فيديو الدرس: مواضع النقاط والخطوط المستقيمة والدوائر بالنسبة إلى الدوائر

نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نوجد مواضع النقاط والخطوط المستقيمة والدوائر بالنسبة إلى الدوائر الأخرى. هدفنا هنا هو إيجاد طول خط مستقيم، أو قياس إحدى الزوايا بالاستعانة بمعرفتنا بالدوائر، ومعرفتنا بخصائص الزوايا أو نظريات الدوائر كذلك. سنبدأ باسترجاع بعض الخصائص الأساسية للدائرة.

إذا نظرنا إلى الدائرة المرسومة، فسنجد أن هناك أربعة خطوط أساسية مرسومة عليها. الخط الأول هو نصف القطر. وهو المسافة من مركز الدائرة إلى محيطها. الخط الثاني هو وتر الدائرة. وهو عبارة عن قطعة مستقيمة يقع طرفاها على المحيط. الخط الثالث هو قطر الدائرة. وهو نوع خاص من الأوتار؛ لأنه يمر بمركز الدائرة. وطول القطر يساوي دائمًا ضعف طول نصف القطر. وأخيرًا، لدينا الخط الرابع، وهو المماس. المماس هو أي خط يماس الدائرة عند نقطة واحدة. والمماس يلمس محيط الدائرة. سنتناول الآن بعض خصائص الزوايا ونظريات الدوائر.

أي مماس نرسمه سيكون زاوية قائمة مع نصف القطر. وهذا يعني أن المماس ونصف القطر يكونان زاوية قياسها ٩٠ درجة. أي مماسين مرسومين من نفس النقطة يكونان متساويين في الطول. في هذا الشكل، القطعة المستقيمة ﺱﺹ تساوي القطعة المستقيمة ﺱﻉ. أي نصفي قطرين في الدائرة يكونان متساويين في الطول أيضًا. وذلك لأن نصف القطر هو المسافة من مركز الدائرة إلى محيطها. برسم وتر كما هو موضح في هذا الشكل، يمكننا تكوين مثلث. بما أن ضلعين من أضلاع المثلث متساويان في الطول، يصبح لدينا مثلث متساوي الساقين. وهذا يعني أن قياسي الزاويتين الملونتين باللون الوردي متساويان.

لعلنا نتذكر أن مجموع قياسات الزوايا في أي مثلث يساوي ١٨٠ درجة. وهذا يعني أنه إذا علمنا قياس زاوية واحدة في مثلث متساوي الساقين، يمكننا حساب قياسي الزاويتين الأخريين. كما نتذكر أن مجموع قياسات الزوايا الواقعة على خط مستقيم يساوي ١٨٠ درجة أيضًا. وأخيرًا، علينا في هذا الفيديو استخدام نظرية القطاع المتبادل، التي تعرف أحيانًا باسم نظرية المماس والوتر. وتنص هذه النظرية على أنه في أي دائرة، تكون الزاوية المحصورة بين وتر ومماس عند أحد طرفي الوتر متساوية في القياس مع الزاوية في القطاع المتبادل. يمكننا ملاحظة ذلك في الشكل الموضح؛ حيث لدينا مماس مرسوم ومثلث داخل الدائرة يقع كل رأس من رءوسه على محيط الدائرة.

الزاويتان الموضحتان باللون الوردي متساويتان في القياس. وينطبق الأمر نفسه على الزاويتين الموضحتين باللون الأزرق. قياس الزاوية المحصورة بين الوتر والمماس يساوي قياس الزاوية في القطاع المتبادل. وبالنظر إلى الزاوية الثالثة الموضحة باللون الأخضر في المثلث، نعرف أن مجموع قياسات الزاوية الزرقاء والزاوية الوردية والزاوية الخضراء هو ١٨٠ درجة؛ وذلك لأن مجموع قياسات زوايا المثلث والزوايا على خط مستقيم هو ١٨٠ درجة. سنتناول الآن بعض الأسئلة التي يمكننا الإجابة عنها باستخدام الخصائص التي ناقشناها.

نصفا قطري الدائرتين التاليتين اللتين لهما نفس المركز ﻡ يساويان ثلاثة سنتيمترات وأربعة سنتيمترات. ما طول القطعة المستقيمة ﺃﺏ؟

يخبرنا السؤال أن طول نصف قطر الدائرة الصغرى هو ثلاثة سنتيمترات. أي إن طول ﺃﻡ يساوي ثلاثة سنتيمترات. نصف القطر هو المسافة من مركز الدائرة إلى محيطها. هذا يعني أن طول كل من القطعتين المستقيمتين ﺏﻡ وﺟﻡ يساوي ثلاثة سنتيمترات. علمنا من المعطيات أن طول نصف قطر الدائرة الكبرى هو أربعة سنتيمترات. أي إن طول القطعة المستقيمة ﺩﻡ يساوي أربعة سنتيمترات. وفي هذا السؤال، مطلوب منا حساب طول القطعة المستقيمة ﺃﺏ.

