نسخة الفيديو النصية
رسمت عدة متجهات بنفس مقياس المسطرة الموضح في شبكة الرسم. طول ضلع كل مربع في شبكة الرسم يساوي سنتيمترًا واحدًا. يمثل المتجه الأحمر محصلة المتجهين الأزرق والأخضر. ما طول المتجه المحصل، مقيسًا لأقرب سنتيمتر؟
حسنًا، في هذا السؤال، لدينا شكل به ثلاثة متجهات، ونعلم من المعطيات أن المتجه الأحمر هو محصلة المتجهين الأزرق والأخضر. نعلم أيضًا أن المتجهات مرسومة بالمقياس نفسه، وأن طول ضلع كل مربع في الشكل يساوي سنتيمترًا واحدًا. ومطلوب منا إيجاد طول المتجه المحصل. دعونا نبدأ بتذكر أن المتجه المحصل لمتجهين هو المتجه الذي نوجده بجمع هذين المتجهين معًا، وأنه يمكن جمع متجهين باستخدام طريقة الرأس للذيل. تذكر أن ذيل المتجه هو نقطة بدايته، ورأس المتجه هو النقطة التي يمتد أو يشير إليها. إذن فرسم متجهين بطريقة الرأس للذيل يعني رسم المتجه الثاني بحيث يبدأ ذيله عند رأس المتجه الأول هكذا.
بعد ذلك، يمكننا إيجاد مجموع هذين المتجهين أو المتجه المحصل عن طريق رسم سهم من ذيل المتجه الأول إلى رأس المتجه الثاني. في هذا المثال، السهم الأزرق الذي رسمناه للتو على الشكل هو المتجه المحصل.
حسنًا، بعد أن عرفنا المقصود بالمتجه المحصل، فلنعد إلى السؤال. نلاحظ من المعطيات أن المتجه الأحمر هو محصلة المتجهين الأزرق والأخضر. وإذا نظرنا إلى الشكل، فسنجد أن ذيل المتجه الأخضر مرسوم عند رأس المتجه الأزرق. ولذا، فإن المتجهين الأزرق والأخضر مرسومان بطريقة الرأس للذيل. وإذا نظرنا إلى المتجه الأحمر، فسنجد أن ذيله عند ذيل المتجه الأول، وهو المتجه الأزرق، ورأسه عند رأس المتجه الثاني، وهو المتجه الأخضر. وبذلك، نرى أن المتجه الأحمر هو بالفعل محصلة المتجهين الأزرق والأخضر.
في هذا السؤال، نرى أن لدينا متجهًا أزرق أفقيًّا تمامًا، ومتجهًا أخضر رأسيًّا تمامًا. هذا يعني أن قياس الزاوية المحصورة بين هذين المتجهين يساوي 90 درجة؛ ومن ثم نلاحظ أن المتجهات الثلاثة في الشكل تكون مثلثًا قائم الزاوية. المطلوب منا في السؤال هو إيجاد طول هذا المتجه المحصل، ما يعني إيجاد طول الوتر في المثلث القائم الزاوية. لكي نفعل ذلك، دعونا نتذكر نظرية فيثاغورس. إذا رمزنا إلى أطوال أضلاع المثلث بالرموز 𝑎، و𝑏، و𝑐، حيث 𝑐 هو الوتر، فإن نظرية فيثاغورس تنص على أن 𝑐 تربيع يساوي 𝑎 تربيع زائد 𝑏 تربيع.
وبما أننا في هذا السؤال نحاول إيجاد قيمة 𝑐، دعونا نجعل 𝑐 في طرف بمفرده بأخذ الجذر التربيعي لطرفي هذه المعادلة. ومن ثم نجد أن 𝑐 يساوي الجذر التربيعي لـ 𝑎 تربيع زائد 𝑏 تربيع. ما تخبرنا به هذه المعادلة هو أننا إذا أردنا إيجاد قيمة 𝑐، وهو طول الوتر في المثلث، فعلينا معرفة قيمتي 𝑎 و𝑏، أي طولي الضلعين الآخرين. لحسن الحظ لدينا مقياس في الشكل، والمتجهان 𝑎 و𝑏 يمتدان على طول خطوط الشبكة، ما يجعل من السهل قراءة طوليهما. نعلم من المعطيات أن طول أضلاع المربعات في الشكل يساوي سنتيمترًا واحدًا. وفي الشكل نفسه، لدينا مسطرة توضح هذه العلامات التي تساوي سنتيمترًا واحدًا في الاتجاه الرأسي.
