فيديو: إيجاد التقريب الخطي لدالة جذر تكعيبي

أوجد التقريب الخطي للدالة ‪𝑓(𝑥) = ∛𝑥‬‏ عند ‪𝑥 = −8‬‏.

٠٦:٣٩

‏نسخة الفيديو النصية

أوجد التقريب الخطي للدالة ‪𝑓‬‏ في المتغير ‪𝑥‬‏ يساوي الجذر التكعيبي لـ ‪𝑥‬‏ عند ‪𝑥‬‏ يساوي سالب ثمانية.

لدينا دالة الجذر التكعيبي، ونعرف بعض قيم هذه الدالة. الجذر التكعيبي لواحد يساوي واحدًا لأن واحدًا تكعيب يساوي واحدًا. الجذر التكعيبي لثمانية يساوي اثنين لأن اثنين تكعيب يساوي ثمانية. والجذر التكعيبي لسالب واحد على ‪27‬‏ يساوي سالب ثلث؛ لأن سالب ثلث تكعيب يساوي سالب واحد على ‪27‬‏.

لكن كيف توجد الجذر التكعيبي لسالب سبعة؟ لا يبدو الأمر سهلًا من دون استخدام الآلة الحاسبة. لكن كيف توجد الآلة الحاسبة الجذر التكعيبي لسالب سبعة؟ إحدى الطرق لذلك هي إيجاد تقريب خطي لدالتنا، أي دالة الجذر التكعيبي. نقرب الدالة ‪𝑓‬‏ في المتغير ‪𝑥‬‏ لتصبح دالة خطية تحول ‪𝑥‬‏ إلى ‪𝑚𝑥‬‏ زائد ‪𝑏‬‏ لبعض قيم ‪𝑚‬‏ و‪𝑏‬‏. ثم يمكننا استخدام هذه الدالة الخطية لإيجاد قيمة تقريبية للجذر التكعيبي لسالب سبعة.

لكن كيف نوجد تقريبًا خطيًا لدالتنا؟ لنلق نظرة على التمثيل البياني للدالة. هذا تمثيل بياني لدالة الجذر التكعيبي. نريد إيجاد تقريب خطي لهذه الدالة عند ‪𝑥‬‏ يساوي سالب ثمانية، وهي دالة خطية قريبة جدًا من دالتنا ‪𝑓‬‏ في المتغير ‪𝑥‬‏ يساوي الجذر التكعيبي لـ ‪𝑥‬‏، لقيم ‪𝑥‬‏ القريبة من سالب ثمانية. التمثيل البياني لهذه الدالة الخطية سيكون خطًا مستقيمًا.

وبما أن الدوال قريبة من ‪𝑥‬‏ يساوي سالب ثمانية، فسيكون الخط المستقيم قريبًا جدًا من منحنى دالتنا عند ‪𝑥‬‏ يساوي سالب ثمانية. هل يمكننا تخيل ما سيكون عليه هذا الخط المستقيم؟ مماس المنحنى عند ‪𝑥‬‏ يساوي سالب ثمانية يعد اختيارًا جيدًا. القيمة الفعلية للدالة ‪𝑓‬‏ لسالب سبعة هي إحداثي ‪𝑦‬‏ للنقطة الموجودة على التمثيل البياني للدالة ‪𝑓‬‏ في المتغير ‪𝑥‬‏ عند إحداثي ‪𝑥‬‏ يساوي سالب سبعة.

ويمكننا أن نرى من التمثيل البياني أن هذا قريب جدًا من إحداثي ‪𝑦‬‏ للنقطة الموجودة على المماس عند ‪𝑥‬‏ يساوي سالب سبعة. بالتالي، نحن نبحث عن معادلة المماس. كيف نوجد معادلة المماس؟ يمكننا الاشتقاق لإيجاد ميل المماس. الميل يساوي ‪𝑓‬‏ شرطة لسالب ثمانية. ويمر المماس عبر النقطة سالب ثمانية الدالة ‪𝑓‬‏ لسالب ثمانية، التي يمس عندها المماس المنحنى.

بالتالي من السهل إيجاد معادلة هذا الخط في صيغة الميل والنقطة. معادلة الخط ذي الميل ‪𝑚‬‏ الذي يمر عبر النقطة ‪𝑥‬‏ الابتدائية، ‪𝑦‬‏ الابتدائية هي ‪𝑦‬‏ يساوي ‪𝑚‬‏ في ‪𝑥‬‏ ناقص ‪𝑥‬‏ الابتدائية زائد ‪𝑦‬‏ الابتدائية. وبما أن الميل ‪𝑚‬‏ يساوي ‪𝑓‬‏ شرطة لسالب ثمانية، فالنقطة ‪𝑥‬‏ الابتدائية تساوي سالب ثمانية، والنقطة ‪𝑦‬‏ الابتدائية تساوي ‪𝑓‬‏ لسالب ثمانية. نجد أن ‪𝑦‬‏ يساوي ‪𝑓‬‏ شرطة لسالب ثمانية في ‪𝑥‬‏ ناقص سالب ثمانية زائد ‪𝑓‬‏ لسالب ثمانية. وتذكر أننا نستخدم معادلة هذا المماس لتقريب الدالة ‪𝑓‬‏ في المتغير ‪𝑥‬‏ عندما يقترب ‪𝑥‬‏ من سالب ثمانية.

