تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.

فيديو: حساب التكامل المحدَّد لدالة لا تحتوي نقطة الأصل باستخدام النهايات

سوزان فائق

يوضح الفيديو حساب التكامل المحدد لدالة مُعرَّفة في فترة لا تحتوي نقطة الأصل باستخدام النهايات، ومثالًا توضيحيًّا.

٠٩:٤٤

‏نسخة الفيديو النصية

في الفيديو ده هنتكلّم على طريقة حساب التكامل المحدّد، لدالة لا تحتوي نقطة الأصل، باستخدام النهايات. لحساب التكامل المحدّد لدالة د س، في الفترة المغلقة من أ إلى ب. بيبقى هو التكامل من أ إلى ب لِـ د س د س بيساوي … حيث الـ أ دي الحدّ الأدنى للدالة. والـ ب الحدّ الأقصى. بتساوي نهاية لمّا الـ ن تئول للمالانهاية لمجموع د س هـ في Δ س، من الـ هـ يساوي واحد إلى ن. حيث إن القيمة دي، بتمثّل مساحة المستطيلات تحت المنحنى، لعدد ن من المستطيلات. وبعد كده بنجيب نهاية الـ ن لمّا تئول للمالانهاية؛ علشان تبقى المساحة اللي تحت المنحنى دي، مساحة دقيقة. وبالتالي هي دي اللي بتمثّل لنا قيمة التكامل المحدّد.

حيث إن Δ س بتساوي ب ناقص أ، اللي هو نهاية الفترة ناقص بداية الفترة. على ن من الفترات. والـ س هـ بتساوي أ بداية الفترة، زائد الـ هـ مضروبة في الـ Δ س. وبيعبّر هذا التكامل عن مساحة المنطقة المحصورة بين منحنى الدالة د س، والمحور س، في الفترة المغلقة أ وَ ب. وبيسمى مجموع ريمان الأيمن. لأن لمّا حسبنا القيم هنا، كنا مستخدمين القاعدة اليمنى للمستطيلات. فبالتالي قيم المساحات جاية من القاعدة … الطرف الأيمن للقاعدة، هو ده اللي موجود على المنحنى ص يساوي د س.

في الفيديو ده عايزين نحسب قيمة التكامل المحدّد، لدالة مش موجود فيها نقطة الأصل. نقلب الصفحة. بيقول: استخدم النهايات لإيجاد مساحة المنطقة المحصورة بين المنحنى: ص يساوي أربعة س أُس تلاتة. ومحور السينات في الفترة المغلقة من واحد إلى تلاتة. يعني عايز يحسب قيمة التكامل المحدّد، من واحد إلى تلاتة، للدالة: أربعة س تكعيب د س.

المنحنى اللي إحنا عايزين نحسب المساحة ما بينه وما بين المحور س ده، اللي بنمثّله باللون الأحمر. والفترة عندنا من واحد إلى تلاتة. يعني عايزين المساحة دي، اللي مش موجود فيها نقطة الأصل. قيمة التكامل المحدّد ده، باستخدام النهايات. هي نهاية لمّا الـ ن تئول للمالانهاية، لمجموع هـ يساوي واحد إلى ن، للدالة د س هـ، مضروبة في الـ Δ س.

علشان نحسب قيمة التكامل ده، عايزين قيمة الـ س هـ، والـ Δ س. الـ Δ س بتساوي نهاية الفترة، اللي هي الـ ب، يعني تلاتة. ناقص بداية الفترة، اللي هي الواحد. على ن من الفترات، يعني اتنين على ن. دي قيمة الـ Δ س. بعد كده عايزين نجيب قيمة الـ د س هـ. يبقى هنجيب قيمة الـ س هـ، بتساوي أ اللي هي بداية الفترة. زائد الـ هـ مضروبة في الـ Δ س، اللي إحنا جِبنا قيمتها اتنين على ن. يبقى س هـ هتساوي واحد زائد، اتنين هـ على ن.

علشان نحسب قيمة الدالة عند س هـ، يبقى د س هـ هتساوي … الدالة عندنا أربعة س تكعيب، هنشيل كل س، ونحطّ مكانها قيمة الـ س هـ. يبقى أربعة مضروبة في؛ واحد زائد، اتنين هـ على ن، الكل تكعيب. يبقى التكامل من واحد إلى تلاتة، لأربعة س تكعيب د س. هيساوي نهاية لمّا الـ ن تئول للمالانهاية. لمجموع هـ يساوي واحد، للـ ن. لِـ د س هـ، اللي هي أربعة في؛ واحد زائد، اتنين هـ على ن، الكل تكعيب. مضروبة في Δ س اللي هي اتنين على ن.