وبالطبع بما أننا نعلم من المعطيات أن الشبكة تتكون من مربعات، فإذا كان المربع يحتل مسافة سنتيمتر واحد في الاتجاه الرأسي، فلا بد أن يحتل أيضًا مسافة سنتيمتر واحد في الاتجاه الأفقي. إذن فقيمة المسافة التي يحتلها المربع الواحد في الاتجاه الأفقي أو الرأسي تساوي سنتيمترًا واحدًا. هذا يعني أنه لإيجاد طول كل من المتجهين الأزرق والأخضر، علينا ببساطة البدء من الذيل وعد المربعات حتى نصل إلى الرأس. وهذا العدد من المربعات يعطينا طول هذا المتجه مقيسًا بالسنتيمتر.
لنبدأ بالمتجه الأزرق. نبدأ من ذيل المتجه ونعد المربعات حتى نصل إلى رأسه. في هذه الحالة، نجد أن عدد المربعات خمسة. إذن يمكننا القول إن 𝑎، وهو طول هذا المتجه الأزرق، يساوي خمسة سنتيمترات. والآن لننظر إلى المتجه الأخضر. سنبدأ من ذيل هذا المتجه، الذي يوجد عند رأس المتجه الأزرق، ونعد المربعات حتى نصل إلى رأسه. وفي هذه الحالة، نجد أن عدد المربعات 11. إذن يمكننا القول إن 𝑏 يساوي 11 سنتيمترًا. والآن بعد أن حصلنا على قيمتي 𝑎 و𝑏، كل ما علينا فعله هو التعويض بهما في هذه المعادلة لحساب قيمة 𝑐.
إذا عوضنا عن 𝑎 بخمسة سنتيمترات، وعن 𝑏 بـ 11 سنتيمترًا، فسنجد أن 𝑐 يساوي الجذر التربيعي لخمسة سنتيمترات مربعة زائد 11 سنتيمترًا مربعًا. عند إجراء هذه العملية الحسابية، يجب علينا الانتباه جيدًا للوحدات؛ لأننا إذا حسبنا مربع كمية بوحدة السنتيمتر، فسنحصل على كمية بوحدة السنتيمتر المربع. إذن في هذه الحالة، إذا حسبنا مربع خمسة سنتيمترات، فسنحصل على 25 سنتيمترًا مربعًا. وإذا حسبنا مربع 11 سنتيمترًا، فسنحصل على 121 سنتيمترًا مربعًا. وإذا جمعنا 25 سنتيمترًا مربعًا و 121 سنتيمترًا مربعًا، فسنجد أن 𝑐 يساوي الجذر التربيعي لـ 146 سنتيمترًا مربعًا.
والآن آخر ما علينا فعله هو إيجاد الجذر التربيعي. إذا أخذنا الجذر التربيعي لكمية بوحدة السنتيمتر المربع، فسنحصل على ناتج بوحدة السنتيمتر. وبما أننا نعرف أن 𝑐 يعبر عن طول ما، وهو طول هذا المتجه الأحمر في الشكل، فمن المنطقي أن يقاس بوحدة المسافة. وإذا أخذنا الجذر التربيعي لـ 146، فسنحصل على ناتج يساوي 12.083 وهكذا مع توالي الأرقام العشرية. هذا الناتج الذي حصلنا عليه هو طول المتجه المحصل. لكننا إذا نظرنا إلى السؤال، فسنجد أنه مطلوب منا تقريب الإجابة لأقرب سنتيمتر. وبتقريب 12.083 لأقرب سنتيمتر، نحصل على 12 سنتيمترًا.
وبذلك نكون قد توصلنا إلى إجابة السؤال، وهي أن طول المتجه المحصل، مقيسًا لأقرب سنتيمتر، يساوي 12 سنتيمترًا.
