فيديو: الأصفار، والعوامل، والجذور، والمقاطع

أحمد مدحت

يوضح الفيديو مفهوم الأصفار، والعوامل، والجذور، والمقاطع لدالة كثيرة الحدود، كما يوضح النظرية الأساسية في الجبر.

٠٩:٠٥

‏نسخة الفيديو النصية

هنتكلّم عن الأصفار، والعوامل، والجذور، والمقاطع.

في الفيديو ده، هنعرف مفهوم الأصفار، والعوامل، والجذور، والمقاطع. وكمان هنعرف النظرية الأساسية في الجبر. هنبدأ الأول بالمفهوم بتاع الأصفار، والعوامل، والجذور، والمقاطع. لو عندنا الدالة د س، اللي بتساوي أ ن في س أُس ن، زائد، نقط، زائد أ واحد في س، زائد أ صفر. دي عبارة عن دالة كثيرة حدود. فهتبقى العبارات اللي جايَّة دي عبارات متكافئة.

يعني لمّا نقول: إن ج صفر للدالة د س، فده برضو معناه إن ج عبارة عن جذر أو حلّ للمعادلة د س تساوي صفر. وبرضو معناه إن س ناقص ج عبارة عن عامل من عوامل كثيرة الحدود د س. ولو كان ج ده عبارة عن عدد حقيقي، فهتبقى النقطة ج وصفر هي نقطة تقاطع التمثيل البياني للدالة د س مع محور السينات.

هنشوف مثال في الصفحة اللي جايَّة. هنقلب الصفحة، هيظهر لنا المثال. هنفرض إن إحنا عندنا دالة كثيرة حدود هي الدالة د س. واللي بتساوي س أُس أربعة، زائد اتنين س تكعيب، ناقص سبعة س تربيع، ناقص تمنية س، زائد اتناشر.

أول حاجة، هيظهر لنا التمثيل البياني للدالة دي. من خلال التمثيل البياني بتاع الدالة، نقدر نحدّد الأصفار بتاعة الدالة دي. وده هيكون من خلال إن إحنا نحدّد قيم الإحداثي السيني للنقط اللي بيقطع فيها التمثيل البياني للدالة محور السينات. فهنحدِّدهم على الشكل اللي عندنا، زيّ ما هيظهر لنا في الشكل. بعد ما حدّدنا النقط، نقدر نحدّد الأصفار بتاعة الدالة. فالأصفار هتبقى سالب تلاتة، وسالب اتنين، وواحد، واتنين. ده معناه إن الجذور بتاعة المعادلة: س أُس أربعة، زائد اتنين س تكعيب، ناقص سبعة س تربيع، ناقص تمنية س، زائد اتناشر تساوي صفر. هتبقى سالب تلاتة، وسالب اتنين، وواحد، واتنين.

ومعنى كده إن هتبقى عوامل كثيرة الحدود: س أُس أربعة، زائد اتنين س تكعيب، ناقص سبعة س تربيع، ناقص تمنية س، زائد اتناشر. هي: س زائد تلاتة، وَ س زائد اتنين، وَ س ناقص واحد، وَ س ناقص اتنين. أمَّا بالنسبة للنقط بتاعة التمثيل البياني للدالة د س مع محور السينات. فهتبقى النقطة سالب تلاتة وصفر، والنقطة سالب اتنين وصفر، والنقطة واحد وصفر، والنقطة اتنين وصفر. بكده يبقى إحنا عرفنا مفهوم الأصفار، والعوامل، والجذور، والمقاطع.

هنقلب الصفحة، وهنبدأ نشوف النظرية الأساسية في الجبر. لمّا بنحلّ معادلة كثيرة حدود درجتها أكبر من الصفر، فممكن يكون ليها جذر واحد حقيقي أو أكتر. وممكن ما يكونش ليها جذور حقيقية أصلًا. يعني الجذور عبارة عن أعداد تخيّلية. وبما إن الأعداد الحقيقية والأعداد التخيّلية بتنتمي لمجموعة الأعداد المركَّبة. فنقدر نقول: إن أيّ معادلة كثيرة حدود درجتها أكبر من الصفر هيكون ليها جذر واحد مركَّب عَ الأقل. وهي دي النظرية الأساسية في الجبر. يعني النظرية الأساسية في الجبر بتوضّح إن معادلة كثيرة الحدود اللي درجتها أكبر من الصفر بيكون ليها جذر واحد عَ الأقلّ بينتمي لمجموعة الأعداد المركّبة.

بعد كده هنشوف إزّاي نحدّد عدد الجذور وأنواعها. وده هيكون من خلال مثال. فهنقلب الصفحة، هيظهر لنا المثال. عندنا في المثال، عايزين نحلّ المعادلة: س تربيع، زائد ستة س، زائد تسعة تساوي صفر. وكمان عايزين نذكر عدد جذورها، ونوعها.

