نسخة الفيديو النصية
أي الخطوط الموضحة على التمثيل البياني يمثل بصورة صحيحة كيفية تغير السرعة الخطية لجسم دوار بتغير نصف قطر المسار الدائري الذي يتبعه الجسم؟ اعتبر أن القوة الجاذبة المركزية المؤثرة على الجسم لا تتغير بتغير نصف قطر المسار الدائري. أ: الأحمر، ب: الرمادي، ج: الأزرق، د: البرتقالي.
نرى في الشكل هذه الخطوط الأربعة الملونة الموضحة على التمثيل البياني، والتي توضح لنا السرعة الخطية للجسم المتحرك مقابل نصف قطر المسار الدائري لهذا الجسم. دعونا نفرغ بعض المساحة الآن لنتمكن من رسم ما قد تبدو عليه هذه الحالة. دعونا نفترض أن لدينا مسارًا دائريًّا مثل هذا. إذا تبع جسم ما هذا المسار، سنتمكن من رسم سرعته الخطية عند أي لحظة، وسنرمز لها بالرمز 𝑣. ويمكننا أيضًا رسم مسافة نصف القطر لهذا الجسم من مركز المسار الدائري؛ وسنرمز لها بالرمز 𝑟. يربط التمثيل البياني لدينا السرعة الخطية، التي رمزنا لها بالرمز 𝑣، بنصف القطر 𝑟.
والآن، ماذا إذا تحرك الجسم على هذا المسار الدائري الثاني بدلًا من المسار الدائري الأول هذا؟ بسبب هذا التغير، ازداد نصف قطر الدائرة التي يتحرك الجسم حولها. وعلينا اختيار المنحنى الذي يوضح لنا كيفية تغير السرعة الخطية 𝑣 بتغير 𝑟، من بين المنحنيات الأربعة الموضحة على التمثيل البياني. ثمة دليل يساعدنا في فعل ذلك مذكور في هذه العبارة؛ ومن ثم، سنفترض أن القوة الجاذبة المركزية المؤثرة على الجسم لا تتغير بغض النظر عن نصف قطر المسار الدائري الذي يتحرك فيه. بالنسبة لجسم ما، مثل الجسم الذي لدينا، يتحرك في مسار دائري نصف قطره 𝑟 بسرعة خطية 𝑣، فإن القوة المتجهة إلى المركز التي تؤثر على ذلك الجسم، والتي تسمى أيضًا بالقوة الجاذبة المركزية، تساوي، وفقًا لقانون نيوتن الثاني للحركة، كتلة هذا الجسم مضروبة في عجلته المركزية.
يمكننا أن نوجد العجلة المركزية، 𝑎𝑐، بطرق مختلفة. وتتضمن إحدى طرق إيجادها السرعة الخطية 𝑣 للجسم الذي يتحرك في مسار دائري، ونصف القطر 𝑟 للمسار الدائري لهذا الجسم. ويمكننا التعويض بهذا التعبير لإيجاد 𝑎𝑐 في تعبير لإيجاد القوة الجاذبة المركزية، 𝐹𝑐. وعليه، أصبح لدينا معادلة لإيجاد القوة الجاذبة المركزية بدلالة السرعة الخطية 𝑣 ونصف قطر المسار الدائري للجسم 𝑟.
والآن، نعلم من معطيات السؤال أن القوة الجاذبة المركزية المؤثرة على الجسم لا تتغير بتغير نصف قطر الدائرة التي يتحرك الجسم حولها. ومن ثم، ما يمكننا كتابته هو أن القوة الجاذبة المركزية التي تؤثر على الجسم الدوار تساوي ثابتًا سنرمز له بالرمز 𝑐. وهذا يعني أنه بغض النظر عن قيمة 𝑟، فإن تلك القيمة ترتبط بطريقة ما بـ 𝑣 تربيع بحيث يكون هذا الكسر قيمة ثابتة. وإذا ضربنا هذا الكسر في كتلة الجسم، وهي قيمة ثابتة أيضًا، سنحصل على الثابت الذي رمزنا له بالرمز 𝑐.
