نسخة الفيديو النصية
أي من الآتي يوضح التمثيل البياني للدالة ﺹ تساوي جا اثنين ﺱ؟
سنتناول كل تمثيل من التمثيلات البيانية الخمسة المعطاة لتحديد أي منها يحتوي على التحويلات التي تناظر الدالة ﺹ تساوي جا اثنين ﺱ. في البداية، علينا أن نتذكر التحويلات المختلفة للدالة الأصلية ﺹ، أو ﺩﺱ، تساوي الدالة جا ﺱ. تسمى الفئة الأولى من التحويلات بالانتقال أو الإزاحة. الإزاحة الرأسية لأعلى أو لأسفل بمقدار ﺃ من الوحدات تعطى من خلال ﺩﺱ زائد ﺃ، أما الإزاحة الأفقية إلى اليسار أو اليمين بمقدار سالب ﺏ من الوحدات فتعطى من خلال ﺩﺱ زائد ﺏ.
قد يصعب نوعًا ما تخيل هذا النوع من الانتقال؛ لذا سنتناول مثالين سريعًا. الترميز ﺩﺱ زائد ثمانية يشير إلى إزاحة إلى اليسار بمقدار ثمانية، والترميز ﺩﺱ ناقص ثمانية يشير إلى إزاحة إلى اليمين بمقدار ثمانية. النوع الثالث من التحويلات هو التمدد الرأسي أو تغير السعة. لعلنا نتذكر أن السعة القياسية لدالة الجيب هي واحد. ولذا إذا ضربنا الدالة في معامل القياس ﺟ، فإننا نحصل على سعة جديدة تساوي القيمة المطلقة لـ ﺟ. النوع الأخير من التحويلات الذي سنتناوله هو التمدد الأفقي، والذي يشار إليه أيضًا بالتغير في طول الدورة. نتذكر أن طول دورة دالة الجيب الأصلية هو ٣٦٠ درجة. إذا كان لدينا ﺩﻙ مضروبًا في ﺱ، فهذا يعني أن طول الدورة مضروب في معامل قياس مقداره واحد على ﻙ.
سنفكر الآن في التحويل الذي نحصل عليه من خلال الدالة ﺹ تساوي جا اثنين ﺱ. إذا بدأنا بـ جا ﺱ يساوي ﺩﺱ، فمن المفترض أن نتمكن من إيجاد قيمة جا اثنين ﺱ. بالتعويض عن ﺱ باثنين ﺱ، نجد أن جا اثنين ﺱ يساوي ﺩ لاثنين ﺱ، وهو ما نعرفه على أنه تغير في طول الدورة. في هذه الحالة، ﻙ يساوي اثنين. إذن، معامل القياس المطبق على طول الدورة هو واحد على اثنين. ومن ثم على الرغم من أن السعة لم تتغير، فإن طول الدورة الأصلي، وهو ٣٦٠، ضرب في نصف. لذا، نحن نبحث عن منحنى دالة الجيب التي يبلغ طول دورتها ١٨٠ درجة.
سنتناول الآن الخيار أ. يبدو أن هذه هي دالة الجيب الأصلية؛ حيث السعة تساوي واحدًا، وطول الدورة يبلغ ٣٦٠، وقد حددناه باللون الأزرق. نحدد نقاط الإحداثيات الخمس المألوفة بين صفر و٣٦٠؛ حيث ﺱ يساوي قياس زاوية بالدرجات، ﺹ يساوي جا ﺱ. سنبحث عن هذه النقاط الخمس في التمثيلات البيانية الأخرى لدالة الجيب لتحديد إذا ما كان هناك تغير في طول الدورة أو أي تحويلات أخرى. نستبعد الخيار الأول؛ لأنه تمثيل بياني لدالة الجيب الأصلية دون تغير في طول الدورة.
بالانتقال إلى الخيار ب، يمكننا تتبع دورة واحدة لدالة الجيب، بدءًا من النقطة التي إحداثياتها ٩٠، صفر. يحدث هذا عندما تكون لدينا قيمة ﺏ تساوي سالب ٩٠، وهو ما يؤدي إلى حدوث إزاحة أفقية مقدارها موجب ٩٠. نلاحظ أن جميع النقاط الخمس قد أزيحت إلى اليسار بمقدار ٩٠ درجة. تحافظ هذه الإزاحة الأفقية على طول الدورة الذي يبلغ ٣٦٠ درجة. إذن هذه ليست الدالة التي نبحث عنها. ولذا نستبعد الخيار ب وننتقل إلى الخيار ج.
أول ما نلاحظه في الخيار ج هو التغير في طول الدورة. نقص طول الدورة، لكن علينا تحديد إذا ما كان قد أصبح ١٨٠ درجة أم لا. إذا حددنا دورة واحدة من منحنى دالة الجيب هذا بين سالب ٣٠ درجة و٩٠ درجة، فسنجد أن طول الدورة يساوي ١٢٠ درجة. لذا نستبعد هذا الخيار بناء على حقيقة أن طول الدورة ليس هو طول الدورة المطلوب الذي يبلغ ١٨٠ درجة. يبدو أيضًا أن منحنى دالة الجيب هذا قد تمت إزاحته بمقدار ٣٠ درجة إلى اليمين.
بالانتقال إلى الخيار د، نلاحظ تغيرًا آخر في طول الدورة. نتتبع دورة واحدة من منحنى دالة الجيب هذا، التي طولها يساوي ١٨٠ درجة. يشير هذا إلى تغير في طول الدورة بمعامل قياس يساوي نصفًا، وهو ما يعني أن ﻙ يساوي اثنين. هذا هو التمثيل البياني لـ ﺩ لاثنين ﺱ، وهي الدالة ﺹ تساوي جا اثنين ﺱ.
للتأكد من أننا قد تناولنا جميع الخيارات، دعونا نلق نظرة على الخيار هـ. أول ما نلاحظه هو أن منحنى دالة الجيب هذا لم يعد متماثلًا حول المحور ﺱ. في هذه الحالة، لدينا إزاحة رأسية مقدارها ﺃ يساوي واحدًا. إذن يظل طول الدورة والسعة كما هما، لكن جميع النقاط تزاح لأعلى بمقدار وحدة واحدة. وبسبب الإزاحة الرأسية وعدم تغير طول الدورة في الخيار هـ، يمكننا استبعاد هذا الخيار من القائمة.
يوضح الخيار د التمثيل البياني الوحيد ذا السعة الصحيحة التي تساوي واحدًا، وطول الدورة الصحيح الذي يبلغ ١٨٠، دون أي إزاحة أفقية أو رأسية. ومن ثم فإن الخيار د هو التمثيل البياني للدالة ﺹ تساوي جا اثنين ﺱ.