هنبدأ نكتب المعادلة اللي عندنا مرة كمان. المعادلة هي: س تربيع، زائد ستة س، زائد تسعة تساوي صفر. هنبدأ أول حاجة إن إحنا نحلّل كثيرة الحدود: س تربيع، زائد ستة س، زائد تسعة لعواملها. فبالنسبة لكثيرة الحدود دي، هنلاقيها عبارة عن ثلاثية حدود مربع كامل. فلمّا هنحلّلها لعواملها، هيبقى عندنا س زائد تلاتة الكل تربيع يساوي صفر. بعد كده هناخد الجذر التربيعي للطرفين بتوع المعادلة، فهيبقى عندنا س زائد تلاتة يساوي صفر. علشان نجيب قيمة س، فإحنا محتاجين نتخلّص من موجب تلاتة. وبالتالي هنطرح من طرفَي المعادلة تلاتة. فهنلاقي س تساوي سالب تلاتة.

هنلاحظ إن إحنا لمّا حلّلنا كثيرة الحدود، العامل س زائد تلاتة اتكرّر مرتين. ده معناه إن سالب تلاتة جذر متكرّر مرتين. معنى كده إن إحنا لمّا هنيجي نحدّد عدد الجذور ونوعها. هيبقى عندنا إن المعادلة: س تربيع، زائد ستة س، زائد تسعة تساوي صفر، جذر حقيقي واحد متكرّر مرتين؛ هو سالب تلاتة.

نقدر نتأكّد من خلال التمثيل البياني للدالة، اللي هنسمّيها د س، وبتساوي س تربيع، زائد ستة س، زائد تسعة. فهيظهر لنا التمثيل البياني للدالة. في الشكل اللي عندنا، هنلاحظ إن التمثيل البياني للدالة بيمسّ محور السينات لمّا س تساوي سالب تلاتة. وبالتالي هيبقى سالب تلاتة عبارة عن جذر متكرّر مرتين. وهو ده فعلًا اللي إحنا وصلنا له. فيه عندنا ملحوظة، وهي خاصة بالجذور المتكرّرة. وهي إن المعادلات بتاعة كثيرات الحدود ممكن يكون ليها جذر متكرّر مرتين، أو تلاتة، أو أربع مرات.

بعد كده، هنبدأ نشوف مثال في الصفحة اللي جايّة. هنقلب الصفحة، هيظهر لنا مثال. عندنا في المثال عايزين نحلّ المعادلة: س تكعيب زائد خمسة وعشرين س تساوي صفر. وكمان عايزين نذكر عدد جذورها ونوعها.

هنكتب المعادلة اللي عندنا مرة كمان. المعادلة هي: س تكعيب زائد خمسة وعشرين س تساوي صفر. أول حاجة هنعملها إن إحنا عايزين نحلّل كثيرة الحدود: س تكعيب زائد خمسة وعشرين س، لعواملها. فهنلاقي إن إحنا نقدر نحلّلها من خلال إخراج العامل المشترك الأكبر. والعامل المشترك ده هو س. فلمّا هنخرّج العامل المشترك الأكبر، هيبقى عندنا س في، س تربيع زائد خمسة وعشرين يساوي صفر. ومن خاصية الضرب الصفري، هيبقى عندنا س تساوي صفر، أو س تربيع زائد خمسة وعشرين تساوي صفر. كده يبقى إحنا جِبنا أول جذر، أو أول حلّ للمعادلة اللي عندنا، وهو صفر.

بعد كده هنشوف س تربيع زائد خمسة وعشرين تساوي صفر. فهنطرح من الطرفين بتوع المعادلة خمسة وعشرين. فهنلاقي إن س تربيع تساوي سالب خمسة وعشرين. بعد كده هناخد الجذر التربيعي للطرفين. وبالتالي س تساوي موجب أو سالب الجذر التربيعي لسالب خمسة وعشرين. هنلاحظ إن إحنا بنجيب الجذر التربيعي لعدد سالب. معنى كده س هتساوي عدد تخيّلي. فهنلاقي س تساوي موجب أو سالب خمسة ت.

معنى كده إن المعادلة: س تكعيب زائد خمسة وعشرين س تساوي صفر، هيبقى ليها تلات جذور. جذر واحد منهم هيكون حقيقي، وهو صفر. والجذرين التانيين تخيّليين، وهمّ خمسة ت، وسالب خمسة ت. كده يبقى إحنا حلّينا المعادلة، وعرفنا عدد جذرها، ونوعها.

نقدر نتأكّد من الحلّ بتاعنا من خلال التمثيل البياني للدالة، اللي هنسمّيها د س، وبتساوي س تكعيب زائد خمسة وعشرين س. فهيظهر لنا التمثيل البياني للدالة. من الشكل اللي عندنا، هنلاحظ إن التمثيل البياني للدالة قطع محور السينات عند س تساوي صفر. ده معناه إن المعادلة هيكون ليها جذر حقيقي واحد، هو صفر.

بكده يبقى إحنا في الفيديو ده، عرفنا مفهوم الأصفار، والعوامل، والجذور، والمقاطع. وكمان عرفنا النظرية الأساسية في الجبر. واللي بتوضّح إن لكل معادلة كثيرة حدود درجتها أكبر من صفر هيكون ليها جذر واحد على الأقلّ بينتمي لمجموعة الأعداد المركّبة.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.