نسخة الفيديو النصية
يمر ضوء عبر لوح فيه شقان ضيقان متوازيان، المسافة بينهما 12.8 ميكرومترًا. يسقط الضوء المار من الشقين على شاشة توازي اللوح؛ حيث يلاحظ نمط من الهدب المضيئة والمظلمة. يمر الخط 𝐿 عموديًّا على سطح اللوح واتجاه الشقين. يقطع الخط 𝐿 الهدبة المضيئة المركزية للنمط على الشاشة. الزاوية بين الخط 𝐿 والخط الذي يقطع مركز الهدبة المضيئة الأقرب للهدبة المضيئة المركزية تساوي 3.09 درجات. ما الطول الموجي للضوء؟ قرب إجابتك لأقرب نانومتر.
حسنًا، نريد إيجاد الطول الموجي للضوء 𝜆. ولدينا المسافة بين الشقين، وهي تساوي 12.8 ميكرومترًا، والزاوية بين الخط 𝐿 وخط آخر يمتد من مركز الشقين إلى الهدبة المضيئة الأولى الأقرب إلى الهدبة المضيئة المركزية تساوي 3.09 درجات. لدينا أيضًا متغير آخر معطى لنا من خلال هذه الهدب المضيئة. وقتما ترى خطوطًا تقطع هذه المناطق المضيئة أو تسمع عبارة «هدبة مضيئة»، يجب أن تفكر على الفور في التداخل البناء، وكيف أنه عندما يكون فرق المسار بين موجتين هو 𝑛𝜆؛ حيث 𝑛 عدد صحيح، يحدث تداخل بناء دائمًا.
على سبيل المثال، في حالة هذه الهدبة المضيئة المركزية هنا، لا يوجد فرق مسار بين الموجتين القادمتين من الشقين اللتين تتداخلان عند هذه النقطة. يظل فرق المسار هنا 𝑛𝜆. كل ما في الأمر أن 𝑛 في هذه الحالة يساوي صفرًا. ولأن هذا التداخل البناء الذي تنتج عنه هذه الهدب المضيئة لا يمكن أن يحدث إلا عندما يكون 𝑛 عددًا صحيحًا، فهذا يعني أن كل هذه الهدب المضيئة لها قيمة صحيحة 𝑛 أيضًا عند تحركنا خطوات مقدار كل منها عدد صحيح أعلى أو أسفل الهدبة المضيئة المركزية، حيث نعلم أن 𝑛 يساوي صفرًا. ومن ثم، عندما يخبرنا السؤال أن خطًّا يقطع مركز الهدبة المضيئة الأقرب إلى الهدبة المضيئة المركزية، أي هذه الهدبة هنا، فهذا يعني أن قيمة 𝑛 لهذه الهدبة المضيئة تساوي واحدًا.
لدينا إذن المسافة بين الشقين، وهي 12.8 ميكرومترًا، والزاوية بين الخط 𝐿 وهذا الخط، وهي 3.09 درجات، وقيمة 𝑛 لفرق المسار بين موجتي ضوء تلتقيان عند هذه النقطة، وهي تساوي واحدًا. ما علينا فعله الآن هو إيجاد العلاقة بين كل هذه المتغيرات والطول الموجي 𝜆. لفعل ذلك، سنلقي نظرة عن قرب هنا عند المسافة بين الشقين، ونستخدم حساب المثلثات. لدينا هنا الشقان، والمسافة بينهما تساوي 12.8 ميكرومترًا. عبر هذين الشقين، تخرج موجتا ضوء وتلتقيان عند الشاشة المقابلة لهذا اللوح حيث تتداخلان وتكونان الهدبة المضيئة التي تناظر 𝑛 يساوي واحدًا.
إذا رسمنا خطين عموديين على اللوح، يمكننا استخدام هذين الخطين لإيجاد الزاوية التي تصنعها موجتا الضوء عند الخروج من الشقين. ولأن الشاشة التي تنتقل إليها موجتا الضوء بعيدة جدًّا، فإن الفرق بين الزاويتين لهاتين الموجتين صغير للغاية، ما يعني أنه يمكننا التعامل مع هاتين الزاويتين على أنهما متساويتان. وإذا كان قياس هاتين الزاويتين من الشقين العلوي والسفلي متساويًا، فإن الزاوية التي يصنعها خطان عند مركز الشقين ستكون مساوية لهما أيضًا، مثل الزاوية بين الخط 𝐿 والخط الذي يقطع مركز الهدبة المضيئة الأقرب للهدبة المضيئة المركزية، حيث 𝑛 يساوي واحدًا. وبما أننا نعلم بالفعل أن هذه الزاوية هي 𝜃، فإن قياس الزاويتين الأخريين هو 𝜃 أيضًا؛ لأن هذه الزوايا جميعها متساوية.
