فيديو السؤال: إيجاد مجال دالة كسرية ومداها بمعلومية تمثيلها البياني الرياضيات

‏نسخة الفيديو النصية

أوجد مجال الدالة دﺱ تساوي سالب واحد على ﺱ ناقص خمسة، ومداها.

لدينا تمثيل بياني للدالة دﺱ، وسنلاحظ كيف يرتبط مجال الدالة ومداها بتمثيلها البياني، وكيف يمكننا في بعض الحالات قراءة مجال الدالة ومداها من تمثيلها البياني. علينا إيجاد مجال الدالة ومداها، لكن دعونا نبدأ الآن بالمجال وتعريفه.

المجال هو مجموعة مدخلات للدالة دﺱ. نحن نفكر في دوال لها تمثيلات بيانية، ومن ثم فإن القيمة المدخلة إلى الدالة يجب أن تكون بالتأكيد عددًا حقيقيًّا. إذن، المجال هو مجموعة جزئية من الأعداد الحقيقية. ولأننا ليس لدينا أي معطيات عن مجال الدالة، نفترض أنه علينا أن نجعله كبيرًا قدر الإمكان ضمن الأعداد الحقيقية.

لا يمكننا جعل المجال يساوي مجموعة الأعداد الحقيقية فحسب. لكن يجب أن تكون الدالة معرفة لكل عنصر في مجالها. وعليه، فمن الأفضل أن نبدأ بالأعداد الحقيقية، ثم نحذف أي قيمة لـ ﺱ تكون الدالة دﺱ غير معرفة عندها.

وفقًا لتعريف الدالة، هل يمكنك معرفة كيف يمكن أن تكون قيمة دﺱ غير معرفة؟ حسنًا، إحدى طرق ذلك هي القسمة على صفر. لذا، تكون الدالة دﺱ غير معرفة عندما يكون مقام الدالة، أي ﺱ ناقص خمسة، يساوي صفرًا. ويتحقق ذلك عندما تكون قيمة ﺱ هي خمسة.

بالنظر إلى التمثيل البياني قليلًا، يمكننا ملاحظة أمر ما عند ﺱ يساوي خمسة. يوجد خط تقارب رأسي للتمثيل البياني. وبالنظر إلى خط التقارب هذا، حتى دون معرفة المعادلة التي تعرف الدالة، سنلاحظ أن الدالة غير معرفة لقيمة ﺱ هذه؛ لأن أي محاولة لقراءة قيمة الدالة ستبوء بالفشل.

هل هناك مزيد من قيم ﺱ تكون الدالة غير معرفة عندها؟ عندما نلقي نظرة على التمثيل البياني، لا نلاحظ أي خطوط تقارب رأسية أخرى. كما لا يمكننا ملاحظة أي دوائر مفرغة على التمثيل البياني، والتي قد تمثل نقاطًا تكون الدالة غير معرفة عندها. وإذا افترضنا أننا نحرك مستقيمًا رأسيًّا على طول المحور ﺱ من سالب ∞ إلى ∞، فإن قيمة ﺱ الوحيدة التي لا يتقاطع عندها هذا المستقيم مع منحنى الدالة هي قيمة ﺱ التي حصلنا عليها بالفعل، وهي ﺱ يساوي خمسة. وبذلك، فإن مجموعة ﺱ هذه التي تكون الدالة دﺱ غير معرفة عندها، هي المجموعة خمسة فقط. وعليه، فإن مجال الدالة هو مجموعة الأعداد الحقيقية ناقص المجموعة خمسة فقط.

والآن بعد أن أوجدنا مجال الدالة، نفرغ بعض المساحة لإيجاد مدى الدالة. مدى الدالة هو مجموعة مخرجات هذه الدالة. ولأننا نتناول تمثيلًا بيانيًّا، نعرف أن المدى سيكون مجموعة جزئية من مجموعة الأعداد الحقيقية، وربما يكون مجموعة الأعداد الحقيقية بأكملها. نحن لا نعلم ذلك حتى الآن. ويمكننا استخدام التمثيل البياني ليساعدنا في ذلك.

افترض أنك تريد توضيح أن العدد أربعة يقع في مدى الدالة. حسنًا، هذا يعني إيجاد نقطة على التمثيل البياني يكون الإحداثي ﺹ لها هو أربعة. ولإيجاد هذه النقطة، إذا كانت موجودة، نرسم المستقيم ﺹ يساوي أربعة، ونبحث عن أي تقاطعات مع المنحنى. يمكننا ملاحظة أن هناك تقاطعًا. إذن، توجد قيمة لـ ﺱ أصغر من خمسة قليلًا عند التعويض بها في الدالة دﺱ، فإننا نحصل على قيمة مخرجة أو قيمة لـ ﺹ تساوي أربعة. ومن ثم، فإن العدد أربعة يقع في المدى.

يمكننا أن نتخيل أن هذا المستقيم الأفقي الذي معادلته حاليًّا ﺹ يساوي أربعة، يتحرك أعلى المحور ﺹ وأسفله. قيم ﺹ التي يتقاطع عندها هذا المستقيم مع المنحنى تقع في المدى، وقيم ﺹ التي لا يتقاطع عندها هذا المستقيم مع المنحنى لا تقع في المدى.

