فيديو السؤال: تحديد الدوال الكسرية من تمثيلاتها البيانية الرياضيات • الصف الثاني الثانوي

نسخة الفيديو النصية

أي من الآتي يمثل معادلة الدالة الممثلة بيانيًّا ﺩﺱ التي خطا تقاربها هما ﺱ يساوي واحدًا وﺹ يساوي اثنين؟ لدينا خمسة خيارات للدالة ﺩﺱ. الخيار الأول: ﺱ زائد واحد على ﺱ ناقص واحد. الخيار الثاني: ﺱ زائد واحد على ﺱ زائد اثنين. الخيار الثالث: اثنان ﺱ زائد واحد على ﺱ ناقص واحد. الخيار الرابع: اثنان ﺱ زائد واحد على ﺱ زائد واحد. الخيار الخامس: ﺱ زائد واحد على ﺱ ناقص اثنين.

دعونا نبدأ بتحديد خطي التقارب على التمثيل البياني. من المهم هنا ملاحظة أن التدريج على كل من المحور ﺱ والمحور ﺹ هو اثنان؛ حيث نعد قفزيًّا بمقدار اثنين. ‏ﺱ يساوي واحدًا هو خط التقارب الرأسي لدينا، والذي حددناه باللون البرتقالي. ‏ﺹ يساوي اثنين هو خط التقارب الأفقي، والذي حددناه باللون الوردي. يوضح لنا خط التقارب الرأسي تحديدًا قيمة ﺱ التي تكون الدالة عندها غير معرفة. لعلنا نتذكر أن الدالة الكسرية هي عبارة عن كسر جبري؛ حيث يكون البسط والمقام كثيرتي حدود. كما نتذكر أن الدوال الكسرية، تمامًا مثل أي كسر آخر، لا تكون معرفة عندما تكون قيم المقام تساوي صفرًا.

جميع الخيارات الخمسة المعطاة تطابق وصف الدالة الكسرية. في الواقع، هذه الدوال الكسرية على الصورة ﺩﺱ تساوي ﻡﺱ زائد ﻥ على ﻝﺱ زائد ﻙ. بعبارة أخرى، يحتوي كل من البسط والمقام على كثيرة حدود خطية. ولعلنا نتذكر أنه في التمثيل البياني لدالة كسرية على هذه الصورة، يكون خط التقارب الرأسي عند جذر المقام. ويمكن إيجاد جذر كثيرة الحدود في المقام بمساواة المقام بصفر. بشكل عام، هذا يعني أن ﺱ يساوي سالب ﻙ مقسومًا على ﻝ. وستنطبق هذه القاعدة ما دام أن ﻝ لا يساوي صفرًا، وما دام أن البسط لا يشترك مع المقام في نفس الجذر.

نحن الآن مستعدون لتحديد خط التقارب الرأسي لكل دالة من الدوال الخمسة المعطاة. وسنستبعد أي خيار تكون فيه الدالة ليس لها خط التقارب الرأسي ﺱ يساوي واحدًا. لإيجاد جذر مقام الدالة في الخيار الأول، نجعل ﺱ ناقص واحد يساوي صفرًا. هذا يعطينا خط التقارب الرأسي ﺱ يساوي واحدًا. إذن، هذا خيار محتمل. مع ذلك، لا يمكننا التأكد من أن هذا الخيار هو الإجابة الصحيحة؛ لأننا لم نتوصل بعد إلى خط التقارب الأفقي للدالة في هذا الخيار الأول. يمكننا استبعاد الخيار الثاني؛ ذلك لأن جذر المقام يعطينا خط التقارب الرأسي ﺱ يساوي سالب اثنين. الدالة في الخيار الثالث لها خط التقارب الرأسي ﺱ يساوي واحدًا. إذن، هذا خيار آخر محتمل.