من الواضح أن هذا هو قطر الدائرة؛ لأن الخط ﺃﺏ يمر بالمركز ﻡ. وبما أن طول قطر الدائرة يساوي ضعف طول نصف القطر، فإن طول القطعة المستقيمة ﺃﺏ يساوي اثنين في طول القطعة المستقيمة ﺃﻡ. ومن ثم، علينا ضرب ثلاثة سنتيمترات في اثنين. هذا يساوي ستة سنتيمترات. إذن طول القطعة المستقيمة ﺃﺏ يساوي ستة سنتيمترات. وحتى إذا لم يكن ﺃﺏ هو قطر الدائرة؛ أي لم يكن خطًّا مستقيمًا، كنا سنتمكن من حساب طوله بجمع طول ﺃﻡ وطول ﻡﺏ. وبما أن كلًّا منهما نصف قطر للدائرة الصغرى، سنجمع ثلاثة سنتيمترات وثلاثة سنتيمترات. مرة أخرى، سيعطينا هذا الإجابة ستة سنتيمترات.

في السؤال الآتي، سنستخدم خصائص المماسات والمثلثات المتساوية الساقين.

إذا كان قياس الزاوية ﻉﺹﻝ يساوي ١٢٢ درجة، فأوجد قياس الزاوية ﺱ.

في الشكل الموضح أمامنا، يوجد مماسان يبدأ كل منهما من النقطة ﺱ. المماس العلوي يماس الدائرة عند النقطة ﻉ، والمماس السفلي يماس الدائرة عند النقطة ﺹ. ويوجد أيضًا وتر مرسوم على الدائرة من النقطة ﻉ إلى النقطة ﺹ. يخبرنا السؤال أن قياس الزاوية ﻉﺹﻝ يساوي ١٢٢ درجة. ونحن نتذكر أن المماسين المرسومين من نفس النقطة لا بد أن يكونا متساويين في الطول. وهو ما يعني أن طول القطعة المستقيمة ﺱﻉ يساوي طول القطعة المستقيمة ﺱﺹ. إذن المثلث ﺱﺹﻉ مثلث متساوي الساقين؛ وذلك لأن اثنين من أضلاعه متساويان في الطول. في أي مثلث متساوي الساقين، يتساوى قياسا اثنتين من زواياه. وفي المثال لدينا، نجد أن قياس الزاوية ﺱﺹﻉ يساوي قياس الزاوية ﺱﻉﺹ.

نحن نعلم أن مجموع قياسات الزوايا الواقعة على خط مستقيم يساوي ١٨٠ درجة. وهذا يعني أنه يمكننا إيجاد قياس الزاوية ﺱﺹﻉ بطرح ١٢٢ من ١٨٠. وذلك يساوي ٥٨ درجة. إذن قياس كل من الزاويتين ﺱﺹﻉ وﺱﻉﺹ هو ٥٨ درجة. المطلوب في هذا السؤال هو إيجاد قياس الزاوية ﺱ، ونحن نعلم أن مجموع قياسات زوايا المثلث أيضًا يساوي ١٨٠ درجة. وعليه، فإن قياس الزاوية ﺱ يساوي ١٨٠ ناقص ٥٨ زائد ٥٨. ‏٥٨ زائد ٥٨ يساوي ١١٦، وبطرح ذلك من ١٨٠ نحصل على ٦٤. إذن قياس الزاوية ﺱ يساوي ٦٤ درجة.

في السؤال الآتي، سنستخدم نظرية القطاع المتبادل.

إذا كان ﺏﺟ مماسًّا للدائرة التي مركزها ﻡ، وقياس الزاوية ﺃﻡﺩ يساوي ٩٧ درجة، فأوجد قياس الزاوية ﺟﺏﺩ.

نحن نعلم أنه في أي دائرة، يلتقي المماس ونصف القطر أو المماس والقطر عند زاوية قياسها ٩٠ درجة. وعرفنا من السؤال أن قياس الزاوية ﺃﻡﺩ يساوي ٩٧ درجة. وعلينا إيجاد قياس الزاوية ﺟﺏﺩ. تنص نظرية القطاع المتبادل على أنه في أي دائرة، يكون قياس الزاوية المحصورة بين وتر ومماس عند أحد طرفي الوتر مساويًا لقياس الزاوية في القطاع المتبادل. في هذا السؤال، قياس الزاوية ﺟﺏﺩ يساوي قياس الزاوية ﺏﺃﺩ.

