نسخة الفيديو النصية
أوجد دالة متوسط معدل التغير 𝐴 لـ ℎ؛ حيث 𝑓 لـ 𝑥 تساوي 𝑥 تربيع زائد اثنين على ثمانية 𝑥 عندما يتغير 𝑥 من 𝑥 واحد إلى 𝑥 واحد زائد ℎ.
متوسط معدل التغير لدالة بين 𝑎 و𝑏 يساوي 𝑓 لـ 𝑏 ناقص 𝑓 لـ 𝑎 على 𝑏 ناقص 𝑎. ومن ثم، إذا أردنا أن نعرف كيف تتغير قيمة الدالة عندما يتغير 𝑥 من 𝑎 إلى 𝑏، فيمكننا استخدام التمثيل البياني للدالة، ومعرفة القيمتين 𝑓 لـ 𝑎 و𝑓 لـ 𝑏 من خلال التمثيل البياني. متوسط معدل تغير الدالة بين 𝑎 و𝑏 يساوي ميل القطعة المستقيمة الواصلة بين النقطتين المناظرتين لهما على التمثيل البياني. والآن، بعد أن كتبنا صيغة إيجاد متوسط معدل تغير الدالة، وعرفنا علاقة هذه الصيغة بالتمثيل البياني للدالة، يمكننا تطبيق الصيغة على السؤال الذي لدينا.
نريد هنا إيجاد 𝑓 لـ 𝑏 ناقص 𝑓 لـ 𝑎 على 𝑏 ناقص 𝑎. وبمقارنة السؤال بالتعريف لدينا، نجد أن 𝑎 هو 𝑥 واحد، و𝑏 هو 𝑥 واحد زائد ℎ. إذن، نعوض عن 𝑏 بـ 𝑥 واحد زائد ℎ وعن 𝑎 بـ 𝑥 واحد في الصيغة. لكن ماذا تساوي 𝑓 لـ 𝑥 واحد زائد ℎ؟ يمكننا إيجاد ذلك من خلال التعويض عن 𝑥 بـ 𝑥 واحد زائد ℎ في تعريف الدالة. وهكذا، 𝑥 تربيع يصبح 𝑥 واحد زائد ℎ تربيع، وثمانية 𝑥 يصبح ثمانية في 𝑥 واحد زائد ℎ. وينطبق الأمر نفسه على 𝑓 لـ 𝑥 واحد، حيث 𝑥 تربيع يصبح 𝑥 واحد تربيع، وثمانية 𝑥 يصبح ثمانية 𝑥 واحد. وأخيرًا، يمكننا تبسيط المقام، حيث 𝑥 واحد زائد ℎ ناقص 𝑥 واحد يساوي ℎ.
وبعد استخدام صيغة متوسط معدل التغير وتعريف 𝑓 لـ 𝑥، فإن الخطوات المتبقية هي عمليات جبرية فقط. يمكننا نقل ℎ من مقام الكسر الأكبر إلى مقامي الكسرين في البسط. وهذا صحيح لأنه يمكن توزيع القسمة على الطرح. لدينا الآن الفرق بين كسرين، ويمكننا دمج هذين الكسرين عن طريق إيجاد مقام مشترك. وبالنظر إلى هذين المقامين، نجد أن لدينا العوامل ثمانية و𝑥 واحد زائد ℎ وℎ و𝑥 واحد. والمقام المشترك الأصغر هو حاصل ضرب هذه العوامل، ثمانية في 𝑥 واحد زائد ℎ في ℎ في 𝑥 واحد. ولكتابة هذا الكسر الأول بالمقام الجديد، علينا ضرب البسط في 𝑥 واحد. وعلينا ضرب بسط الكسر الثاني في 𝑥 واحد زائد ℎ قبل الطرح.
أصبح الآن لدينا كسر واحد له بسط معقد بعض الشيء. ربما يمكننا التبسيط عن طريق فك الحدود، لكن أعتقد أن علينا أولًا أن نفرغ بعض المساحة. أصبح لدينا الآن مساحة أكبر، ويمكننا فك حدود البسط. بفك 𝑥 واحد زائد ℎ تربيع، يصبح 𝑥 واحد تربيع زائد اثنين ℎ𝑥 واحد زائد ℎ تربيع. ونفك أيضًا 𝑥 واحد زائد ℎ في 𝑥 واحد تربيع زائد اثنين لنحصل على 𝑥 واحد تكعيب زائد اثنين 𝑥 واحد زائد ℎ𝑥 واحد تربيع زائد اثنين ℎ. ويظل مقام الكسر كما هو. يمكننا أن نفك مرة أخرى، وذلك بضرب 𝑥 واحد في جميع الحدود الموجودة في أول زوج من الأقواس. ويمكننا توزيع الإشارة السالبة على الحدود الموجودة داخل الزوج الآخر من الأقواس.
والآن، بعد أن فككنا البسط قدر الإمكان، يمكننا ملاحظة أن بعض الحدود يلغي بعضها بعضًا. 𝑥 واحد تكعيب يلغي سالب 𝑥 واحد تكعيب. يمكننا تجميع الحد التالي، اثنين ℎ𝑥 واحد تربيع، مع الحد قبل الأخير، سالب ℎ𝑥 واحد تربيع. اثنان ℎ𝑥 واحد تربيع ناقص ℎ𝑥 واحد تربيع يساوي ℎ𝑥 واحد تربيع. ويمكننا أيضًا حذف موجب اثنين 𝑥 واحد مع سالب اثنين 𝑥 واحد. نلاحظ أن البسط أصبح غير منظم نوعًا ما، لذا دعونا نعد ترتيبه. بفعل ذلك، نلاحظ أننا قطعنا شوطًا كبيرًا في التبسيط، ونلاحظ أيضًا أن جميع الحدود في البسط تتضمن العامل ℎ، والذي سيحذف مع العامل ℎ في المقام.
بفعل ذلك، نكون على وشك الانتهاء. والأمر الوحيد الذي يمكننا فعله الآن هو فك القوس الموجود في المقام أيضًا. بفعل ذلك وبتبديل بعض الحدود، في كل من البسط والمقام، نحصل على ℎ𝑥 واحد زائد 𝑥 واحد تربيع ناقص اثنين على ثمانية ℎ𝑥 واحد زائد ثمانية 𝑥 واحد تربيع.
وهذا هو متوسط معدل التغير للدالة 𝑓 لـ 𝑥 تساوي 𝑥 تربيع زائد اثنين على ثمانية 𝑥 عندما يتغير 𝑥 من 𝑥 واحد إلى 𝑥 واحد زائد ℎ. وربما ترغب في التفكير فيما يحدث للدالة عندما تقل قيمة ℎ أكثر فأكثر، وتقترب أكثر فأكثر من الصفر.
