النقطة ﺟ بين ﺃ وﺏ؛ حيث ﺃﺟ يساوي سنتيمترين. كان القضيب يرتكز أفقيًا في حالة اتزان تحت تأثير قوتين مقدار كل منهما ثمانية نيوتن، تؤثران على الطرفين بزاوية قياسها ٣٠ درجة مع القضيب كما هو موضح في الشكل التالي. أوجد وزن القضيب ﻭ ومقدار رد فعل المسمار ﺭ.

بما أن القضيب في حالة اتزان، فإننا نعرف أن القوة المحصلة في الاتجاه الأفقي ﺱ تساوي صفرًا، وأن القوة المحصلة في الاتجاه الرأسي ﺹ تساوي صفرًا أيضًا. ومجموع العزوم حول أي نقطة على القضيب سيساوي صفرًا أيضًا. سنجعل الاتجاه الموجب للأفقي هو اتجاه اليمين، والاتجاه الرأسي سيكون لأعلى، وسيكون أيضًا عكس اتجاه دوران عقارب الساعة عند حساب العزوم حول نقطة ما. لدينا قوة رد فعل ﺭ تؤثر رأسيًا لأعلى عند النقطة ﺟ. وبما أن القضيب منتظم، فإن وزنه سيؤثر رأسيًا لأسفل عند مركز القضيب. سنسمي هذه النقطة ﻡ؛ حيث إنها نقطة منتصف القضيب، وهي تبعد ثلاثة سنتيمترات عن ﺃ.

إن القوتين اللتين تؤثران على ﺃ وﺏ تكونان ازدواجًا مستويًا. وهذا يعني أنهما متساويتان في المقدار، وهو في هذه الحالة ثمانية نيوتن، لكن اتجاه تأثير كل منهما عكس اتجاه الآخر. هذا يعني أنه عند تحليلهما رأسيًا وأفقيًا، تلغي كلتا القوتين إحداهما الأخرى. سنفرغ الآن بعض المساحة حتى نتمكن من كتابة المعادلات. سنبدأ بالتحليل رأسيًا. للقيام بذلك، علينا حساب المركبتين الرأسيتين للقوتين اللتين مقدارهما ثمانية نيوتن. وسنفعل ذلك باستخدام ما نعرفه عن حساب المثلثات القائمة الزاوية. إننا نعلم أن جيب الزاوية 𝜃 يساوي طول الضلع المقابل على طول الوتر.

القوة الرأسية عند النقطة ﺃ المسماة ﺱ تحقق المعادلة: جا ٣٠ درجة يساوي ﺱ على ثمانية. ونحن نعلم أن جا ٣٠ درجة يساوي نصفًا. بضرب كلا طرفي المعادلة في ثمانية، نحصل على ﺱ يساوي أربعة. إذن، القوة الرأسية لأسفل عند النقطة ﺃ تساوي أربعة نيوتن. لدينا المعادلة نفسها عند النقطة ﺏ. هذه المرة، جا ٣٠ درجة يساوي ﺹ على ثمانية. إذن ﺹ يساوي أربعة نيوتن أيضًا. توجد قوة تؤثر رأسيًا لأعلى عند النقطة ﺏ تساوي أربعة نيوتن. لدينا الآن أربع قوى تؤثر في الاتجاه الرأسي. وبما أن مجموع هذه القوى لا بد أن يساوي صفرًا، والاتجاه الموجب لأعلى، يصبح لدينا سالب أربعة زائد ﺭ ناقص ﻭ زائد أربعة يساوي صفرًا.

كما ذكرنا من قبل، ستلغي قوتا الازدواج المستوي إحداهما الأخرى. وبإضافة ﻭ إلى كلا الطرفين، نجد أن ﺭ يساوي ﻭ. إذن، قوة رد الفعل عند ﺭ وقوة الوزن عند ﻡ ستكونان ازدواجًا مستويًا آخر؛ حيث إنهما متساويتان في المقدار، ومتضادتان في الاتجاه. سنحسب الآن العزوم حول نقطة ما على القضيب. وفي هذه الحالة، سنختار النقطة ﺃ. نعلم أن مجموع العزوم يساوي صفرًا، وأن العزوم التي تؤثر عكس اتجاه دوران عقارب الساعة ستكون موجبة. عزم كل قوة يساوي القوة مضروبة في البعد العمودي. نبدأ بالقوة ﺭ. العزم هنا يساوي ﺭ مضروبًا في سنتيمترين.

بعد ذلك، لدينا قوة الوزن. العزم هنا يساوي ﻭ مضروبًا في ثلاثة. وهذه القيمة سالبة لأنه يتحرك في اتجاه دوران عقارب الساعة. وأخيرًا، لدينا القوة التي مقدارها أربعة نيوتن مضروبة في ستة سنتيمترات في الاتجاه الموجب. مجموع هذه العزوم الثلاثة يساوي صفرًا. هذا يعني أن المعادلة ستبسط إلى: اثنان ﺭ ناقص ثلاثة ﻭ زائد ٢٤ يساوي صفرًا. وبما أن ﺭ يساوي ﻭ، يمكن إعادة كتابة هذه المعادلة على الصورة: اثنان ﻭ ناقص ثلاثة ﻭ زائد ٢٤ يساوي صفرًا. بتجميع الحدود المتشابهة، نحصل على: سالب ﻭ زائد ٢٤ يساوي صفرًا.

وأخيرًا، بإضافة ﻭ إلى كلا الطرفين، نحصل على: ﻭ يساوي ٢٤. إذن، وزن القضيب يساوي ٢٤ نيوتن، ومقدار رد فعل المسمار ﺭ هو ٢٤ نيوتن أيضًا.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.