فيديو السؤال: تحديد منحنى دالة تربيعية وتحديد العلاقة بين منحنيي دالتين تربيعيتين الرياضيات

أجب عن الأسئلة الآتية. أي منحنى يمثل الدالة التربيعية ﺩ(ﺱ) = ﺱ^٢ + ٣؟ أي منحنى يمثل الدالة التربيعية ﺩ(ﺱ) = ﺱ^٢ + ٤؟ أي من الآتي صواب عن المنحنيين؟ (أ) المنحنيان متطابقان. (ب) المنحنى الأول عبارة عن تمدد للمنحنى الثاني. (ج) المنحنيان لهما نفس الشكل، ولكن الثاني عبارة عن إزاحة أفقية للأول. (د) المنحنيان لهما نفس الشكل، ولكن الثاني عبارة عن إزاحة رأسية للأول. (هـ) يمكن الحصول على أحد المنحنيين بدوران الآخر بمقدار ٩٠° حول نقطة الأصل.

٠٨:١٩

‏نسخة الفيديو النصية

أجب عن الأسئلة الآتية. أي منحنى يمثل الدالة التربيعية ﺩﺱ تساوي ﺱ تربيع زائد ثلاثة؟ أي منحنى يمثل الدالة التربيعية ﺩﺱ تساوي ﺱ تربيع زائد أربعة؟

هناك أيضًا جزء ثالث في هذا السؤال، والذي سنتناوله عند الانتهاء من الجزأين الأول والثاني. وللإجابة عن الجزء الأول من السؤال، دعونا نفكر في خواص منحنى الدالة ﺩﺱ تساوي ﺱ تربيع زائد ثلاثة. أولًا، هذه دالة تربيعية. ومن ثم، نعرف أن شكل المنحنى الخاص بها سيكون عبارة عن قطع مكافئ. وسيكون القطع المكافئ مفتوحًا لأعلى إذا كان معامل ﺱ تربيع موجبًا، وسيكون مفتوحًا لأسفل إذا كان معامل ﺱ تربيع سالبًا. في هذا السؤال، معامل ﺱ تربيع يساوي واحدًا، أي موجبًا. إذن، نعلم أن شكل المنحنى سيكون عبارة عن قطع مكافئ مفتوح لأعلى، أو يمكننا القول إنه قطع مكافئ على شكل حرف U.

نعلم أن جميع القطوع المكافئة متماثلة ولها خط تماثل رأسي. لكننا نعلم أيضًا أن أي دالة تربيعية على صورة ﺩﺱ تساوي ﻙﺱ تربيع زائد ﺟ، وهو ما لدينا هنا، هي قطع مكافئ خط تماثله على المحور ﺹ.

بعد ذلك، دعونا نتناول الجزء المقطوع من المحور ﺹ لمنحنى هذه الدالة. نعلم أن الجزء المقطوع من المحور ﺹ يحدث عند ﺱ يساوي صفرًا لأن ﺱ يساوي صفرًا في أي نقطة على المحور ﺹ. يمكننا بعد ذلك إيجاد قيمة ﺹ للجزء المقطوع من المحور ﺹ بالتعويض عن ﺱ بصفر في الدالة، أو بعبارة أخرى إيجاد قيمة ﺩ صفر. لدينا صفر تربيع زائد ثلاثة، وهو ما يساوي ثلاثة. وبناء عليه، نعلم أن إحداثيات نقطة التقاطع مع المحور ﺹ للدالة التربيعية المعطاة هي صفر، ثلاثة.

الآن، بما أن خط التماثل هو المحور ﺹ ويمر خط التماثل عبر رأس الدالة التربيعية، فإننا نعرف أن إحداثيات رأس المنحنى هي أيضًا صفر، ثلاثة. لننظر الآن إلى المنحنيات الخمسة المعطاة في السؤال. المنحنى (ب) عبارة عن قطع مكافئ على شكل حرف ‪U‬‏، خط تماثله على طول المحور ﺹ، وإحداثيات نقطة التقاطع مع المحور ﺹ ورأس المنحنى هي صفر، ثلاثة. إذن، المنحنى (ب) هو المنحنى الصحيح.

إذا نظرنا إلى المنحنيات الأخرى، فسيمكننا استبعاد المنحنى (هـ) لأنه عبارة عن قطع مكافئ سالب، أي إنه قطع مكافئ مفتوح لأسفل. كما يمكننا استبعاد الخيارات (أ) و(ج) و(د) لأن إحداثيات جميع نقاط تقاطعها مع المحور ﺹ ليست صفر، ثلاثة. وبذلك نكون قد أجبنا عن الجزء الأول من السؤال وأوجدنا المنحنى الذي يمثل الدالة التربيعية ﺩﺱ تساوي ﺱ تربيع زائد ثلاثة.

دعونا الآن نتناول الجزء الثاني، والذي يطلب منا تحديد المنحنى الذي يمثل الدالة التربيعية ﺩﺱ تساوي ﺱ تربيع زائد أربعة. حسنًا، في ضوء الأسباب نفسها التي أشرنا إليها في الجزء الأول من السؤال، نعلم أن المنحنى سيكون قطعًا مكافئًا موجبًا، أو قطعًا مكافئًا مفتوحًا لأعلى، خط تماثله على طول المحور ﺹ. ولإيجاد الجزء المقطوع من المحور ﺹ وإحداثيات رأس المنحنى، نحسب قيمة ﺩ لصفر، وذلك يعطينا صفرًا تربيع زائد أربعة، وهو ما يساوي أربعة. إذن، إحداثيات نقطة التقاطع مع المحور ﺹ وإحداثيات رأس المنحنى هي صفر، أربعة.

