فيديو: استخدام متطابقات فيثاغورس لإيجاد قيمة دالة مثلثية بمتطابقات الدوال المثلثية لزاويتين متتامتين بمعلومية الدالة المثلثية والربع الذي تقع فيه إحدى الزوايا‎

أوجد قيمة ‪sec (90° + 𝜃)‬‏، إذا كان ‪csc 𝜃 = 17/8‬‏؛ حيث ‪0° > 𝜃 > 90°‬‏.

٠٤:٥٤

‏نسخة الفيديو النصية

أوجد قيمة ‪sec 90‬‏ درجة زائد ‪𝜃‬‏، إذا كان ‪csc 𝜃‬‏ يساوي ‪17‬‏ على ثمانية، حيث ‪𝜃‬‏ تقع بين صفر درجة و‪90‬‏ درجة.

يمكننا حل هذا السؤال بعدة طرق. يمكننا استخدام معلومة أن ‪csc 𝜃‬‏ يساوي ‪17‬‏ على ثمانية وأن ‪𝜃‬‏ تقع بين صفر درجة و‪90‬‏ درجة لإيجاد قيمة ‪𝜃‬‏. وبمجرد الحصول على قيمة ‪𝜃‬‏، يمكننا التعويض بها في المقدار ‪sec 90‬‏ درجة زائد ‪𝜃‬‏، الذي أردنا إيجاد قيمته.

فلنفعل ذلك. ‏‏‪csc 𝜃‬‏ يساوي ‪17‬‏ على ثمانية، و‪csc 𝜃‬‏ يساوي واحدًا على ‪sin 𝜃‬‏، وبالتالي يصبح لدينا واحد على ‪sin 𝜃‬‏ يساوي ‪17‬‏ على ثمانية. بقلب الكسر في كلا طرفي المعادلة، أو إعادة ترتيبها ليصبح ‪sin 𝜃‬‏ في طرف بمفرده، نجد أن ‪sin 𝜃‬‏ يساوي ثمانية على ‪17‬‏، وبالتالي ‪𝜃‬‏ هي الدالة العكسية لجيب الزاوية أو ‪sin‬‏ سالب واحد لثمانية على ‪17‬‏.

باستخدام الآلة الحاسبة على وضع الدرجات، نجد أن قياس الزاوية ‪𝜃‬‏ يساوي ‪28.072‬‏ إلى آخر العدد درجة. هذه القيمة التي حصلنا عليها بالآلة الحاسبة تقع في المدى الذي نريده، بين صفر درجة و‪90‬‏ درجة. وهكذا ليس علينا تعديلها بأي شكل. نعوض بقيمة ‪𝜃‬‏ في ‪sec 90‬‏ درجة زائد ‪𝜃‬‏، مع تذكر أن ‪sec 𝑥‬‏ يساوي واحدًا على ‪cos 𝑥‬‏ إذا كانت الآلة الحاسبة ليس بها زر ‪sec‬‏، ونحصل على القيمة سالب ‪17‬‏ على ثمانية.

لكن قد لا تحصل من الآلة الحاسبة على هذه القيمة بالضبط، سالب ‪17‬‏ على ثمانية، في صورة كسر، أو ربما لا يمكنك استخدام آلة حاسبة نهائيًا. لحسن الحظ، يمكننا حل هذه المسألة من دون استخدام الآلة الحاسبة. نعود بضع خطوات إلى الخلف حيث اكتشفنا أن ‪sin 𝜃‬‏ يساوي ثمانية على ‪17‬‏، ونلتفت إلى الجزء ‪sec 90‬‏ درجة زائد ‪𝜃‬‏.

‏‏‪sec 𝑥‬‏ يساوي واحدًا على ‪cos 𝑥‬‏، إذن ‪sec 90‬‏ درجة زائد ‪𝜃‬‏ يساوي واحدًا على ‪cos 90‬‏ درجة زائد ‪𝜃‬‏. يمكننا استخدام صيغة جيب التمام لمجموع زاويتين، ونجعل ‪𝑥‬‏ يساوي ‪90‬‏ درجة و‪𝑦‬‏ يساوي ‪𝜃‬‏. الزاوية ‪90‬‏ درجة زاوية خاصة، إذن نعرف قيمتي ‪cos 90‬‏ درجة و‪sin 90‬‏ درجة.

