فيديو السؤال: وصف دالة أحادية الرياضيات

اختر العبارة التي تصف دالة أحادية.

٠٨:٣٧

‏نسخة الفيديو النصية

اختر العبارة التي تصف دالة أحادية. أ: لكل عنصر في المجال، يجب أن يوجد على الأقل عنصران مناظران في المدى. ب: لكل عنصر في المجال المقابل، يجب أن يوجد عنصر مناظر في المجال. ج: لا يمكن أن يكون لأي عنصر في المدى أكثر من عنصر مناظر له في المجال. د: لكل عنصر في المجال، يوجد عنصر واحد بالضبط يناظره في المدى. هـ: لكل عنصر في المدى، يوجد أكثر من عنصر يناظره في المجال، والعكس صحيح.

في هذا السؤال، مطلوب منا تحديد أي من العبارات الخمس المعطاة تصف دالة أحادية وصفًا صحيحًا. ويمكننا فعل ذلك بطريقة أسهل إذا استرجعنا أولًا تعريف الدالة الأحادية. لعلنا نتذكر أن الدالة تكون أحادية إذا كان كل عنصر في مداها يناظر عنصرًا واحدًا فقط من عناصر مجالها. وإذا تحققنا من الخيارات الخمس المعطاة، فسنجد أن كل العبارات الواردة فيها لا تطابق نص التعريف مطابقة تامة. لذا دعونا نستعرض كل خيار على حدة.

سنبدأ بالخيار أ. توضح العبارة في الخيار أ أنه لكل عنصر في المجال، يجب أن يوجد على الأقل عنصران مناظران في المدى. لكن هذه العبارة تنطوي على مشكلة. وذلك لأنها تعني أنه يمكننا إدخال قيمة لنحصل على قيمتين مخرجتين مختلفين. بعبارة أخرى، العبارة الواردة في الخيار أ لا تمثل دالة. وعلى وجه التحديد، لا يمكن أن تمثل دالة أحادية. جميع الدوال لها قيمة مخرجة واحدة لكل قيمة مدخلة. بعبارة أخرى، لا يمكن أن يكون لدينا عناصر متعددة في المدى تمثل نفس العنصر في المجال.

دعونا ننتقل الآن إلى الخيار ب. يوضح هذا الخيار أنه لكل عنصر في المجال المقابل، يجب أن يوجد عنصر مناظر في المجال. للوهلة الأولى قد تبدو هذه العبارة هي الإجابة الصحيحة. لكن علينا أن ننتبه. نحن لا نعرف أي معلومات عن عدد العناصر. وأسهل طريقة لمعرفة لماذا قد لا يمثل ذلك بالضرورة دالة أحادية هي بتناول مثال.

دعونا نفترض أن لدينا الدالة ‪𝑓‬‏ التالية المعرفة بهذا المخطط السهمي. مجال هذه الدالة هو المجموعة التي تحتوي على واحد واثنين. وقد عرفنا كلًّا من المجال المقابل والمدى لهذه الدالة بأنه يساوي صفرًا؛ لأن القيمة المخرجة لهذه الدالة ستكون صفرًا فقط. من الجدير بالذكر أيضًا أنه ليس من الضروري أن يكون المجال المقابل والمدى للدالة متساويين. المدى هو مجموعة كل المخرجات الممكنة، لكن المجال المقابل هو المجموعة التي تحتوي المدى. ومع ذلك، يمكننا الافتراض هنا أنهما متساويان بما أننا نتحدث عن الدالة ﺩ لدينا.

يمكننا الملاحظة أن الدالة ﺩ ينطبق عليها الوصف في العبارة ب. لكن علينا التحقق من أن كل عنصر من عناصر المجال المقابل للدالة له عنصر مناظر في المجال. ويمكننا فعل ذلك بالنظر إلى الشكل المعطى. يوجد عنصر واحد في المجال المقابل وعلينا التحقق إذا ما كان يوجد عنصر مناظر له في المجال. في الواقع، يوجد عنصران؛ حيث إن ﺩ لواحد تساوي صفرًا وﺩ لاثنين تساوي صفرًا. باتباع المنطق نفسه، يمكننا أن نوضح أن هذه الدالة ليست دالة أحادية لأنه لكل عنصر من عناصر مدى الدالة الأحادية يجب أن يوجد عنصر واحد فقط مناظر له في المجال. وبما أنه يوجد عنصران مرتبطان بالصفر في الدالة ﺩ لدينا، فإننا نعلم أنها ليست دالة أحادية. وعليه، لا يمكن أن تمثل العبارة في الخيار ب دالة أحادية.

في الحقيقة، هذه العبارة تمثل نوعًا مختلفًا من الدوال يسمى الدالة الفوقية أو الدالة الغامرة. وهذا النوع من الدوال يكون له مجال مقابل ومدى متساويان. بعبارة أخرى، لكل عنصر في المجال المقابل لهذه الدالة عنصر مناظر له في المجال. وبناء على ذلك، يكون كل عنصر في المجال المقابل متصلًا بسهم واحد على الأقل. لكن هذا لن يساعدنا في الإجابة عن السؤال. لذا دعونا ننتقل إلى الخيار ج.