بمعلومية هذه الزاوية 𝜃، دعونا نربط بينها وبين المسافة بين الشقين 𝑑 وفرق المسار بين موجتي الضوء. تذكر أن فرق المسار بين موجتين تتداخلان تداخلًا بناء في النهاية أو تكونان هدبة مضيئة هو 𝑛𝜆، وهو يساوي في هذه الحالة 𝜆 فقط؛ إذ إن 𝑛 يساوي واحدًا. هذا يعني أن موجة الضوء السفلية هنا تتحرك مسافة أطول من الموجة العلوية بمقدار واحد 𝜆، ومن هنا تأتي عبارة «فرق المسار». إذا رسمنا خطًّا من الشق العلوي للوح لأسفل حتى نهاية فرق المسار؛ بحيث يكون لدينا زاوية قياسها 90 درجة، فسنحصل على مثلث قائم الزاوية له وتر يساوي 𝑑 وطول ضلع معلوم يساوي 𝜆. لكن لا تزال لدينا زاويتان مجهولتان وضلع مجهول، أليس كذلك؟
لنرجع إلى هذا المثلث ونر ما يحدث عندما نمد هذا الخط قليلًا لأسفل. هذا صحيح. لقد كونا المزيد من المثلثات، ما يمكن أن يساعدنا في إيجاد الزاويتين المجهولتين. لننظر إلى هذا المثلث الكبير الذي نتج عن هذا الخط هنا. إنه يحتوي على المسافة 𝑑 هنا التي تمثل أحد أضلاعه. وضلعه السفلي يمثل جزءًا من الخط العمودي على اللوح، وهو ما يصنع زاوية قياسها 90 درجة، ما يجعل ذلك مثلثًا قائم الزاوية. والوتر بالطبع هو هذا الخط الممتد لأسفل. ولأن هذا المثلث يستخدم هذا الخط نفسه والمسافة 𝑑، فإن هذا المثلث والمثلث الذي يمثل 𝜆 أحد أضلاعه لهما الزاوية نفسها هنا، والتي سنسميها 𝜃 واحد. والزاوية الأخرى في هذا المثلث، التي تقع هنا، سنسميها 𝜃 اثنين.
والآن لنقارن هذا المثلث بهذا المثلث الصغير جدًّا هنا. أحد أضلاعه هو فرق المسار 𝜆، لكنه يشارك ضلعيه الآخرين مع هذا الخط وهذا الخط اللذين يكونان المثلث الأكبر. ونظرًا لتطابق هذين الخطين وهذين الخطين، فلا بد أن كل خطين يصنعان الزاوية نفسها، ما يعني أن هذه الزاوية هنا هي 𝜃 اثنان. وبما أن الزاوية المحصورة بين الخط المرسوم لأسفل وموجة الضوء تساوي 90 درجة، فلا بد أنها تساوي 90 درجة على الجانب الآخر أيضًا. ما يعني أن قياس هذه الزاوية 90 درجة.
عندما يتشارك مثلثان زاويتين متساويتين في القياس، وهما في هذه الحالة الزاوية 90 درجة والزاوية 𝜃 اثنان، فهذا يعني أن قياس الزاوية الثالثة بهما سيكون متساويًا أيضًا؛ لأن مجموع قياسات زوايا أي مثلث يساوي 180 درجة. هذا يعني أن هذه الزاوية الأخيرة في المثلث الصغير لا بد أن تكون 𝜃 واحد. ونحن نعلم بالفعل الزاوية المحصورة بين موجة الضوء والخط العمودي على اللوح. إنها 𝜃، ما يعني أن 𝜃 واحد تساوي 𝜃. إنهما الزاوية نفسها.
بمعلومية ذلك، يمكننا الآن رسم مثلث يربط بين 𝑑 و𝜃 و𝜆، وسيبدو بهذا الشكل. وبما أن هذا المثلث قائم الزاوية، يمكننا استخدام العلاقة sin 𝜃 يساوي طول الضلع المقابل على طول الوتر. الضلع الم قابل للزاوية 𝜃 هو 𝜆، ووتر هذا المثلث القائم الزاوية هو 𝑑، وهذا يعطينا العلاقة sin 𝜃 يساوي 𝜆 على 𝑑. نريد 𝜆 فقط، ولذا سنضرب الطرفين في 𝑑، وهذا يلغي 𝑑 من الطرف الأيمن ليتبقى 𝑑sin 𝜃 يساوي 𝜆. قيمة 𝑑 هي 12.8 ميكرومترًا، أو بالصيغة العلمية 1.28 في 10 أس سالب خمسة متر. و𝜃 تساوي بالطبع 3.09 درجات.
بالتعويض بهاتين القيمتين في المعادلة ثم حساب الناتج، نحصل على 6.899 في 10 أس سالب سبعة متر. لكننا نريد الإجابة لأقرب نانومتر، وهو ما يساوي 10 أس سالب تسعة متر تقريبًا. ومن ثم، يمكننا تحريك العلامة العشرية هنا منزلتين إلى اليمين لنجعل ذلك مرفوعًا لأس سالب تسعة، وهو النانومتر. إذن بالتقريب لأقرب نانومتر، نجد أن قيمة هذا الطول الموجي للضوء هي 690 نانومترًا.