أصبحنا الآن نبحث عن قطع مكافئ مفتوح لأعلى خط تماثله على طول المحور ﺹ وإحداثيات نقطة التقاطع مع المحور ﺹ ورأس المنحنى هي صفر، أربعة. وبالنظر إلى المنحنيات الخمسة، يمكننا أن نلاحظ أن المنحنى الذي يتضمن هذه الخواص الصحيحة هو المنحنى (د).

سنفرغ الآن بعض المساحة للإجابة عن الجزء الأخير من السؤال.

أي من الآتي صواب عن المنحنيين؟ (أ) المنحنيان متطابقان. (ب) المنحنى الأول عبارة عن تمدد للمنحنى الثاني. (ج) المنحنيان لهما نفس الشكل، ولكن الثاني عبارة عن إزاحة رأسية للأول. (د) المنحنيان لهما نفس الشكل، ولكن الثاني عبارة عن إزاحة أفقية للأول. (هـ) يمكن الحصول على أحد المنحنيين بدوران الآخر بمقدار ٩٠ درجة حول نقطة الأصل.

لدينا المنحنيان اللذان حددناهما سابقًا في السؤال وهما: المنحنى الذي يمثل الدالة ﺩﺱ تساوي ﺱ تربيع زائد ثلاثة، والمنحنى الذي يمثل الدالة ﺩﺱ تساوي ﺱ تربيع زائد أربعة. يمكننا أن نلاحظ من خلال النظر إلى المنحنيين جنبًا إلى جنب أن لهما نفس الشكل. لكن منحنى الدالة ﺩﺱ تساوي ﺱ تربيع زائد أربعة يقع أعلى منحنى الدالة ﺩﺱ تساوي ﺱ تربيع زائد ثلاثة. وإذا سمينا رأس كل منحنى، فسيكون لدينا صفر، ثلاثة للدالة الأولى، وصفر، أربعة للدالة الثانية. وعليه، يقع رأس منحنى الدالة ﺩﺱ تساوي ﺱ تربيع زائد أربعة أعلى رأس منحنى الدالة الأولى بمقدار وحدة واحدة رأسيًّا.

كما يمكننا ملاحظة هذا إذا حددنا نقاطًا أخرى على المنحنيين. فالنقطة اثنان، سبعة تقع على منحنى الدالة ﺩﺱ تساوي ﺱ تربيع زائد ثلاثة. والنقطة اثنان، ثمانية تقع على منحنى الدالة ﺩﺱ تساوي ﺱ تربيع زائد أربعة. إذن، بالنسبة إلى قيمة الإحداثي ﺱ نفسها، تكون قيمة الإحداثي ﺹ للدالة الثانية، أو قيمة الدالة، أكبر بمقدار وحدة واحدة مقارنة بالدالة الأولى. وإذا كتبنا الدالة الثانية على صورة ﺱ تربيع زائد ثلاثة زائد واحد، فهذا يؤكد أننا سنضيف بالفعل واحدًا إلى الدالة الأولى. وبناء على معرفتنا بالتحويلات الهندسية للمنحنيات، نعلم أن إضافة ثابت إلى دالة ما يمثل إزاحة رأسية أو انتقالًا رأسيًّا بمقدار هذا الثابت. وعليه، فإن العلاقة بين المنحنيين تتمثل في أن المنحنيين لهما نفس الشكل، ولكن الثاني عبارة عن إزاحة رأسية للأول. وفي الواقع، هي إزاحة رأسية بمقدار وحدة واحدة.

وبالنظر سريعًا إلى الخيارات الأخرى، نجد أنه ليس هناك أي خيار منها صحيح. أولًا، الخيار (أ)، المنحنيان ليسا متطابقين؛ فليس لهما نفس رأس المنحنى أو أي من النقاط نفسها. نعلم أن المنحنيين لهما الشكل نفسه. وعليه، فإن المنحنى الأول ليس تمددًا للمنحنى الثاني. وبالنظر إلى الخيار (ج)، نجد أن المنحنيين لهما نفس الشكل كما أوضحنا سابقًا. لكن بما أن رأس كل منحنى له نفس قيمة الإحداثي ﺱ، فيمكننا أن نلاحظ أن المنحنى الثاني لا يمثل إزاحة أفقية للمنحنى الأول. وأخيرًا، في الخيار (هـ)، إذا كان يمكن الحصول على أحد المنحنيين بدوران الآخر بمقدار ٩٠ درجة حول نقطة الأصل، فسيكون المنحنى الثاني عبارة عن قطع مكافئ في اتجاه مختلف. وكما نلاحظ، فإن القطعين المكافئين لهما الاتجاه نفسه تمامًا.

وبذلك، نكون قد حددنا المنحنى الذي يمثل الدالة ﺩﺱ تساوي ﺱ تربيع زائد ثلاثة، والمنحنى الذي يمثل الدالة ﺩﺱ تساوي ﺱ تربيع زائد أربعة. كما أوضحنا أن العلاقة بين المنحنيين تتمثل في أن المنحنيين لهما نفس الشكل، ولكن الثاني عبارة عن إزاحة رأسية للأول.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.