لنفرغ مساحة للكتابة. علينا الآن إيجاد قيم ‪𝑓‬‏ شرطة لسالب ثمانية و‪𝑓‬‏ لسالب ثمانية. فلنبدأ بـ ‪𝑓‬‏ لسالب ثمانية. هذا هو الجذر التكعيبي لسالب ثمانية. وهو يساوي سالب اثنين؛ لأن سالب اثنين تكعيب يساوي سالب ثمانية. أما إيجاد ‪𝑓‬‏ شرطة لسالب ثمانية فأصعب قليلًا. علينا اشتقاق ‪𝑓‬‏. إذن علينا اشتقاق الجذر التكعيبي لـ ‪𝑥‬‏. يمكننا كتابة الجذر التكعيبي لـ ‪𝑥‬‏ في صورة ‪𝑥‬‏ مرفوعًا للقوة الأسية ثلث، ما يسمح لنا بتطبيق قاعدة مشتقة ‪𝑥‬‏ مرفوعًا للقوة الأسية ‪𝑛‬‏ بالنسبة إلى ‪𝑥‬‏، والتي تنطبق ليس فقط عندما يكون ‪𝑛‬‏ عددًا كليًا أو عددًا صحيحًا لكن تنطبق على أي قيمة حقيقية لـ ‪𝑛‬‏.

وبذلك نضع الأس، الثلث، بالأسفل ثم ننقص الأس بمقدار واحد، إذن ثلث ناقص واحد يساوي سالب ثلثين. ثم ‪𝑓‬‏ شرطة لسالب ثمانية يساوي ثلثًا في سالب ثمانية مرفوعًا للقوة الأسية سالب ثلثين، ما يساوي ثلثًا في واحد على سالب ثمانية مرفوعًا للقوة الأسية ثلثين. وباستخدام ما نعرفه عن الأسس السالبة، وباستخدام المزيد من قوانين الأسس، فهذا يساوي ثلثًا في واحد على سالب ثمانية مرفوعًا للقوة الأسية ثلث تربيع.

سالب ثمانية مرفوعًا للقوة الأسية ثلث يساوي الجذر التكعيبي لسالب ثمانية، وأوجدنا قيمة ذلك بالفعل. إنه يساوي سالب اثنين. وبالتالي ‪𝑓‬‏ شرطة لثمانية يساوي ثلثًا في واحد على سالب اثنين تربيع، ما يساوي ثلثًا في ربع؛ لأن سالب اثنين تربيع يساوي أربعة. وثلث في ربع يساوي واحدًا على ‪12‬‏. عظيم! دعونا إذن نعوض بذلك. ما سيتبقى هو بعض عمليات الجبر البسيطة. بالتعويض نحصل على الدالة ‪𝑓‬‏ في المتغير ‪𝑥‬‏ يساوي بالتقريب واحدًا على ‪12‬‏ في ‪𝑥‬‏ ناقص سالب ثمانية زائد سالب اثنين عند ‪𝑥‬‏ يساوي تقريبًا سالب ثمانية.

طرح سالب ثمانية هو نفسه إضافة ثمانية. وإضافة سالب اثنين هو نفسه طرح اثنين. نفك الأقواس إذن ونلاحظ أن الكسر ثمانية على ‪12‬‏ يمكن تبسيطه ليصبح اثنين على ثلاثة. نقوم بتجميع الحدود الثابتة باستخدام حقيقة أن اثنين يساوي ستة على ثلاثة لنحصل على إجابتنا النهائية: الدالة ‪𝑓‬‏ في المتغير ‪𝑥‬‏ يساوي تقريبًا واحد على ‪12‬‏ في ‪𝑥‬‏ ناقص أربعة على ثلاثة عند ‪𝑥‬‏ يساوي تقريبًا سالب ثمانية.

دعونا ننظر في مدى دقة التقريب الخطي الذي قمنا به عن طريق تقريب الدالة ‪𝑓‬‏ لسالب سبعة. علينا أن نحسب واحدًا على ‪12‬‏ في سالب سبعة ناقص أربعة على ثلاثة. بحساب ذلك نحصل على سالب ‪1.916‬‏ دوري، والآلة الحاسبة تعطينا القيمة سالب ‪1.9129‬‏ إلى آخر العدد. إذن، التقريب الخطي الذي قمنا به ممتاز. وبالطبع كما رأينا في التمثيل البياني، هذا التقريب لا يعد تقريبًا جيدًا إلا عندما يكون ‪𝑥‬‏ قريبًا من سالب ثمانية. يمكننا تجربة التقريب الخطي الذي توصلنا إليه مع ‪𝑥‬‏ يساوي واحدًا.

التقريب الذي قمنا به يعطينا الجذر التكعيبي لواحد يساوي سالب ‪1.25‬‏، وهي قيمة بعيدة جدًا عن القيمة الفعلية واحد. يمكننا أن نأخذ السطر العلوي من الخطوات الحالية، الدالة ‪𝑓‬‏ في المتغير ‪𝑥‬‏ يساوي تقريبًا ‪𝑓‬‏ شرطة لسالب ثمانية في ‪𝑥‬‏ ناقص سالب ثمانية زائد ‪𝑓‬‏ لسالب ثمانية عند ‪𝑥‬‏ يساوي تقريبًا سالب ثمانية، ونعممه. وبالتعويض عن سالب ثمانية بـ ‪𝑎‬‏، نحصل على الدالة ‪𝑓‬‏ في المتغير ‪𝑥‬‏ يساوي تقريبًا ‪𝑓‬‏ شرطة لـ ‪𝑎‬‏ في ‪𝑥‬‏ ناقص ‪𝑎‬‏ زائد ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑎‬‏. وهذا هو التقريب الخطي للدالة ‪𝑓‬‏ عند ‪𝑎‬‏.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.