يوضح الخيار ج أنه لا يمكن أن يكون لأي عنصر في المدى أكثر من عنصر مناظر له في المجال. حسنًا، دعونا نرسم مرة أخرى مخططًا سهميًّا للدالة لنحدد الخاصية التي تصفها هذه العبارة. سنبدأ بالمجال الذي يتكون من مجموعة العناصر واحد واثنين وثلاثة، والمجال المقابل الذي هو المجموعة واحد واثنان وثلاثة.

كما يتضح لنا في العبارة الواردة في الخيار ج، لا يمكن أن يكون لأي عنصر في المدى أكثر من عنصر مناظر له في المجال. ويمكننا البدء بتذكر أن مدى الدالة هو المجموعة التي تحتوي على جميع مخرجات الدالة. بعبارة أخرى، سيكون المدى هو جميع العناصر المشار إليها بسهم في المجال المقابل. سنفترض أن العدد واحدًا يقع في مدى الدالة. وهذا يعني أنه لا بد أن يوجد عنصر في المجال يناظر هذا العدد واحدًا.

يمكننا اختيار أي عنصر في المجال ليمثل هذه القيمة. على سبيل المثال، دعونا نفترض أن قيمة ﺩ عند واحد تساوي واحدًا. توضح الخاصية المذكورة لدينا أنه لا يمكن أن يكون للعنصر واحد الموجود في المدى أكثر من عنصر مناظر له. ومن ثم، وفقًا للعبارة في الخيار ج، لا يمكن أن تكون قيمة ﺩ عند اثنين تساوي واحدًا. يمكننا الآن ملاحظة أوجه التشابه بين هذه الخاصية وتعريف الدالة الأحادية. هذا التعريف يوضح أن كل عنصر في مدى الدالة الأحادية يناظره عنصر واحد فقط في مجالها. وكما نلاحظ، هذه مجرد صياغة مختلفة قليلًا لنفس العبارة.

في هذه الحالة لدينا، توضح العبارة أنه لأي عنصر في مدى الدالة، أو بعبارة أخرى، لأي عنصر مشار إليه بسهم في المجال المقابل، يوجد عنصر واحد فقط في المجال يشير إليه. لا يمكن أن يكون لدينا سهمان يشيران إلى العنصر نفسه في المجال المقابل. وبذلك نكون قد أوضحنا أن الخيار ج هو الإجابة الصحيحة. لكن لمزيد من التحقق، دعونا نتناول أيضًا الخيارين د، هـ.

توضح العبارة في الخيار د أنه لكل عنصر في المجال، يوجد عنصر واحد بالضبط يناظره في المدى. ومرة أخرى، يمكننا التفكير في ذلك باستخدام مخطط سهمي. علمنا هذه المرة أن كل عنصر في مجال هذه الدالة يناظره عنصر واحد فقط في المجال المقابل. لكننا لا نعلم أي معلومات عن أحادية أو عدد الأسهم التي تشير إلى العناصر في المجال المقابل.

على سبيل المثال، يمكن أن تكون ﺩ لواحد تساوي واحدًا، وﺩ لاثنين تساوي واحدًا أيضًا. ويمكننا الملاحظة أنه لكل عنصر في مجال هذه الدالة يوجد عنصر واحد فقط مناظر له في المدى. لكن هذه بالطبع ليست دالة أحادية، فهناك عنصران لهما قيمة مخرجة واحدة؛ حيث إن ﺩ لواحد تساوي واحدًا وﺩ لاثنين تساوي واحدًا. ومن ثم، يمكننا القول إن الخيار د لا يصف دالة أحادية.

مع ذلك، يمكننا الملاحظة أن هذا الوصف يمثل تعريف دالة. إن هذه العبارة توضح أنه لكل قيمة مدخلة، توجد قيمة مخرجة واحدة فقط. وهذا وصف دالة بالفعل. لكنها ليست دالة أحادية؛ لذا سننتقل الآن إلى الخيار هـ.

يخبرنا الخيار هـ أنه لكل عنصر في المدى، يوجد أكثر من عنصر واحد يناظره في المجال، والعكس صحيح. وعلى الرغم من أنه يمكننا رسم مخطط سهمي يمثل هذه العلاقة، يمكننا الاستعانة بالمخطط الذي رسمناه للخيار السابق. في هذه الدالة، يمكننا الملاحظة أن كل عنصر في المدى يناظره أكثر من عنصر في المجال. وهذا هو ما يعبر عنه الخيار هـ. لكننا أوضحنا بالفعل أن الدالة ﺩ في هذه الحالة لا يمكن أن تكون دالة أحادية. وبمجرد النظر إلى الجزء الأول من هذه العبارة، نعرف أن هذه الدالة لا يمكن أن تكون أحادية، ومن ثم فإن الخيار هـ ليس هو الإجابة الصحيحة.

من بين الخيارات الخمسة المعطاة لنا إذن، الخيار ج هو فقط الخيار الذي يصف دالة أحادية. إنها دالة لا يمكن أن يكون لأي عنصر في مداها أكثر من عنصر مناظر له في مجالها.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.