علينا في هذه المرحلة ملاحظة أن المقام ﺱ ناقص واحد يعطينا خط تقارب رأسيًّا عند ﺱ يساوي واحدًا. حسنًا، بما أن الخيارين الأخيرين ليس لهما المقام ﺱ ناقص واحد، ولن يعطينا أي منهما خط تقارب رأسيًّا عند ﺱ يساوي واحدًا؛ فسنستبعد هذين الخيارين. إذن من بين الخيارات الخمسة التي لدينا، يتبقى لدينا خياران محتملان.

إننا نعلم الآن كيفية إيجاد خط التقارب الأفقي لمنحنى دالة كسرية على هذه الصورة. لفعل ذلك نقسم المعامل الرئيسي للبسط على المعامل الرئيسي للمقام، ونحصل بذلك على المعادلة ﺹ يساوي ﻡ مقسومًا على ﻝ. نحن نعلم ضمنيًّا أن المعامل الرئيسي لـ ﺱ هو واحد. ونلاحظ في الدالة الأولى أن كلا المعاملين الرئيسيين هما العدد واحد، وواحد مقسومًا على واحد يساوي واحدًا. إذن، خط التقارب الأفقي للدالة الأولى هو ﺹ يساوي واحدًا.

سننتقل بعد ذلك إلى الخيار الثالث؛ حيث سبق أن استبعدنا الخيار الثاني. نلاحظ هنا أن المعامل الرئيسي في البسط هو اثنان، والمعامل الرئيسي في المقام هو واحد. خارج قسمة هذين المعاملين الرئيسيين يعطينا خط التقارب الأفقي ﺹ يساوي اثنين. يمكننا الآن استبعاد الدالة في الخيار الأول لأنه ليس لها خط التقارب الأفقي ﺹ يساوي اثنين. إذن، من بين الخيارات الخمسة، نلاحظ أن الدالة في الخيار ج هي الدالة الوحيدة التي لها خط التقارب الرأسي وخط التقارب الأفقي الصحيحان.

في الأسئلة الأخرى ذات الخيارات المتعددة مثل هذا السؤال، قد نجد أن هناك عدة خيارات لها نفس خطوط التقارب الرأسية والأفقية. وفي هذه الحالة سنحتاج إلى طريقة ثالثة للتمييز بين الدالتين اللتين لهما نفس خطوط التقارب. لفعل ذلك سنختار ببساطة بعض الأزواج المرتبة من التمثيل البياني ونتحقق من أن هذه الأزواج المرتبة هي حلول تحقق الدالة التي اخترناها. والطريقة المثالية لذلك هي التحقق من النقطة عند الجزء المقطوع من المحور ﺹ. يبدو أن النقطة عند الجزء المقطوع من المحور ﺹ لهذا المنحنى هي النقطة صفر، سالب واحد. يمكننا أيضًا استخدام النقطة اثنين، خمسة. في الواقع يمكن استخدام أي نقطة واضحة من التمثيل البياني.

للتحقق من النقطة عند الجزء المقطوع من المحور ﺹ، أي صفر، سالب واحد، باستخدام الدالة التي تم اختيارها، يمكننا ببساطة التعويض بصفر عن ﺱ. في هذه الحالة، ﺩ لصفر تساوي سالب واحد، كما هو متوقع. لكن إذا أردنا تحديد أحد الخيارين أ، ج، فإن التحقق باستخدام النقطة صفر، سالب واحد لن يكون كافيًا؛ لأن الدالة في الخيار أ يحققها أيضًا الحل صفر، سالب واحد. لذا دعونا نتحقق من النقطة الأخرى؛ اثنان، خمسة. اثنان، خمسة ليس حلًّا يحقق الدالة الموضحة في الخيار أ. لكن اثنين، خمسة هو حل يحقق الدالة الموضحة في الخيار ج. ‏ﺩ لاثنين تساوي خمسة.

إذن، من بين الخيارات الخمسة المعطاة، الدالة الوحيدة التي تطابق التمثيل البياني ولها خطا التقارب ﺱ يساوي واحدًا وﺹ يساوي اثنين هي الدالة ﺩﺱ تساوي اثنين ﺱ زائد واحد على ﺱ ناقص واحد.