والآن، دعونا نركز فقط على هذا الجزء من المعادلة. ودعونا نفترض أننا نقسم طرفي هذه المعادلة على كتلة الجسم 𝑚. ونلاحظ أن الكتلة ستحذف في الطرف الأيسر، وسنحصل في الطرف الأيمن على الثابت 𝑐 مقسومًا على القيمة الثابتة 𝑚. وثابت مقسوم على ثابت يساوي ثابتًا. ودعونا نرمز لهذا الثابت الجديد بالرمز 𝑘. في هذه المعادلة، لدينا السرعة الخطية 𝑣، التي تتغير بالفعل بتغير 𝑟، ولدينا 𝑟، الذي نعلم أنه يمكن أن يتغير، ولدينا الثابت 𝑘. وإذا ضربنا طرفي المعادلة في نصف القطر 𝑟، فسيلغى 𝑟 في الطرف الأيسر. ونحصل على 𝑣 تربيع تساوي ثابتًا مضروبًا في 𝑟. وهذا يعني أننا أوشكنا على التوصل إلى معادلة لإيجاد السرعة الخطية 𝑣 بدلالة نصف القطر 𝑟.
إذا أخذنا الجذر التربيعي لطرفي هذا التعبير، فسيحذف كل من الجذر التربيعي والمربع في الطرف الأيسر. وفي الطرف الأيمن، لدينا الجذر التربيعي لثابت، والذي يساوي أيضًا ثابتًا مضروبًا في الجذر التربيعي لـ 𝑟. ويمكننا أخيرًا أن نقول إننا استنتجنا الآتي. السرعة الخطية 𝑣 للجسم أثناء تحركه في مسار دائري تتناسب طرديًّا مع الجذر التربيعي لنصف قطر ذلك المسار. وهذا يعني أنه أيًّا كان المنحنى الصحيح الذي سنختاره من بين المنحنيات الأربعة، فسيكون له شكل الخط 𝑦 يساوي الجذر التربيعي لـ 𝑥 نفسه.
في هذه الحالة، القيمة التي على المحور الرأسي ليست 𝑦 بل 𝑣. والقيمة التي على المحور الأفقي ليست 𝑥 بل 𝑟. وبالنظر إلى قيم 𝑟 الممكنة، نجد أنه إذا كان 𝑟 يساوي صفرًا، وبما أن الجذر التربيعي لصفر يساوي صفرًا، فإن 𝑣 ستساوي صفرًا أيضًا. ومن ثم، يمكننا استبعاد المنحنى الأحمر من الخيارات. وذلك لأن المنحنى الصحيح لا بد أن يمر بنقطة الأصل عند النقطة صفر، صفر. وبالنظر إلى المنحنى الرمادي في التمثيل البياني، نلاحظ أنه منحنى خطي. وأنه لا يتفق مع شكل المنحنى 𝑦 يساوي الجذر التربيعي لـ 𝑥. ومن ثم، سنستبعد هذا الخط الرمادي.
وبمقارنة المنحنيين المتبقيين، وهما البرتقالي والأزرق، نجد أن الخط البرتقالي تزداد قيمته بمعدل تزايدي بزيادة قيمة 𝑟. ومن ناحية أخرى، تبدو أن قيمة الخط الأزرق تزداد أيضًا، ولكن، بمعدل تناقصي. ويتسق شكل الخط الأزرق مع شكل الخط 𝑦 يساوي الجذر التربيعي لـ 𝑥. وهذا يتفق مع الصورة العامة للدالة 𝑣 تتناسب طرديًّا مع الجذر التربيعي لـ 𝑟. إذن، من بين الخطوط الأربعة الموضحة على التمثيل البياني، نجد أن الخط الأزرق هو الذي يمثل السرعة الخطية للجسم مقابل نصف قطره. ومن ثم، نختار الخيار ج.