دعونا نفكر الآن في كيفية إيجاد قياس الزاوية ﺏﺃﺩ باستخدام المعلومات الموضحة على الشكل. المثلث ﻡﺃﺩ مثلث متساوي الساقين؛ لأن طول القطعة المستقيمة ﻡﺃ يساوي طول القطعة المستقيمة ﻡﺩ. كل قطعة منهما تمثل نصف قطر للدائرة. هذا يعني أن الزاويتين داخل المثلث؛ أي الزاوية ﻡﺃﺩ والزاوية ﻡﺩﺃ، متساويتان في القياس. ويمكن إيجاد قياسيهما بطرح ٩٧ من ١٨٠، ثم القسمة على اثنين. ‏١٨٠ ناقص ٩٧ يساوي ٨٣. وبقسمة هذا على اثنين، أو ضربه في نصف، نحصل على ٤١٫٥. وبذلك، نجد أن قياس كل من الزاويتين ﻡﺃﺩ وﻡﺩﺃ هو ٤١٫٥ درجة. وبما أن قياس الزاوية ﻡﺃﺩ يساوي قياس الزاوية ﺏﺃﺩ، فإننا نجد بتطبيق نظرية القطاع المتبادل أن قياس الزاوية ﺟﺏﺩ يساوي أيضًا ٤١٫٥ درجة.

في السؤالين الآتيين، سيكون علينا استخدام الجبر لحساب القيم الناقصة.

إذا كان ﺃﺩ مماسًّا للدائرة، وقياس الزاوية ﺩﺃﺟ يساوي ٩٠ درجة، فاحسب قياس الزاوية ﺃﺟﺏ.

يخبرنا السؤال أن ﺃﺩ مماس للدائرة، وقياس الزاوية ﺩﺃﺟ يساوي ٩٠ درجة. ونحن نعلم أن مماس أي دائرة يكون عموديًّا على نصف القطر أو القطر. هذا يعني أن ﺃﺟ في هذا السؤال هو قطر الدائرة. يمكننا استخدام اثنتين من خواص الزوايا أو نظريات الدوائر لحل هذه المسألة. أولًا، يمكننا استخدام حقيقة أن قياس الزاوية في نصف الدائرة يساوي ٩٠ درجة. هذا يعني أن قياس الزاوية ﺃﺏﺟ يساوي ٩٠ درجة. كان بإمكاننا أيضًا إيجاد هذا باستخدام نظرية القطاع المتبادل؛ حيث قياس الزاوية ﺩﺃﺟ يساوي قياس الزاوية ﺃﺏﺟ. في كلتا الحالتين، نستنتج أن قياس الزاوية ﺃﺏﺟ يساوي ٩٠ درجة.

علينا الآن حل المعادلة: تسعة ﺱ يساوي ٩٠. بقسمة طرفي هذه المعادلة على تسعة، نحصل على ﺱ يساوي ١٠. قيمة ﺱ هنا هي ١٠ درجات. نلاحظ من الشكل أن قياس الزاوية ﺃﺟﺏ يساوي خمسة ﺱ. وبما أن ﺱ يساوي ١٠ درجات، فعلينا ضرب هذا في خمسة. خمسة مضروبًا في ١٠ يساوي ٥٠. وعليه، فإن قياس الزاوية ﺃﺟﺏ يساوي ٥٠ درجة.

في السؤال الأخير، سنتعرف على نظرية جديدة تعرف باسم «نظرية المماس والقاطع».

لدينا في الشكل الآتي دائرتان مركزاهما ﻡ وﻥ، تتماسان من الخارج عند النقطة ﺃ، التي تقع على المماس المشترك ﻝ؛ حيث القطعة المستقيمة ﺃﺏ مماس مشترك. افترض أن ﺃﺏ يساوي ﻡﻥ يساوي ٤٥٫٥ سنتيمترًا وﺏﺟ يساوي ٣٠٫٥ سنتيمترًا. أوجد ﺃﻥ، لأقرب جزء من عشرة.

عرفنا من السؤال أن طول كل من ﺃﺏ وﻡﻥ يساوي ٤٥٫٥ سنتيمترًا. وﻡﻥ هو مجموع طولي نصفي قطري الدائرتين. إنه يساوي نق واحدًا زائد نق اثنين؛ حيث نق واحد هو طول ﺃﻥ، ونق اثنان هو طول ﺃﻡ. طول ﺃﻥ أو نق واحد هو ما نحاول إيجاده في هذا السؤال. وعرفنا أيضًا من السؤال أن طول ﺏﺟ يساوي ٣٠٫٥ سنتيمترًا. إذا نظرنا إلى المثلث القائم الزاوية ﺃﺏﺩ، فسنجد أنه يمكننا استخدام نظرية فيثاغورس لحساب طول الضلع المجهول. تنص هذه النظرية على أن ﺃ شرطة تربيع زائد ﺏ شرطة تربيع يساوي ﺟ شرطة تربيع؛ حيث ﺟ شرطة طول أطول ضلع؛ أي طول الوتر.

