فيديو السؤال: إيجاد قيمة محدد يتضمن مجاهيل باستخدام خواص المحددات الرياضيات

إذا كان محدد [ﺱ‎، ٠١; ٠١‎، ﺹ] = ١٤١، محدد [ﺹ‎، ١٢; ١‎، ﻉ] = ١٤١، محدد [ﺱ‎، ١; ١‎، ﻉ] = ١٤١، فأوجد محدد [ﺱ‎، ١‎، ٤٤١; ١٤١‎، ﺹ‎، ٤٢; ١٤١‎، ١٤١‎، ﻉ].

٠٦:٢٢

‏نسخة الفيديو النصية

إذا كان محدد المصفوفة من الرتبة اثنان في اثنين ﺱ، أربعة، أربعة، ﺹ يساوي صفرًا؛ ومحدد المصفوفة من الرتبة اثنان في اثنين ﺹ، تسعة، تسعة، ﻉ يساوي صفرًا؛ ومحدد المصفوفة من الرتبة اثنان في اثنين ﺱ، واحد، واحد، ﻉ يساوي صفرًا؛ فأوجد محدد المصفوفة من الرتبة ثلاثة في ثلاثة ﺱ، واحد، اثنان، صفر، ﺹ، ثلاثة، صفر، صفر، ﻉ.

من معطيات هذا السؤال، نعلم أن محدد المصفوفات الثلاث من الرتبة اثنان في اثنين يساوي صفرًا. وتحتوي هذه المصفوفات الثلاث على ثلاثة مجاهيل وهي: ﺱ وﺹ وﻉ. علينا استخدام هذا المعطى لإيجاد محدد مصفوفة من الرتبة ثلاثة في ثلاثة تتضمن ثلاثة مجاهيل. إذن، للإجابة عن هذا السؤال، علينا البدء بإيجاد تعبير لمحدد المصفوفة من الرتبة ثلاثة في ثلاثة. وقد نرغب في فعل ذلك بفك المحدد باستخدام الصف الأول. لكن هناك طريقة أبسط كثيرًا.

علينا ملاحظة أن هذه المصفوفة هي مصفوفة مثلثية عليا. ما يعني أن جميع العناصر أسفل القطر الرئيسي تساوي صفرًا. يمكننا إذن إيجاد قيمة هذا المحدد بتذكر إحدى خواص المحدد، التي تنص على أنه إذا كنا نحاول إيجاد قيمة محدد مصفوفة مثلثية مربعة، فإن هذا يساوي حاصل ضرب جميع العناصر في القطر الرئيسي. وبما أن هذه مصفوفة مثلثية عليا، فإن محدد هذه المصفوفة يساوي حاصل ضرب العناصر في القطر الرئيسي لها وهي: ﺱ في ﺹ في ﻉ.

إذن، للإجابة عن هذا السؤال، علينا إيجاد قيمة ﺱ وﺹ وﻉ من خلال المحددات الثلاثة المعطاة. ولنفعل ذلك، علينا إيجاد قيمة كل من هذه المحددات الثلاثة. هيا نبدأ بالمحدد الأول. نريد إيجاد قيمة محدد مصفوفة من الرتبة اثنان في اثنين. ونفعل ذلك بإيجاد الفرق بين حاصل ضرب عناصر قطريها. محدد هذه المصفوفة هو ﺱ في ﺹ ناقص أربعة في أربعة. ويمكننا تبسيط ذلك؛ لأن أربعة في أربعة يساوي ١٦. إذن محدد هذه المصفوفة هو ﺱﺹ ناقص ١٦. لكن تذكر أننا نعلم من السؤال أن محدد هذه المصفوفة يساوي صفرًا. ومن ثم، نجد أن صفرًا يساوي ﺱﺹ ناقص ١٦. يمكننا إيجاد قيمة التعبير ﺱﺹ عن طريق إضافة ١٦ إلى كلا طرفي المعادلة. بعد ذلك نحصل على ﺱﺹ يساوي ١٦.