يمكننا ملاحظة أن المحور ﺱ، الذي معادلته ﺹ يساوي صفرًا، لا يتقاطع مع المنحنى عند أي نقطة، ومن ثم فإن القيمة صفرًا لا تقع في المدى. لكن بالنسبة إلى كل قيمة أخرى لـ ﺹ، يتقاطع هذا المستقيم مع المنحنى عند نقطة ما، إذن، المدى هو مجموعة الأعداد الحقيقية بالكامل باستثناء القيمة صفر. بذلك نكون قد توصلنا إلى الإجابة النهائية، وهي أن المجال هو مجموعة الأعداد الحقيقية ناقص المجموعة خمسة، أي مجموعة الأعداد الحقيقية كلها فيما عدا خمسة، والمدى هو مجموعة الأعداد الحقيقية ناقص المجموعة صفر، أي مجموعة الأعداد الحقيقية كلها فيما عدا صفرًا.

نلاحظ وجود إشارة السالب هنا. ولكن هذا لا يعني أننا نجري عملية طرح كطرح الأعداد، بل نطرح مجموعات. وطرح المجموعات عملية تختلف عن طرح الأعداد العادي. وولذا يجب أن ننتبه عند استخدام إشارة السالب في سياق المجموعات لتجنب الالتباس مع عملية الطرح العادية للأعداد.

قد تتمكن من إيجاد مجال هذه الدالة ومداها بالتفكير فيها على أنها تحويل لدالة المقلوب دﺱ يساوي واحدًا على ﺱ. تذكر أننا أوجدنا أن مجال الدالة هو مجموعة الأعداد الحقيقية ناقص مجموعة قيم ﺱ التي يكون مقام الدالة عندها صفرًا. وهذه حقيقة عامة بشأن الدوال الكسرية، وهي دوال في صورة كسور يكون فيها كل من البسط والمقام كثيرة حدود. وفي هذه الحالة، يكون مجال الدالة الكسرية المعنية هو مجموعة الأعداد الحقيقية ناقص مجموعة أصفار كثيرة الحدود في المقام. لقد أوجدنا المدى باستخدام طريقة التمثيل البياني وتخيل وجود مستقيم أفقي يتحرك لأعلى ولأسفل عند المحور ﺹ. لكن، يمكننا إيجاد المدى باستخدام الطرق الجبرية. وسيخصص باقي الفيديو لتوضيح كيفية ذلك. إذا كنت مكتفيًا بطريقة التمثيل البياني، فلا بأس من تخطي هذا الجزء.

ما قيم ﻙ الموجودة في المدى؟ حسنًا، إنها تلك القيم المخرجة للدالة، لذا، فهي تساوي سالب واحد على ﺱ ناقص خمسة لقيمة ما من قيم ﺱ المدخلة. إذن، لتوضيح أن قيمة ﻙ تقع في المدى، علينا توضيح أن هناك قيمة لـ ﺱ يكون ﻙ عندها يساوي سالب واحد على ﺱ ناقص خمسة. ويمكننا توضيح أنه توجد هذه القيمة لـ ﺱ عن طريق إيجاد صيغة لـ ﺱ بدلالة ﻙ.

إذن، نحن نريد إعادة ترتيب هذه المعادلة لجعل ﺱ المتغير التابع. نضرب الطرفين في ﺱ ناقص خمسة، ثم نقسم الطرفين على ﻙ لنحصل على ﺱ ناقص خمسة يساوي سالب واحد على ﻙ. وبإضافة خمسة إلى الطرفين، نجد أن ﺱ يساوي خمسة ناقص واحد على ﻙ. إذن، عندما تكون هذه القيمة لـ ﺱ قيمة مدخلة للدالة، فإننا نحصل على قيمة مخرجة مقدارها ﻙ.

على سبيل المثال، إذا أردنا توضيح أن سالب ١٧ يقع في المدى، فإنه علينا التعويض بقيمة ﻙ فقط. وعليه، فإن ﺱ يساوي خمسة ناقص واحد على سالب ١٧ ، وهو ما يساوي ٨٦ على ١٧ . إذا عوضنا بذلك في الدالة، فسنجد أنه لدينا ﺩ ٨٦ على ١٧ ، وعند التعويض، فإن هذا يساوي سالب واحد على ٨٦ على ١٧ ناقص خمسة، وهو ما يبسط إلى سالب ١٧ . إذن، يتضح أن سالب ١٧ قيمة مخرجة للدالة، ومن ثم فهي تقع في المدى. وبالمثل، يمكننا توضيح أن أي عدد آخر يقع في المدى باستثناء ﻙ يساوي صفرًا بالطبع.

لا يمكن أن تكون قيمة ﻙ هي صفرًا؛ لأن لدينا هذا الحد واحد على ﻙ، لذا لا يمكننا إيجاد قيمة مدخلة لـ ﺱ تعطينا قيمة مخرجة لـ ﻙ تساوي صفرًا. وعليه، فإن صفرًا لا يقع في المدى. وهذه هي القيمة الحقيقية الوحيدة لـ ﻙ التي نواجه فيها هذه المشكلة. إذن، نجد أن المدى، كما عرفنا باستخدام التمثيل البياني، هو مجموعة الأعداد الحقيقية ناقص المجموعة صفر.