في هذا السؤال، ﺏﺃ تربيع زائد ﺃﺩ تربيع يساوي ﺏﺩ تربيع. ونحن نعرف أن طول ﺏﺃ أو ﺃﺏ يساوي ٤٥٫٥ سنتيمترًا. لكننا لا نعرف طولي الضلعين الآخرين. ومع ذلك، يمكننا حساب طول ﺏﺩ باستخدام نظرية المماس والقاطع. تنص هذه النظرية على أن حاصل ضرب طول القاطع في طول جزئه الواقع خارج الدائرة يساوي مربع طول المماس. الجزء الواقع خارج الدائرة هو ﺏﺟ، والقاطع هو ﺏﺩ، والمماس هو ﺏﺃ. إذن حاصل ضرب ﺏﺟ في ﺏﺩ يساوي ﺏﺃ تربيع. بالتعويض بالقيم التي نعرفها، يصبح لدينا ٣٠٫٥ في ﺏﺩ يساوي ٤٥٫٥ تربيع. وبقسمة طرفي المعادلة على ٣٠٫٥، نحصل على قيمة ﺏﺩ التي تساوي ٦٧٫٨٧٧، وهكذا مع توالي الأرقام. يمكننا الآن التعويض بهذه القيمة في صيغة نظرية فيثاغورس. ويصبح لدينا ٤٥٫٥ تربيع زائد ﺃﺩ تربيع يساوي ٦٧٫٨٧٧ تربيع.

سنفرغ بعض المساحة الآن حتى نتمكن من متابعة هذه العملية الحسابية. بطرح ٤٥٫٥ تربيع من كلا الطرفين، نحصل على ﺃﺩ تربيع يساوي ٦٧٫٨٧٧ تربيع ناقص ٤٥٫٥ تربيع. عند كتابة الطرف الأيسر على الآلة الحاسبة، نحصل على ٢٥٣٧٫٠٤٣، وهكذا مع توالي الأرقام. يمكننا بعد ذلك أخذ الجذر التربيعي لطرفي هذه المعادلة لنجد أن ﺃﺩ يساوي ٥٠٫٣٦٩، وهكذا مع توالي الأرقام. ‏ﺃﺩ هو قطر الدائرة الكبرى. يمكننا إذن إيجاد طول نصف القطر ﺃﻡ بقسمة هذه القيمة على اثنين. هذا يساوي ٢٥٫١٨٤، وهكذا مع توالي الأرقام. بتقريب هذه القيمة لأقرب منزلة عشرية أو أقرب جزء من عشرة، نحصل على ٢٥٫٢ سنتيمترًا. إذن طول نصف القطر ﺃﻡ هو ٢٥٫٢ سنتيمترًا.

يمكننا الآن استخدام معلومة أن طول ﻡﻥ يساوي ٤٥٫٥ سنتيمترًا لحساب طول ﺃﻥ. طول ﺃﻥ يساوي طول ﻡﻥ ناقص ﺃﻡ. هذا يعني أن علينا طرح ٢٥٫٢ من ٤٥٫٥. هذا يساوي ٢٠٫٣ سنتيمترًا. إذن طول ﺃﻥ لأقرب جزء من عشرة هو ٢٠٫٣ سنتيمترًا.

سنلخص الآن النقاط الأساسية التي تناولناها في هذا الفيديو. يمكننا استخدام ما نعرفه عن نصف القطر والقطر، وكذلك أي وتر ومماس لحل المسائل التي تتضمن أطوالًا وقياسات زوايا مجهولة في دائرة. وكما رأينا في السؤال الأخير، يمكننا استخدام نظرية فيثاغورس ونظرية المماس والقاطع في حساب الأطوال المجهولة. يمكننا استخدام خصائص الزوايا ونظريات الدوائر لحساب قياسات الزوايا المجهولة. ويتضمن ذلك الحقائق التي توضح أن مجموع قياسات زوايا المثلث يساوي ١٨٠ درجة، وأن اثنتين من زوايا المثلث المتساوي الساقين تكونان متساويتين في القياس، وأن المماس يلتقي بنصف القطر عند زاوية قياسها ٩٠ درجة، وأن قياس الزاوية في نصف الدائرة يساوي ٩٠ درجة، وكذلك نظرية القطاع المتبادل التي تنص على أن قياس الزاوية المحصورة بين وتر ومماس عند أحد طرفي الوتر يساوي قياس الزاوية في القطاع المتبادل. وثمة نظريات دوائر أخرى لم نتناولها في هذا الفيديو.