دعونا الآن نطبق هذه العملية نفسها على المحدد الثاني. أولًا، نوجد قيمة محدد هذه المصفوفة عن طريق حساب الفرق بين حاصل ضرب عناصر القطرين. وهو ما يساوي ﺹ في ﻉ ناقص تسعة في تسعة. وبما أن تسعة في تسعة يساوي ٨١، يمكننا تبسيط ذلك لنحصل على ﺹﻉ ناقص ٨١. وتذكر أننا نعلم من السؤال أن المحدد يساوي صفرًا. ومن ثم، يمكننا أن نساوي هذا بصفر ثم نضيف ٨١ إلى كلا طرفي المعادلة. هكذا نحصل على ﺹ في ﻉ يساوي ٨١.

علينا الآن تطبيق هذه العملية مرة أخيرة على المحدد الثالث والأخير. أولًا، نحسب الفرق بين حاصل ضرب عناصر القطرين. محدد هذه المصفوفة هو ﺱ في ﻉ ناقص واحد في واحد، وهو ما يمكن تبسيطه لنحصل على ﺱﻉ ناقص واحد. ونعرف أن هذا المحدد يساوي صفرًا. يمكننا بعد ذلك إضافة واحد إلى كلا طرفي المعادلة لنجد أن ﺱ في ﻉ يجب أن يساوي واحدًا.

وهنا، يمكننا ملاحظة شيء مثير للاهتمام. لدينا ثلاث معادلات تتضمن المتغيرات ﺱ وﺹ وﻉ. ويظهر الطرف الأيمن لكل من هذه المعادلات الثلاث في تعبير المحدد لدينا. لذا، يمكننا محاولة إيجاد تعبير لهذا المحدد عن طريق حساب حاصل ضرب هذه المعادلات الثلاث. أولًا، بحساب حاصل ضرب الطرف الأيمن من هذه المعادلات الثلاث، نحصل على ﺱﺹ في ﺹﻉ في ﺱﻉ. وهو ما سيساوي حاصل ضرب الطرف الأيسر لكل معادلة: ١٦ في ٨١ في واحد.

لنبسط هذه المعادلة. أولًا، في الطرف الأيمن من المعادلة، لدينا عاملان ﺱ وعاملان ﺹ وعاملان ﻉ. إذن، يمكن تبسيط ذلك لنحصل على ﺱ تربيع في ﺹ تربيع في ﻉ تربيع. بعد ذلك، يمكننا تبسيط الطرف الأيسر من المعادلة. ‏١٦ في ٨١ في واحد يساوي ١٢٩٦. نحن الآن جاهزون تقريبًا لإيجاد قيمة هذا المحدد. كل ما علينا فعله هو استخدام قوانين الأسس لإخراج الأس الثابت، اثنين، من التعبير. إذن ﺱ تربيع في ﺹ تربيع في ﻉ تربيع يساوي ﺱ في ﺹ في ﻉ الكل تربيع. وهذا هو مربع التعبير الذي نريد إيجاد قيمته. بناء عليه، لدينا ﺱ في ﺹ في ﻉ تربيع يساوي ١٢٩٦.

ويمكننا إيجاد قيمة ﺱ في ﺹ في ﻉ بأخذ الجذر التربيعي لطرفي المعادلة. بناء عليه، نحصل على جذر موجب وسالب. ويصبح لدينا ﺱ في ﺹ في ﻉ يساوي موجب أو سالب الجذر التربيعي لـ ١٢٩٦. ويمكننا إيجاد قيمة ذلك. إنه يساوي موجب أو سالب ٣٦، وهذه هي الإجابة النهائية. إذن، محدد المصفوفة المعطاة من الرتبة ثلاثة في ثلاثة يساوي إما ٣٦ وإما سالب ٣٦.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.