فيديو السؤال: تحديد اتحاد حدثين متنافيين الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

‏ﺃ، وﺏ، وﺟ ثلاثة أحداث متنافية في فضاء عينة ﻑ. إذا كان ﻑ يساوي ﺃ اتحاد ﺏ اتحاد ﺟ، واحتمال ﺃ يساوي خمس احتمال ﺏ، واحتمال ﺟ يساوي أربعة مضروبًا في احتمال ﺃ، فأوجد احتمال ﺏ اتحاد ﺟ.

يخبرنا هذا السؤال بأن الأحداث الثلاثة متنافية. لعلنا نتذكر أن حدثين أو أكثر يكونان متنافيين، إذا كان لا يمكن وقوعهما في الوقت نفسه‎. يمكن تمثيل ذلك على شكل فن كما هو موضح؛ حيث لا يوجد تداخل أو تقاطع بين الدوائر الثلاث التي تمثل الأحداث ﺃ وﺏ وﺟ. وبما أن فضاء العينة يساوي ﺃ اتحاد ﺏ اتحاد ﺟ، فإن احتمال ﺃ اتحاد ﺏ اتحاد ﺟ يساوي واحدًا. إذن، مجموع الاحتمالات الموجودة داخل الدوائر يجب أن يساوي واحدًا.

نتذكر أيضًا أنه إذا كان لدينا حدثان متنافيان ﺱ وﺹ، فإن احتمال ﺱ اتحاد ﺹ يساوي احتمال ﺱ زائد احتمال ﺹ. هذا يعني أنه في هذا السؤال، احتمال ﺃ زائد احتمال ﺏ زائد احتمال ﺟ لابد أن يساوي واحدًا. ونعلم من المعطيات أن احتمال ﺃ يساوي خمس احتمال ﺏ. إذا ضربنا كلا طرفي هذه المعادلة في خمسة، نحصل على احتمال ﺏ يساوي خمسة مضروبًا في احتمال ﺃ. ويمكننا التعويض بذلك في هذه المعادلة. كما يمكننا أيضًا التعويض عن احتمال ﺟ بأربعة مضروبًا في احتمال ﺃ.

تصبح المعادلة هي احتمال ﺃ زائد خمسة مضروبًا في احتمال ﺃ زائد أربعة مضروبًا في احتمال ﺃ يساوي واحدًا. يبسط الطرف الأيمن إلى ١٠ مضروبًا في احتمال ﺃ. يمكننا بعد ذلك قسمة كلا الطرفين على ١٠، لنجد أن احتمال ﺃ يساوي عشرًا. ويمكن كتابة هذا الناتج أيضًا في صورة العدد العشري ٠٫١. احتمال ﺏ يساوي خمسة مضروبًا في هذا الناتج. وهذا يساوي خمسة أعشار، وهو ما يمكن تبسيطه إلى نصف. إذن، احتمال الحدث ﺏ يساوي نصفًا. وبالطريقة نفسها، نجد أن احتمال الحدث ﺟ يساوي أربعة أعشار. وبقسمة البسط والمقام على اثنين، نحصل على خمسين.

المطلوب منا هو حساب احتمال ﺏ اتحاد ﺟ. باستخدام قاعدة الأحداث المتنافية، نجد أن هذا يساوي احتمال ﺏ زائد احتمال ﺟ. باستخدام الكسرين اللذين لهما مقام مشترك، يصبح لدينا خمسة أعشار زائد أربعة أعشار، وهو ما يساوي تسعة أعشار. ومن ثم، فإن احتمال ﺏ اتحاد ﺟ؛ حيث إن الحدثين متنافيان، هو تسعة أعشار. وهذا هو مجموع الاحتمالين داخل الدائرتين في شكل فن.