من خصائص صيغة المجموع دي، اللي هي هـ يساوي واحد إلى ن. بأن إحنا نقدر ناخذ الثوابت برّه، اللي هو الأربعة والاتنين. والـ ن تعتبر ثابت؛ لأن العداد بيبدأ من الـ هـ يساوي واحد. يبقى التكامل هيبقى من نهاية ن تئول للمالانهاية، تمنية على ن، في هـ يساوي واحد إلى ن، لواحد زائد، اتنين هـ على ن، الكل تكعيب. لمّا هنفكّ القوس ده، هيبقى نهاية الـ ن لمّا تئول للمالانهاية، لتمنية على ن، مضروبة في … من هـ يساوي واحد إلى ن، لواحد زائد، تلاتة في اتنين هـ على ن، زائد تلاتة في اتنين هـ على ن تربيع، زائد اتنين هـ على ن الكل تكعيب.

كمان من خصائص المجموع، إن إحنا نقدر نوزّعه على حدود القوس ده كله. نقلب الصفحة. يبقى هنساوي نهاية لمّا الـ ن تئول للمالانهاية، لتمنية على ن، مضروبة في … مجموع من هـ يساوي واحد إلى ن، للواحد. زائد مجموع من هـ يساوي واحد إلى ن، لستة هـ على ن. زائد مجموع من هـ يساوي واحد إلى ن، لاتناشر هـ تربيع على ن تربيع. زائد من هـ يساوي واحد إلى ن، لتمنية هـ تكعيب على ن تكعيب.

هناخد الثوابت برّه، اللي هي: ستة، والـ ن، والاتناشر، والـ ن تربيع، والتمنية، والـ ن تكعيب. وهنستخدم خصائص صيغ المجموع اللي بالشكل اللي قدامنا ده. لمّا بيكون مجموع من هـ يساوي واحد إلى ن للواحد، بنساوي للـ ن. لمّا يكون مجموع من هـ يساوي واحد للـ ن للـ هـ، بيساوي ن في ن زائد الواحد عَ الاتنين. لمّا بيكون الـ هـ يساوي واحد إلى ن للـ هـ تربيع، بتساوي ن في ن زائد واحد في اتنين ن زائد واحد على ستة. ولمّا بيكون مجموع الـ هـ تكعيب، يبقى ن تربيع مضروبة في ن زائد الواحد الكل تربيع على أربعة.

يبقى نهاية لمّا الـ ن تئول للمالانهاية للتمنية على ن. أول واحد هيبقى قيمته ن. زائد ستة على ن في؛ مفكوك الـ هـ، اللي هو ن في ن زائد الواحد، على اتنين. زائد اتناشر على ن تربيع، مضروبة في مفكوك الـ هـ تربيع. اللي هو ن في ن زائد الواحد، في اتنين ن زائد الواحد؛ على الستة. زائد تمنية على ن تكعيب، مضروبة في مفكوك الـ هـ تكعيب. اللي هو ن تربيع في ن زائد الواحد كل تربيع، على أربعة.

هنوزّع ونبسّط. يبقى نهاية لمّا الـ ن للمالانهاية، بعد ما وزعنا التمنية على ن، وبسّطنا الأقواس. وصلنا لنهاية ن تئول للمالانهاية، للتمنية. زائد أربعة وعشرين مضروبة في؛ الواحد زائد، الواحد على الـ ن. زائد الستاشر مضروبة في؛ قوس فيه اتنين زائد، تلاتة على ن، زائد الواحد على الـ ن تربيع. زائد الستاشر مضروبة في؛ قوس واحد، زائد اتنين على ن، زائد واحد على ن تربيع.

من خصائص النهايات، إن إحنا نقدر نوزّع النهاية على الجمع والطرح. وبالتالي هنقدر نجيب النهاية لكل حدّ من الحدود اللي جوّه القوس. يبقى يساوي … نهاية ن لمّا تئول لتمنية، ده عدد ثابت، نهايته بتبقى نفس القيمة اللي هي تمنية. زائد أربعة وعشرين، في نهاية ما بداخل القوس. اللي هو واحد زائد، واحد على ن، لمّا الـ ن تئول للمالانهاية. زائد ستاشر في، نهاية لمّا الـ ن تئول للمالانهاية، للاتنين، زائد تلاتة على ن، زائد الواحد على ن تربيع. زائد ستاشر لنهاية ن لمّا تئول للمالانهاية، للواحد، زائد اتنين على ن، زائد الواحد على ن تربيع.

في النهايات لمّا الـ ن تئول للمالانهاية، بيبقى قيمة الحدّ ده بتساوي صفر. الحدّ ده هتساوي صفر. الحدّ ده هتساوي صفر. وكمان ده. وكمان ده. هيتبقّى عندنا الحدود اللي فيها الثوابت بس. اللي هي التمنية، زائد الأربعة وعشرين في الواحد، زائد الستاشر في الاتنين، زائد الستاشر في الواحد. يبقى قيمة التكامل هتساوي تمانين وحدة مربعة. وهي دي مساحة المنطقة المحصورة ما بين المنحنى: أربعة س تكعيب، ومحور السينات، في الفترة من واحد إلى تلاتة.

يبقى اتكلمنا في الفيديو ده إزّاي هنحسب قيمة التكامل المحدّد، لدالة ما فيهاش نقطة الأصل في حدودها، بطريقة النهايات ومجموع ريمان.