‏‏‪cos 90‬‏ درجة يساوي صفرًا و‪sin 90‬‏ درجة يساوي واحدًا. يختفي الحد صفر في ‪cos 𝜃‬‏، ويتبقى لنا واحد على سالب واحد ‪sin 𝜃‬‏، ما يساوي سالب واحد على ‪sin 𝜃‬‏. ونعرف أن واحدًا على ‪sin 𝜃‬‏ يساوي ‪csc 𝜃‬‏، ومن ثم نجد أن هذا يساوي سالب ‪csc 𝜃‬‏. قيل لنا إن ‪csc 𝜃‬‏ يساوي ‪17‬‏ على ثمانية، ومن ثم فقيمة ‪sec 90‬‏ درجة زائد ‪𝜃‬‏ هي سالب ‪17‬‏ على ثمانية.

إذن هذه الطريقة يسبقها تبسيط ‪sec 90‬‏ درجة زائد ‪𝜃‬‏ باستخدام متطابقة مجموع زاويتين. وهناك طريقة ثالثة سأشرحها لكم للتسلية فقط، تتضمن فعل شيء غريب قليلًا. نكتب المقدار الذي نريد إيجاد قيمته مرة أخرى، ‪sec 90‬‏ درجة زائد ‪𝜃‬‏، ونلاحظ أنه يشبه كثيرًا الطرف الأيسر من متطابقة الزاويتين المتتامتين، وهو ‪sec 90‬‏ درجة ناقص ‪𝑥‬‏ يساوي ‪csc 𝑥‬‏.

الفرق الوحيد هو أن لدينا ‪90‬‏ درجة زائد شيء ما وليس ‪90‬‏ درجة ناقص شيء ما. لكن يمكننا تصحيح ذلك عن طريق كتابة ‪90‬‏ درجة زائد ‪𝜃‬‏ في صورة ‪90‬‏ درجة ناقص سالب ‪𝜃‬‏. جعلنا ‪𝑥‬‏ يساوي سالب ‪𝜃‬‏ في المتطابقة لنحصل على ‪csc‬‏ سالب ‪𝜃‬‏. لكن دالة قاطع التمام دالة فردية، وإذا لم تكن تصدقني، فسنثبت ذلك في نهاية الفيديو.

إذن ‪csc‬‏ سالب ‪𝜃‬‏ يساوي سالب ‪csc 𝜃‬‏. باستخدام قيمة ‪csc 𝜃‬‏ المعطاة، نحصل على القيمة سالب ‪17‬‏ على ثمانية. كانت هذه طريقة أسرع كثيرًا لإيجاد قيمة ‪sec 90‬‏ درجة زائد ‪𝜃‬‏ باستخدام متطابقة الزاويتين المتتامتين ‪sec 90‬‏ درجة ناقص ‪𝑥‬‏ يساوي ‪csc 𝑥‬‏ ومعلومة أن دالة قاطع التمام دالة فردية.

هذه المعلومة الأخيرة هي شيء علينا إثباته، إذ إن ‪csc‬‏ سالب ‪𝑥‬‏ يساوي واحدًا على ‪sin‬‏ سالب ‪𝑥‬‏ بطبيعة الحال، ودالة الجيب دالة فردية بالتأكيد. يمكننا إثبات ذلك، لكن ليس في هذا الفيديو. وبالتالي ‪sin‬‏ سالب ‪𝑥‬‏ يساوي سالب ‪sin 𝑥‬‏. بضرب بسط هذا الكسر ومقامه في سالب واحد، نجد أن هذا يساوي سالب واحد على ‪sin 𝑥‬‏. وواحد على ‪sin 𝑥‬‏ يساوي ‪csc 𝑥‬‏، فنجد أن ذلك يساوي سالب ‪csc 𝑥‬‏.

لقد أثبتنا أن ‪csc‬‏ سالب ‪𝑥‬‏ يساوي سالب ‪csc 𝑥‬‏، وبالتالي أن دالة قاطع التمام دالة فردية.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.