نسخة الفيديو النصية
المنحنيان الموضحان هما ﺹ يساوي واحدًا على ﺱ، وﺹ يساوي واحدًا على ﺱ تربيع. ما مساحة الجزء المظلل؟ اكتب إجابة دقيقة.
نتذكر أن المساحة ﻡ هي مساحة الجزء الذي يحده المنحنيان ﺹ يساوي ﺩﺱ، وﺹ يساوي ﺭﺱ، والخطان الرأسيان ﺱ يساوي ﺃ وﺱ يساوي ﺏ. ﺩ وﺭ دالتان متصلتان. ودائمًا ما تكون ﺩﺱ أكبر من أو تساوي ﺭﺱ في الفترة المغلقة من ﺃ إلى ﺏ. هذه المساحة تساوي التكامل المحدد بين ﺃ وﺏ لـ ﺩﺱ ناقص ﺭﺱ بالنسبة إلى ﺱ. علينا إذن تحديد الدالتين ﺩﺱ وﺭﺱ بحرص. وبالطبع، علينا إيجاد قيمتي ﺃ وﺏ، مع التأكد من أن ﺩﺱ أكبر من أو تساوي ﺭﺱ في الفترة المغلقة من ﺃ إلى ﺏ.
يحدد الخطان ﺱ يساوي ﺃ وﺱ يساوي ﺏ بداية الجزء المظلل ونهايته. بإضافة هذين الخطين الرأسيين إلى الرسم، نلاحظ أن معادلتيهما هما ﺱ يساوي ٠٫٥ وﺱ يساوي واحدًا، على الترتيب. يمكننا إذن القول إن ﺃ يساوي ٠٫٥ وﺏ يساوي واحدًا في هذا المثال. في الفترة المغلقة من ٠٫٥ إلى واحد، نلاحظ أن الدالة الموجودة في الأعلى هي الدالة المحددة بالخط الأحمر. فهل هذه هي الدالة واحد على ﺱ أم الدالة واحد على ﺱ تربيع؟ يمكننا استنتاج أنها ربما تكون الدالة واحد على ﺱ تربيع. لكن، دعونا نتأكد من خلال اختيار زوج إحداثي والتعويض بهاتين القيمتين.
نلاحظ أن الخط الأحمر يمر بالنقطة التي إحداثياتها ٠٫٥، أربعة. لذا، هيا نعوض بـ ﺱ يساوي ٠٫٥ في المعادلة ﺹ يساوي واحدًا على ﺱ تربيع. عندما نفعل ذلك، نجد أن ﺹ يساوي واحدًا على ٠٫٥ تربيع. حسنًا، ٠٫٥ تربيع يساوي ٠٫٢٥. وواحد مقسومًا على ٠٫٢٥ يساوي أربعة، كما هو مطلوب. إذن، الخط الأحمر تمثله المعادلة ﺹ يساوي واحدًا على ﺱ تربيع. ويمكننا أن نجعل ﺩﺱ يساوي واحدًا على ﺱ تربيع، وﺭﺱ يساوي واحدًا على ﺱ.
وبذلك تكون مساحة الجزء المظلل هي التكامل المحدد لواحد على ﺱ تربيع ناقص واحد على ﺱ بين ٠٫٥ وواحد. لا يتبقى لنا سوى إيجاد قيمة هذا التكامل المحدد. سيكون هذا أسهل قليلًا إذا أعدنا كتابة واحد على ﺱ تربيع على الصورة ﺱ أس سالب اثنين ثم تذكرنا بعض النتائج القياسية. لحساب تكامل ﺱ أس سالب اثنين، نضيف واحدًا إلى الأس، ثم نقسم على هذا الأس الجديد. إذن، هذا يساوي ﺱ أس سالب واحد مقسومًا على سالب واحد، وهو ما يساوي سالب واحد على ﺱ. لكن تكامل واحد على ﺱ يساوي اللوغاريتم الطبيعي للقيمة المطلقة لـ ﺱ.
وعليه، فإن المساحة تساوي سالب واحد على ﺱ ناقص اللوغاريتم الطبيعي للقيمة المطلقة لـ ﺱ بين ٠٫٥ وواحد. نعوض بهذين الحدين. فنحصل على سالب واحد على واحد ناقص اللوغاريتم الطبيعي لواحد ناقص سالب واحد على ٠٫٥ ناقص اللوغاريتم الطبيعي لـ ٠٫٥. لاحظ أنه بما أن واحدًا و٠٫٥ موجبان بالفعل، فلا يهم تضمين علامة القيمة المطلقة في هذا الجزء من الحل. اللوغاريتم الطبيعي لواحد هو صفر. إذن، نحصل على سالب واحد ناقص صفر ناقص سالب اثنين ناقص اللوغاريتم الطبيعي لنصف.
تذكر أننا نريد إجابة دقيقة. لذا، علينا التصرف بذكاء قليلًا مع اللوغاريتم الطبيعي لنصف. نبدأ بتوزيع الأقواس. فنحصل على سالب واحد زائد اثنين زائد اللوغاريتم الطبيعي لنصف، وهو ما يساوي واحدًا زائد اللوغاريتم الطبيعي لنصف. إنها مهارة مهمة للغاية أن تعرف متى يمكن تبسيط حد لوغاريتمي. نكتب هنا نصفًا على الصورة اثنين أس سالب واحد. ونستخدم حقيقة أن اللوغاريتم الطبيعي لـ ﺃ أس ﺏ هو نفسه ﺏ في اللوغاريتم الطبيعي لـ ﺃ. نحصل إذن على مساحة الجزء المظلل، وهي تساوي واحدًا ناقص اللوغاريتم الطبيعي لاثنين وحدة مربعة.